8.8 圆锥曲线——求值、证明问题课件-2026届高考数学一轮复习

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第八讲　圆锥曲线——求值、证明问题
提能训练　练案[56]
2．(2026·湖北武汉部分学校调研)设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点P(3,0)的动直线l交抛物线E于A，B两点，点T(2,2)，当直线AT垂直于x轴时，|AF|＝3.(1)求抛物线E的标准方程；(2)若直线l过点T，求△FAB的面积；(3)若直线FT平分∠AFB，求直线l的斜率．
名师点拨：解析几何中，离不开求“角度、距离、面积、比值”等量，最直接的办法就是把这些量表示出来，这就常常需要将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，用韦达定理将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式求解．
[解析]　(1)由题意，直线l不与x轴重合，设l的方程为x＝ty－1.代入y2＝4x，并整理得y2－4ty＋4＝0.由Δ＝16t2－16>0，得t1.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4.
名师点拨：证明问题的解题策略1．圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．2．解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
解决证明问题的答题模板
注：(1)证明三点共线或直线平行，用斜率相等．(2)证明直线垂直，用斜率之积为－1或方向向量的数量积为0.(3)证明两角相等，用倾斜角互补，斜率之和为0.
整理得49m2＋49＝2(8m2－1)2，即128m4－81m2－47＝0，即(128m2＋47)(m2－1)＝0，解得m2＝1，所以m＝±1，故直线l的方程为x－y－3＝0或x＋y－3＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，①当斜率为0时，过F(1,0)的直线l的方程为y＝0，此时|MA|＝|MB|，符合题意；②当斜率不为0时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以MN⊥AB，所以kMN·kAB＝－1，所以直线l的方程为x－y－1＝0或x－2y－1＝0.综上所述，直线l的方程为y＝0或x－y－1＝0或x－2y－1＝0.
(2)双曲线C的右焦点为(3,0)，由题意知直线m的斜率存在且不为0，设直线m的方程为x＝my＋3(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)求C的方程；(2)设C的右顶点为D，直线AB：y＝kx＋m与C交于点A，B(A，B都异于点D)，且DA⊥DB，证明：直线AB过定点Q；