2026届广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

这是一份2026届广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市高考全国统考预测密卷数学试卷含解析，共22页。试卷主要包含了若的内角满足，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．5B．3C．D．2
7．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
8．若的内角满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
10．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ）
A．B．C．D．
11．复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.
14．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．
15．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________．
16．已知随机变量服从正态分布，，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，函数的最小值为1．
（1）证明：．
（2）若恒成立，求实数的最大值．
18．（12分）已知点，若点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求△面积的最大值及此时直线的方程.
19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程及的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到距离的取值范围.
20．（12分）椭圆：的离心率为，点 为椭圆上的一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值．
22．（10分）设函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
2、B
【解析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可；
【详解】
解：当时，，无意义，故排除A；
又，则，故排除D；
对于C，当时，，所以不单调，故排除C；
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
3、A
【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.
【详解】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：
其中，底面为直角三角形，，，高为.
∴该几何体的体积为
故选：A.
【点睛】
本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.
4、A
【解析】
根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，又为锐角
所以，
根据三角函数的定义：
所以
由
所以
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.
5、A
【解析】
画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.
【详解】
由于，
,
由于，
令，，
在↗，↘
故.
故选：A
【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
6、D
【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.
【详解】
解：由抛物线方程可知，，即，.设
则，即，所以.
所以线段的中点到轴的距离为.
故选:D.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.
7、B
【解析】
连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；
【详解】
解：连接、，
，是半圆弧的两个三等分点， ，且，
所以四边形为棱形，
．
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.
8、A
【解析】
由，得到，得出，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】
由题意，角满足，则，
又由角A是三角形的内角，所以，所以，
因为，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.
9、D
【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
【详解】
解：选项A中直线，还可能相交或异面，
选项B中，还可能异面，
选项C，由条件可得或．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
10、B
【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.
【详解】
本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，
，，故当输入，，则计算机输出的数
是57.
故选：B.
【点睛】
本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.
11、B
【解析】
设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.
【详解】
设,则,
,,
所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.
故选:B
【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
12、C
【解析】
由题可得，解得，
则，，
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由双曲线C：（，，
可得一条渐近线，一个顶点，
所以，解得，
则，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
14、
【解析】
根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】
设F（x），
则F′（x），
∵，
∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．
∵
∴，即F（x）＜F（2x）
∴，即x＞1
∴不等式的解为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
15、2
【解析】
如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.
【详解】
由题得,.
因为.
所以,
过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,
设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，
所以|AE|=n-m，因为,
所以|AB|=3(n-m)，
所以3(n-m)=n+m，
所以.
所以.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16、0.22.
【解析】
正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。
【详解】
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2；（2）
【解析】
分析：（1）将转化为分段函数，求函数的最小值
（2）分离参数，利用基本不等式证明即可．
详解：（Ⅰ）证明：
，显然在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，即．
（Ⅱ）因为恒成立，所以恒成立，
当且仅当时，取得最小值，
所以，即实数的最大值为．
点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.
【解析】
（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；
（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.
【详解】
解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.
因此椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，
，联立直线与椭圆的方程消去可得，
即，.
面积可表示为
令，则，上式可化为，
当且仅当，即时等号成立，
因此面积的最大值为，此时直线的方程为.
【点睛】
常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：
（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；
（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.
19、（1），.（2）
【解析】
（1）根据直线的参数方程为（为参数），消去参数，即可求得的的普通方程，曲线的极坐标方程为，利用极坐标化直角坐标的公式: ，即可求得答案；
（2）的标准方程为，圆心为，半径为，根据点到直线距离公式，即可求得答案.
【详解】
（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数
的普通方程为.
曲线的极坐标方程为，
利用极坐标化直角坐标的公式:
的直角坐标方程为.
（2）的标准方程为，圆心为，半径为
圆心到的距离为，
点到的距离的取值范围是.
【点睛】
本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
20、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值．
【详解】
（1）因为，所以， ①
又椭圆过点， 所以 ②
由①②，解得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）证明 设直线：，
联立得，
设，
则
易知
故
所以对于任意的，直线的斜率之积为定值.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．
21、（1），；（2）
【解析】
（1）先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；
（2）写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出和，利用三角函数的性质求出的最大值.
【详解】
解：（1），，
即极坐标方程为，
，极坐标方程．
（2）由题可知，

，
当时，.
【点睛】
本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；
【详解】
解：（Ⅰ）由题意可知，，
在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，
由可得，，令，
则，令，
可得，当时，，
所以在上单调递减，且
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，
要使在有两个根，则，
所以的取值范围为；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，
只需证：
即：，
只需证：
设，即证：
要证，只需证：
令，则
在上为增函数
，即成立；
要证，只需证明：
令，则
在上为减函数，，即成立
成立，所以成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;