山东省济宁市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份山东省济宁市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（解析版），共13页。
1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．
2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号，
3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整，符号规范，笔迹清楚．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】由得：，
故选：C
2. 展开式中系数（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】A
【解析】展开式的项是4个因式中任取3个用，
另一个因式用常数项相乘的和，
则展开式中的项为，
所以含项的系数为10.
故选：A.
3.一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（单位：）（ ）
A. 21B. 20C. 18D. 16
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，所以质点在时的瞬时速度为.
故选：B
4. 已知，则（ ）
A. 80B. 81C. 242D. 243
【答案】C
【解析】，
令，得；
令，得；
所以.
故选：C.
5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由得
所以,又，∴切点为
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：D.
6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，甲、乙去询问成绩，回答者对甲说“你没有得到冠军和最后一名”,对乙说“你的名次与丙相邻”，则这5人不同名次排列的种数为（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
【答案】B
【解析】因为甲没有得冠军和最后一名，
当甲第二名，且乙丙相邻时共有，
当甲为第三名，且乙丙相邻时共有，
当甲为第四名，且乙丙相邻时共有，
所以总的排列总数为，
故选:B
7. 设函数、是闭区间上的可导函数．若当，有.则一定有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，，
则，
因为当，有，所以，
所以在上单调递增，
所以（），即，
所以，，故D正确，C错误；
由于不知道、的值，故无法确定A、B的正误.
故选：D
8. 为保证华为尊界S800的预订活动顺利进行，现开通华为汽车APP、华为官网、华为商城3个预定通道，消费者选择其中一个通道进行预订．由AI对预订情况进行统计．实施更新预订数据．据统计，在有意向预订的消费者中，选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订的概率分别为、、，且对应预订成功的概率分别为、、，则在消费者预订成功的条件下，选择华为汽车APP预订的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订分别为事件，预订成功为事件，
由题意可得：，，
则，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确是（ ）
A. 用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是
B. 用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是
C. 用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是
D. 用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是
【答案】BC
【解析】对于A：用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是，故A错误；
对于B：用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是，故B正确；
对于C：因为各位数字从左到右依次递增，所以排列方法唯一且不能出现重复数字，
所以这样的四位数有个，故C正确；
对于D：首先从其余个数字中选出个数字并排列好，有种，
再将1和3插入所形成的三个空中，则有种插法，
按照分步乘法计数原理可知一共有个数字，故D错误.
故选：BC
10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A ，
B. 若方程有3个不同的实数根，则
C. 直线是曲线的切线
D. 点是曲线的对称中心
【答案】ABD
【解析】求导，
根据图象可得，即，解得，故A正确；
则，
由图可知，，，
根据有个不同的实数根，
则，故B正确；
设切点坐标，则，
故，
解得，
当时，，
切线方程，
当时，，
切线方程，故C错误；
由，
则
则，
故点是曲线的对称中心，故D正确.
故选：ABD.
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中．除每行（不含第0行）两边的数都是1外．其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（ ）
A. 第6行从左到右第4个数是20
B. 第行的所有数字之和为
C. 第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数
D. 若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则
【答案】ACD
【解析】对A，根据规律，第6行从左到右第4个数等于第5行的第3、第4个数之和，
即，A正确；
对B，第行的数字即为的展开式的二项式系数，
所以其所有数字之和为，B错误；
对C，第2025行从左到右的数分别为展开式中的二项式系数，
其中从左到右第1013个数和第1014个数分别为，
由二项式系数的性质可知，且在中二项式系数中最大，C正确；
对D，因为，，所以的可能取值有，
当时，，此时为常数列，不满足题意；
当时，，
此时为公差为1的等差数列；
当时，，显然不是等差数列.
综上，若（且）为公差不为0的等差数列，则.
则
，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】因为，则，
令，可得，解得.
故答案为：.
13. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，某学校准备组建书法、音乐、美术三个社团,现将5名同学分配到这3个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为______．
【答案】150
【解析】先将5名同学分成3组，则有1,2,2或1,1,3两种情况，
1,2,2的情况有种方案，1,1,3的情况有种方案，
然后将三组同学分配到3个社团有种方案，
所以不同的分配方案有种.
故答案为：150.
14. 若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由，可得，
令，则，即，所以或，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，当时，且时，时，
则的图象如下所示：
因为关于的方程仅有一个实数根，
所以或有且仅有一个实数根，
显然无解，所以有且仅有一个实数根，
即与有且仅有一个交点，所以或，
即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式中第项为常数项．
（1）求的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
解：（1）二项式的通项为
（且），
因为第项为常数项，所以，解得；
（2）二项式的通项为（且），
令，解得或或或或，
所以展开式的有理项有，，
，，，
即展开式中的有理项为，，，，共5项.
16. 某公司销售员统计了自己3月份出差一次离公司的距离（单位：km）可能取值为：20、30、32、36，它们发生的概率依次是：、、、．
（1）求的均值和方差；
（2）若销售员出差一次，公司所给油费补贴规则如下：起步5元，若出差距离不超过3km时，补贴5元；若出差距离超过3km时，则超过3km的部分按照每超出1km（不足1km的也按1km计算）补贴3元，求此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值和方差．
解：（1）由题意，得，解得．
所以的分布列如下：
所以，
；
（2）设此销售员3月份出差一次油费补贴为元，
则，
所以，
．
故此销售员3月份出差一次所获油费补贴的均值为元，方差为．
17. 已知函数
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数在处取得极小值．
（i）求：
（ii）证明：当时，．
解：（1）因为，
所以，
依题意可得在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为在上单调递减，且当时，
所以，即的取值范围为；
（2）（i）由，依题意可得，解得，
此时，则，当时，
当时，
所以在处取得极小值，符合题意；
（ii）由（i）可知，
令，，
令，，
则，令，，
则，所以在上单调递增，所以，
即在上恒成立（仅在处取等号），所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
即当时，.
18. 甲、乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有8个红球和2个白球，乙箱中有5个红球和5个白球．
（1）现从甲、乙两个箱子中各摸出1球，记摸到红球的个数为，求的分布列．
（2）现做如下试验：先在两个箱子中选择一个并从中随机摸一球，若摸出的球是白球，则该试验结束；若摸出的球是红球，则从另一个箱子中再随机摸一球，无论摸出的球是白球还是红球，该试验都结束．假设从甲箱子中摸出一球是红球得奖金100元，否则不得奖金;从乙箱子中摸出一球是红球得奖金200元，否则不得奖金．为使累计得奖金额的均值最大,如果摸球顺序由你选择，你应该先从哪个箱子开始摸球？并说明理由．
解：（1）记从甲箱摸出1个球是红球为事件，从乙箱摸出1个球是红球为事件，
则，
从甲、乙两个箱子中各摸出1球，摸到红球的个数的取值有，
易知事件、相互独立，则，
，
，
所以的分布列为：
（2）记从甲箱开始摸球所得奖金为，其所有可能取值为，
，
，
分布列为：
所以（元）；
记从乙箱开始摸球所得奖金为，其所有可能取值为，
，
，
分布列为：
所以（元）.
因为，所以先从甲箱开始摸球.
19. 已知函数．
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，所以在上的值域为；
（2）由在恒成立，
即在恒成立，
当时，
所以，即在恒成立，
即在恒成立，令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
由在恒成立，
两边取对数可得在恒成立，
即在恒成立，
令，则在上单调递增，
由，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以；
综上可得，即实数的取值范围为.
0
1
2
0
100
300
0
200
300