山东济宁市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题（含解析）

这是一份山东济宁市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题（含解析），共8页。
1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的姓名、座号和准考证号填写在答题卡相应位置．
2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由求导得：，则.
2. 甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（ ）
A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种
【答案】C
【解析】
【详解】先对甲进行排序，有3种不同的选择，
再对其他3人进行全排列，有种不同方法，
则一共有种不同名次排列.
3. 小李打算周末去游玩，去地与地的概率分别为，在地去徒步爬山的概率为，在地去徒步爬山的概率为，则小李去徒步爬山的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过定义相关事件，利用全概率公式，将不同游玩地点的先验概率与对应条件下徒步爬山的条件概率结合，计算得到总概率.
【详解】设事件为“小李去地游玩”，事件为“小李去地游玩”，事件为“小李去徒步爬山”.
由题意得 ，，，.
根据全概率公式可得：
.
4. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则下列选项正确的为（ ）
A. 在上单调递增B. 有极大值
C. 在处取得最大值D. 有个极值点
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断AC选项；利用函数的极值与导数的关系可判断BD选项.
【详解】对于A选项，当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以函数在上不单调，A错；
对于B选项，当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以为函数的一个极小值点，B错；
对于C选项，函数在上单调递增，函数在处不取得最大值，C错；
对于D选项，列表如下：
所以函数有个极值点，D对.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据对立事件的概率公式得到，再由条件概率公式可得.
【详解】由，则，，
所以.
6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为在上恒成立，由此可求结论.
【详解】函数求导得，
已知在区间上单调递减，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，求导得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则是极小值点，
，，
在的上确界为3，
．
7. 随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据得到，再由求解.
【详解】因为随机变量的可能取值为0，1，2，且，
所以，
，又因为，
所以.
8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解.
【详解】令，依题意，．
函数在上单调递增．
对，不等式恒成立，
,
即，
．
当时，，
则，
则；；
故在单调递减，在单调递增；
可得时，函数取得极小值即最小值，
．
当时，，此时，在上单调递减，
又时，，且，则
则的取值范围是.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，其各项的二项式系数和为64，则（ ）
A. B. 的系数是240
C. 二项式系数最大的项为D. 各项的系数和为1
【答案】ABD
【解析】
【详解】根据二项式性质，展开式的所有二项式系数和为，
所以由题意可得，解得，故A正确；
展开式的通项公式为： ，
要得到，令，得，所以的系数为： ，故B正确；
因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间第4项，
代入通项得： ，故C错误；
求展开式各项系数和，令代入原式得： ，即各项系数和为，故D正确.
10. 一袋中装有大小相同、质地均匀的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A. 从中不放回的取2个球，每次取1个球，第二次取到红球的概率为
B. 从中有放回的取球9次，每次取1球，则取到红球次数的方差为6
C. 从中取2个球，已知有红球的情况下，两个都是红球的概率为
D. 从中取3个球，恰有两个红球的概率是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件概率公式以及全概率公式即可判断A；根据二项分布的公式计算即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据古典概型即可判断D．
【详解】对于A选项，设为“第一次取到红球”，为“第一次取到白球”，为“第二次取到红球”，
所以，，
所以在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为，
在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为，
由全概率公式，第二次取到红球的概率为
，故A正确；
对于B选项，每次取到红球的概率为，取球9次，取到红球的次数服从二项分布，
即，其中，，
二项分布的方差公式为，故B错误；
对于C选项，设事件为“取出的2个球中至少有一个红球”，
事件为“取出的2个球都是红球”，
从6个球中任取2个球的总组合数为，事件的组合数为，
事件的对立事件是“两个都是白球”，
两个都是白球的组合数为，所以事件的组合数为14，
因为事件发生必然意味着事件发生，
所以，，故C正确；
对于D选项，从6个球中任取3个球的总组合数为，
恰好两个红球意味着取了2个红球和1个白球，
取2个红球的组合数为，取1个白球的组合数为，
恰有两个红球的组合数为，
所求概率为，故D错误.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若函数有两个不同零点，则
C. 若恒成立，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对每个选项分别构造对应函数，通过求导分析函数的单调性、极值与最值，结合函数值的符号判断不等式是否恒成立，从而确定正确选项.
