2026届广西防城港市高级中学高考数学三模试卷含解析

这是一份2026届广西防城港市高级中学高考数学三模试卷含解析，共5页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )
A．18种B．36种C．54种D．72种
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．84
3．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．设a，b，c为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不修要条件
5．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝( )．
A．B．C．D．5
6．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ）
A．6种B．12种C．24种D．36种
7．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3B．C．6D．
9．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( )
A．3B．C．D．
11．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，.若，则实数a的值是______.
14．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______.
15．（5分）函数的定义域是____________．
16．已知平面向量，，且，则向量与的夹角的大小为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．
18．（12分）如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
19．（12分）如图，已知四边形的直角梯形，∥BC，，，，为线段的中点，平面，，为线段上一点（不与端点重合）．
（1）若，
（ⅰ）求证：PC∥平面；
（ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（2）否存在实数满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由．
20．（12分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．
21．（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下：
（1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人；
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；
（3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？
附：，.
22．（10分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，表示被清华、北大等名校录取的学生人数）
（1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字）
（2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；
（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.
参考公式：，
参考数据：，，，
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.
【详解】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，
则不同的分配方案有种.
故选：.
【点睛】
本题考查排列组合，属于基础题.
2、B
【解析】
画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.
【详解】
该几何体的直观图如图所示：
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
3、D
【解析】
由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部.
【详解】
由zi＝1﹣i，∴z＝ ，所以共轭复数=-1+，虚部为1
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．
4、B
【解析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：，，为正数，
当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，
若，则，即，
即，即，成立，即必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．
5、C
【解析】
试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1
所以|a＋bi|＝，选C
考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模
6、B
【解析】
分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.
【详解】
如果甲单独到县，则方法数有种.
如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.
故总的方法数有种.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.
7、B
【解析】
由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.
【详解】
根据平面向量数量积的垂直关系可得，
，
所以，即，
由平面向量数量积定义可得，
所以，而，
即与的夹角为.
故选：B
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.
8、A
【解析】
根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果.
【详解】
由题可知：双曲线的渐近线方程为
取右焦点，一条渐近线
则点到的距离为，由
所以，则
又
所以
所以焦距为：
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题.
9、D
【解析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.
【详解】
双曲线与互为共轭双曲线，
四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，
四个顶点形成的四边形的面积，
四个焦点连线形成的四边形的面积，
所以，
当取得最大值时有，，离心率，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.
10、B
【解析】
利用乘法运算化简复数即可得到答案.
【详解】
由已知，，所以，解得.
故选：B
【点睛】
本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
11、A
【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可．
【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A．
【点睛】
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．
12、D
【解析】
由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，
因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的最小正周期，则，
所以，
当时，，
所以是函数的一条对称轴，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、9
【解析】
根据集合交集的定义即得.
【详解】
集合，，，
，则a的值是9.
故答案为：9
【点睛】
本题考查集合的交集，是基础题.
14、
【解析】
基本事件总数，三人都收到礼物包含的基本事件个数．由此能求出三人都收到礼物的概率．
【详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），
基本事件总数，
三人都收到礼物包含的基本事件个数．
则三人都收到礼物的概率．
故答案为：．
【点睛】
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域是．
16、
【解析】
由，解得，进而求出，即可得出结果.
【详解】
解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为．
都答案为：.
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）由题，得，，解方程组，即可得到本题答案；
（Ⅱ）设直线，则直线，联立，得，联立，得，由此即可得到本题答案.
【详解】
（Ⅰ）由题可得，即，，
将点代入方程得，即，解得，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设直线，则直线，
联立，整理得，
所以，
联立，整理得，
设，则，
所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；
（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取的中点，连接.
∵，∴为的中点.
又为的中点，∴.
依题意可知，则四边形为平行四边形，
∴，从而.
又平面，平面，
∴平面.
（2），且，
平面，平面，
，
，且，
平面，
以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
从而，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.
19、（1）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）（2）存在，
【解析】
（1）（i）连接交于点，连接，，依题意易证四边形为平行四边形，从而有，，由此能证明PC∥平面
（ii）推导出，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解；
（2）设，求出平面的法向量，利用向量法求解.
【详解】
（1）（ⅰ）证明：连接交于点，连接，，
因为为线段的中点，
所以,
因为，所以
因为∥
所以四边形为平行四边形．
所以
又因为，
所以
又因为平面，平面，
所以平面．
（ⅱ）解：如图，在平行四边形中
因为，，
所以
以为原点建立空间直角坐标系
则，，，
所以，，，
平面的法向量为
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
设平面和平面所成的锐二面角为，则
所以锐二面角的余弦值为
（2）设
所以，，
设平面的法向量为，则
，取，得，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以
解得
所以存在满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
20、（1）；（2）2.
【解析】
（1）利用的最小值为1，可得，，即可求椭圆的方程；
（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．
【详解】
（1）设，则，，
，，
由题意得，，
椭圆的方程为；
（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，
得．
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得：．

设，，
当时，设直线的倾斜角为，
则，
，
，
，
∴当时，，，
．
当时，四边形是矩形，．
所以四边形面积的最大值为2．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21、（1）（万）（2）（3）填表见解析；有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关
【解析】
(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.
(2) 由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.
(3)计算的值,对照临界值表可得答案.
【详解】
（1）（万）
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”，则,.
（3）列联表如下
，
所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.
【点睛】
本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.
22、（1）；（2）117人；（3）分布列见解析，
【解析】
（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得关于的线性回归方程；
（2）根据回归直线方程计算公式，计算可得人数；
（3）和被选中的人数分别为2和3，利用超几何分布分布列的计算公式，计算出的分布列，并求得数学期望.
【详解】
（1）由题，
所以线性回归方程为
（若第一问求出 .）
（2）当时，
所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人
（3）由题知和被选中的人数分别为2和3，进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0，1，2
，，
的分布列为
【点睛】
本小题主要考查平均数有关计算，考查回归直线方程的计算，考查期望的计算，考查超几何分布和数据处理能力，属于中档题.
来A城市发展的理由
人数
合计
自然环境
1.森林城市，空气清新
200
300
2.降水充足，气候怡人
100
人文环境
3.城市服务到位
150
700
4.创业氛围好
300
5.开放且包容
250
合计
1000
1000
自然环境
人文环境
合计
男
女
合计
P（）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
年份（届）
2014
2015
2016
2017
2018
41
49
55
57
63
82
96
108
106
123
自然环境
人文环境
合计
男
100
400
500
女
200
300
500
合计
300
700
1000
0
1
2