广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析）

这是一份广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数，，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵ ，， ∴ .
∵ ，，∴ .
∴ .
∴ .
2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【详解】∵ 目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到.
∴ 要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度.
3. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理直接计算求解即可.
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由，，得，
因为，所以，解得，
所以，则.
5. 已知复数满足，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】设复数，代入方程并分离实部、虚部，根据复数为零的条件列方程组求解，再利用复数模长公式计算.
【详解】设，则，
计算可得，
所以，计算可得，
所以.
6. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式计算即可.
【详解】在方向上的投影向量为.
7. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合余弦型函数的图象及性质求出，根据函数的平移变换得到，代入求解即可.
【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以.
，所以. 又，，所以.
所以.
将代入解析式，得，所以，
则，则，又，所以.
因此.
将的图象向右平移个单位长度得到.
所以.
8. 已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形，
∴ ，
设圆上动点，，
∴ ，，
∴
.
∵ ，
∴ ，
即的取值范围为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】
【详解】若两个向量可以作为基底，则两个向量需为不共线的非零向量.
对选项A，∵ 为零向量，零向量与任意向量共线，∴ 不能作为基底.
对选项B，∵ ，计算得 ，∴ 与不共线，可作为基底.
对选项C，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底.
对选项D，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底.
综上，不可以作为基底的是ACD.
10. 已知，是复数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于A选项：设 ，∵ ，∴ .
∴ .
又∵ ，∴ ，故A正确.
对于B选项：取，，此时，但，故B错误.
对于C选项：∵设 ， ，且，∴ ，
∴ 虚部，即，∴ ，故C正确.
对于D选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数，均满足，故D正确.
11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2
C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D. 当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D.
【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得，
当时，，即，，所以，
则，故A错误；
因为，，
所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确；
若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，
所以，解得，即，故C错误；
因为，令，，
则，，
满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，
此时，故D错误.
故选：B
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算列方程组求解即可.
【详解】设点，则，.
由，得，解得.
所以点的坐标为.
13. 如图，在中，已知弦，则________.
【答案】2
【解析】
【详解】过点作，垂足为，则为的中点，
则.
14. 设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________.
【答案】20
【解析】
【分析】求出方程的虚数根，结合复数的几何意义求出对应点坐标，根据向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知，，所以.
解方程，得.
所以，，
在复平面内对应的点为，，点.
若为直角顶点，，，
，解得（不合题意，舍去）.
若为直角顶点，，，
，解得（不合题意，舍去）.
若为直角顶点，，，
，解得，满足.
综上，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量与的夹角为，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求向量与向量的夹角.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；
（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解；
（3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解.
【小问1详解】
因为向量与的夹角为，且，
则.
【小问2详解】
因为向量与的夹角为，且，且.
可得.
【小问3详解】
设向量与向量的夹角为，
可得，
因为，可得，所以向量与向量的夹角为.
16. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积；
（3）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角的取值范围求解角B.
（2）借助余弦定理求出边c的长度，代入三角形面积公式计算即可.
（3）利用余弦定理结合基本不等式求的取值上界，结合三角形三边关系确定取值下界，最终得到周长的取值范围.
【小问1详解】
∵ 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）.
∴ ，.
代入得.
∵ ，∴ ，
两边同时约去，得，即.
又∵ ，∴ .
【小问2详解】
∵ ，，，
由余弦定理得，
代入得，
即，整理得.
解得或（边长为正，舍去）.
∴ 的面积.
【小问3详解】
由余弦定理得，
即.
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
∴ ，
∴ ，即，当且仅当时等号成立.
又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴ ，
∴ ，
∴ 的周长.
方法归纳：本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求范围，解题核心是合理进行边角互化，求取值范围时注意结合几何性质限定边界.
17. 已知是虚数，，，且.
（1）求的值和的实部的取值范围；
（2）求证：为纯虚数；
（3）求的最小值.
【答案】（1），的实部.
（2）证明见详解. （3）最小值为1.
【解析】
【分析】(1)设出虚数的一般形式表示出，通过的范围推出属于实数，从而求出以及实部范围.
(2)代入一般形式到中并利用第一小问的内容化简求证.
(3)代入和后化简换元，并利用均值不等式求出其最小值.
【小问1详解】
设，且，则 .
因，得出为实数，那么，.
.
，因为，所以，.
【小问2详解】
证:，且(1)得.
因此为纯虚数.
【小问3详解】
由上题得，，，那么.
设，那么 .
其最小值在时取得，即，因为，所以，
因此时取得最小值且最小值为.
18. 图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）.
（1）求A，B，，的值；
（2）求入口处M离地平面的高度；
（3）求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长.
【答案】（1），，，；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的最值求解，结合最高点与最低点的时间间隔求周期，进而求，代入最高点坐标求.
（2）将代入函数解析式计算得的高度.
（3）建立不等式求解的范围，计算一个周期内符合条件的时长.
【小问1详解】
∵ 高度最大值为，最小值为，
∴ ，解得，.
∵ 从最高点到最低点的时间间隔为半个周期，
∴ ，即，∴ .
∴ .
将，代入得，即，
∴ .∵ ，∴ .
【小问2详解】
由（1）知，
入口处对应，∴ .
即入口处离地面高度为.
【小问3详解】
令，即，化简得.
函数周期，取一个周期，则.
由，得，即，
解得.
∴ 时长为.
19. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可；
（3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值.
【小问1详解】
由题意可知，、的夹角为，
∴
∵，则，
∴
∴.
【小问2详解】
由，，得：，，
∴
则，
∵与的夹角为，
∴
解得.
【小问3详解】
依题意设、，且，，
∵为的中点，
∴
∵为中点，同理可得：
∴
由题意可知，，，
∴
在中依据余弦定理得：
代入上式得：
在中，由正弦定理：
设，则，且，
∴，
，其中为锐角，且，
∵，则，
故当时，取最大值，
∴
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义；
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的运算律.