【详解】对于A：，即，
令函数，则，
当时，，在上单调递增；
当时，， 在上单调递减，
所以当时，取得极小值也是最小值，所以，
即，即，故选项A正确；
对于B：函数的定义域为，
令，
令，
当时，，在上单调递减；
当时，， 在上单调递增，
当时，取得极大值也是最大值，所以，
当时，，当时，，
函数的图象如下图所示：
因为函数有两个不同零点，
所以直线与函数的图象有两个不同的交点，
因此，所以本选项说法不正确；
对于C：因为，即，
令，则，
令得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故函数的最小值是，
若恒成立，则，设，
则由，得，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
当时，取最大值为，即，
所以不等式的解为，
则不等式的解为，可得，故选项C正确；
对于D：因为单调递增，，所以，
记，
因为函数和在是增函数，
所以在上单调递增，
因为，
所以在上必定存在唯一一个零点，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，
所以，
所以，
所以，
所以，故选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________．
【答案】20
【解析】
【分析】将五名同学分为两组，再将分好的两组同学分配到两个不同的社团中即可.
【详解】将五名同学分为两组，一组2人，一组3人，有种，
再将这两组同学分配到两个不同的社团中，有种分配方式，
则总的分配方案有种.
13. 随机变量,且,则___________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据期望的性质和二项分布的期望公式计算即可得解.
【详解】解：由数学期望的性质可得，
解得，
由二项分布的期望公式可得：，
所以.
故答案为：6.
14. 已知函数，若，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域，对不等式进行化简，构造函数，再根据函数导数判定函数单调性，求出函数最值，根据不等式求出参数范围.
【详解】可知函数定义域为，所以恒成立，等价于在恒成立，
等价于在恒成立，
设函数，可知，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在时，取得最小值，即时，，
设函数，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
在时，取得最大值，即时，，
所以恒成立，
当时，即成立，
所以，实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，且满足．
（1）求的值；
（2）求其展开式中的常数项．
【答案】（1）
（2）672
【解析】
【分析】（1）利用组合数公式即可求解；
（2）利用二项式定理的通项公式即可求解.
【小问1详解】
由，可得，
解得（舍）或，故；
【小问2详解】
有二项式定理得其展开式的通项为，
令，解得，
所以常数项为.
16. 老师要从7篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，至少要背出其中两篇才能及格．若某位同学只会背诵其中的4篇．
（1）求抽到他会背诵的课文数量的分布列和均值；
（2）求他能及格的概率．
【答案】（1）

（2）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（2）根据互斥事件的概率公式进行求解即可.
【小问1详解】
抽到该生会背诵的课文数量的可能取值有0，1，2，3，则
，
，
，
，
则；
【小问2详解】
，
即这位同学能及格的概率为.
17. 已知函数，当时取得极小值0．
（1）求的值；
（2）求在的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为2，最小值为0
【解析】
【分析】（1）先对进行求导，再根据题意列式求解即可；
（2）利用导数判断函数的单调性即可求出最大值和最小值．
【小问1详解】
，
由取得极小值0，可知，即，
由时取得极小值，可知，即，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
令，得，或，
所以当时，有极大值；
所以当时，有极小值0；
又因为，
所以的最大值为2，最小值为0.
18. 甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分．
（1）求一局比赛中，甲6：0获胜的概率；
（2）记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望；
（3）若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解；
（2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解；
（3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出.
【小问1详解】
记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率，
.
【小问2详解】
一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2，
则，
，
，
所以.
【小问3详解】
甲6：0获胜概率；
甲4：0获胜概率；
甲2：0获胜概率；
记事件C为一局比赛中甲获胜，则，
由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数，
所以.
19. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线为，求、；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：．
【答案】（1），
（2）当时，的减区间为；当时，的增区间为，减区间为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，解之即可；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）利用分析法可知，要证，即证，即证，分析函数的单调性，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合可证得结论成立.
【小问1详解】
由题意，
由曲线在点处的切线为，
可知，解得.
【小问2详解】
易知的定义域为，
当时，，所以的减区间为，无增区间；
当时，令，得，
由可得，由可得，
此时函数的增区间为，减区间为.
综上：当时，的减区间为；
当时，的增区间为，减区间为.
【小问3详解】
由（2）知，且需满足，，
要证，即证，即证，
因为，所以，
由在上为减函数，只需证，
由，即证，
令，
则
，
由，得，，所以，
所以在上为增函数，所以，
所以，所以.
减
极小值
增
极大值
减
极小值
增
0
1
2
3
0
1
2
3
2
（2，3）
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