2026届广东省珠海市金湾区外国语学校高考仿真卷数学试卷含解析

这是一份2026届广东省珠海市金湾区外国语学校高考仿真卷数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，波罗尼斯，在复平面内，复数，综上，得或等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域是B．是奇函数
C．是周期函数D．是增函数
3．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
4．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．72B．64C．48D．32
6．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )
A．B．1C．2D．0
10．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
11．已知命题：R，；命题 ：R，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．

14．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.
15．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.
16．设全集，，，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为，且，求的最小值.
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.
（Ⅰ）证明:平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的面积.
21．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．
参考公式：，，，．
22．（10分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率.
【详解】
如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.
因为，故四边形为平行四边形，故.
又双曲线为中心对称图形，故.
设，则，故，故.
因为为直角三角形，故，解得.
在中，有，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题.
2、C
【解析】
根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.
【详解】
由表示不超过的最大正整数，其函数图象为
选项A，函数，故错误；
选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；
选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；
选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.
故选：C
【点睛】
本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.
3、D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
依题意有， ①
， ②
①②得，又因为，
所以，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
【点睛】
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
4、D
【解析】
求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.
【详解】
设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，
则 =2，化简得.
∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，
∴ ，解得，
∴椭圆的离心率为．
故选D．
【点睛】
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．
5、B
【解析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为，故选B。
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。
6、D
【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.
【详解】
，对应的点位于第四象限.
故选:.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.
7、A
【解析】
根据y=Acs（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】
函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，
∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得，
又，解得，
当k=0时，解，
当k=-1时，，可得，
.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查函数y=Acs（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.
8、B
【解析】
利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.
【详解】
∵在R上单调递增，且，∴.
∵的符号无法判断，故与，与的大小不确定，
对A，当时，，故A错误；
对C，当时，，故C错误；
对D，当时，，故D错误；
对B，对，则，故B正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
9、C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.
【详解】
若实数x，y满足条件，目标函数
如图：
当时函数取最大值为
故答案选C
【点睛】
求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
10、C
【解析】
由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．
【详解】
的二项展开式中二项式系数和为，．
故选：C．
【点睛】
本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．
11、B
【解析】
根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果.
【详解】
对命题：
可知，
所以R，
故命题为假命题
命题 ：
取，可知
所以R，
故命题为真命题
所以为真命题
故选：B
【点睛】
本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.
12、D
【解析】
根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率.
【详解】
依题意得，，，因此该双曲线的离心率.
【点睛】
本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】
依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或．
14、
【解析】
由得，即得解.
【详解】
由题意可知，则.
解得，所以，
向量与的夹角为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15、
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.
【详解】
设抽取的样本为，
则由题意得，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.
16、
【解析】
先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【详解】
解：，或；
∴；
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）化简得到，分类解不等式得到答案.
（2）的最大值，，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
（1）
因为，故或或
解得或，故不等式的解集为.
（2）画出函数图像，根据图像可知的最大值.
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3.
【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ) 先证明 ，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；
(Ⅱ)根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.
【详解】
(Ⅰ)证：由已知得
又 平面，平面，，
而故，平面
平面，平面平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，
有，又，故
所以相似，故有，即
所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，设平面的法向量为，则
令，则，是平面的一个法向量
设平面的一个法向量为
令，则
是平面的一个法向量
=
又二面角为钝二面角，其余弦值为.
【点睛】
本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
19、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)由，可得，解出即可；
(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
【详解】
(Ⅰ)由题意：，
，解得，
则曲线的方程为：和.
(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，
设直线，
则联立，得，
，解得：，
又由数形结合知.
设点，
则，，
，，
，即点在直线上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立，得：，
，
设，
，，
，
面积，
令，，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）计算出直线截圆所得弦长，并计算出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】
（1）由得，故直线的普通方程是.
由，得，代入公式得，得，
故曲线的直角坐标方程是；
（2）因为曲线的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
则弦长.
又到直线的距离为，
所以.
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
21、（1）；（2）见解析
【解析】
试题分析：
（I）由题意可得，，则，，关于的线性回归方程为．
（II）由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：，，，．据此可得分布列，计算相应的数学期望为元．
试题解析：
（I）依题意：，
，，，
，，
则关于的线性回归方程为．
（II）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：
，，，
，．
所以，总金额的分布列如下表：
总金额的数学期望为元．
22、（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，
.
【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
1
2
3
4
5
6
7
5
8
8
10
14
15
17
男
女
总计
合格
不合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
300
600
900
1200
男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
0
1
2