北京市丰台区2026届高三下学期综合练习（二）数学试卷（含解析）

这是一份北京市丰台区2026届高三下学期综合练习（二）数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
2．复数的虚部是( ).
A.-2B.-1C.1D.2
3．下列函数中，定义域和值域相同的是( )
A.B.
C.D.
4．已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A.B.
C.D.
5．已知圆的圆心为C，斜率为的直线l与该圆相切且与x轴交于点A，则( )
A.B.2C.D.4
6．在的展开式中，的系数为( )
A.-3B.-1C.1D.3
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，M为双曲线E右支上一点，线段与y轴交于点P，若（O为坐标原点），，则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.D.2
8．已知函数，，若的最大值为，则( )
A.，有2个零点B.，有3个零点
C.，有2个零点D.，有3个零点
9．已知定义域为R的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在R上单调递增”是“是奇函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
10．已知曲线.下列结论正确的是( )
A.曲线E上的任意一点P在圆的内部
B.曲线E上的任意一点P在圆的外部
C.曲线E上存在点P，使
D.曲线E上存在点P，使
二、填空题
11．不等式的解集是______.
12．已知等比数列的前n项和为,若,,成等差数列,,则_____________.
三、双空题
13．已知函数的部分图象如图所示，则________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：________.
14．随着科技的不断进步，智能机器人技术已成为推动现代仓储管理领域创新发展的重要力量.如图，某智能仓储机器人在平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）上运动，每步只能向右或向上移动1个单位长度.设该机器人在横坐标为偶数的格点上，向右一步的能耗为3个单位，向上一步的能耗为2个单位；在横坐标为奇数的格点上，向右一步的能耗为2个单位，向上一步的能耗为4个单位.该机器人从出发，先向右移动2个单位长度，再向上移动2个单位长度，到达，则它的总能耗为____________个单位；再从出发运动到，那么它从P到Q的所有路径中，总能耗的最小值为______________个单位.
四、填空题
15．已知P是棱长为2的正方体表面及其内部的点，直线与直线所成的角为，且，给出下列四个结论：
①满足条件的点P有无数个；
②点P的轨迹是一段圆弧；
③线段长度的最大值为2；
④三棱锥体积的最大值为.
其中正确结论的序号是______________.
五、解答题
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．如图，在直三棱柱中，，，E为的中点，直线交平面于点F.
(1)求证：F为的中点；
(2)若M是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
18．某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表.
(1)求n，b的值；
(2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设X为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案：
方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分；
方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分.
用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明）
19．已知椭圆的离心率为，以椭圆E的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知A为椭圆E的左顶点，M，N为椭圆E上两个不同的动点（均不与点A重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点.
20．已知函数，是的导函数.
(1)若，求a的值；
(2)若存在最大值，求a的取值范围；
(3)设在处取得最大值.直线l是曲线在点处的切线，且与y轴交于点Q，O为坐标原点.是否存在点P，使的面积为？若存在，求t的值；若不存在，说明理由.
21．已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数n，都有，则称数列具有性质Ψ.
(1)判断下列无穷数列，是否具有性质Ψ.
①；
②.
(2)对于任意具有性质Ψ的数列，记.求证：；
(3)若数列具有性质Ψ，证明：集合是无限集.
参考答案
1．答案：A
解析：因为集合，，
则集合B必包含元素-1，2，可能包含元素0，1，所以，，故A正确，BD错误，
因为，且，所以，故C错误.
2．答案：B
解析：，故虚部为-1.选B.
3．答案：A
解析：对于A，的定义域为，值域为，
定义域与值域相同，故A正确；
对于B，的定义域为，值域为R，
定义域与值域不同，故B错误；
对于C，的定义域为，值域为R，
定义域与值域不同，故C错误；
对于D，的定义域为，值域为，
定义域与值域不同，故D错误；
4．答案：B
解析：由向量，为单位向量，可得，
因为，可得，
解得，所以，
又因为，可得，所以与的夹角为.
5．答案：D
解析：圆即，圆心为，半径，
设，则直线，即，
则，即，
所以.
6．答案：D
解析：由题意可知展开式中含的项为，
所以的系数为3.
7．答案：C
解析：由题意得，即，
且，，解得，
则.
8．答案：C
解析：因为，，
令，可得的图象开口向下，对称轴，
当，即时，则的最大值为，解得；
当，即时，则的最大值为，解得（舍去）；
综上所述：，则，
令，解得或（舍去），
又因为在有2个解，
所以有2个零点.
9．答案：B
解析：若在R上单调递增，例如，
满足，在区间上单调递增，但，
所以函数不是奇函数，所以充分性不成立；
若函数是奇函数，则，
且在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
所以在R上单调递增，所以必要性成立；
综上所述：“在R上单调递增”是“是奇函数”的必要不充分条件.
10．答案：C
解析：曲线，圆
因为，，
例如点在曲线E上，也在圆上，故AB错误；
由可得，
当且仅当时，等号成立，
设，则，
整理可得，解得，
即，且，，
则，，
所以曲线E上存在点P，使，不存在点P，使，故C正确，D错误.
11．答案：
解析：由不等式，可化为，
因为函数为定义域R上的单调递增函数，所以，
所以不等式的解集为.
12．答案：3
解析：因为,,成等差数列,则,
即,则,即,
可得等比数列的公比为,
且,所以.
13．答案：2；（答案不唯一，满足，即可）
解析：设函数的最小正周期为T，
则，即，
且，则，所以；
由图可知：为函数的对称轴，
结合函数的周期可知函数的对称轴为，，
又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
所以函数的图象的对称轴方程为，，，
所以的图象的一条对称轴方程为.
14．答案：9；441
解析：第一步：（横坐标为偶数）向右移动1个单位长度，能耗为3个单位；
第二步：（横坐标为奇数）向右移动1个单位长度，能耗为2个单位；
第三步：（横坐标为偶数）向上移动1个单位长度，能耗为2个单位；
第四步：（横坐标为偶数）向上移动1个单位长度，能耗为2个单位；
所以总能耗：；
从到共需要向右走98步、向上走98步，
且向右走需要49步奇横坐标格点向右和49步偶横坐标格点，向上走偶横坐标格点向上更便宜，
则向右走的耗能是固定的，为；
且向上走的耗能最小为偶横坐标格点向上，为；
所以最小总耗能为.
15．答案：①③④
解析：以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
可得，，，，
因为直线与直线所成的角为，
则，整理可得，
又因为，则，整理可得，
联立可得，即，
可知点P的轨迹方程为，，
所以点P的轨迹为双曲线的一部分，满足条件的点P有无数个，故①正确，②错误；
因为，则，可得，即，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以线段长度的最大值为2，故③正确；
因为点P到平面的距离为，
所以三棱锥体积的最大值为，故④正确.
16．答案：(1)
(2)若选②，，若选③，，
解析：(1)因为，
由余弦定理得，
因为，可得.
(2)选择条件①：，且
由正弦定理，可得，
因为，所以这样的不存在；
选择条件②，因为，且，
所以，则，
由，可得，
因为，，所以，解得，所以
由正弦定理，可得，
设边上的高为h，可得的面积为，所以，
因为，，可得，
又因为，可得，所以.
选择条件③：由，
根据向量的数量积的公式，可得，所以，
因为且，所以，解得，
由余弦定理，
可得，所以
设边上的高为h，可得的面积为，所以，
所以.
17．答案：(1)证明见详解
(2)
解析：(1)因为平面平面，且平面平面，平面平面，
则，且，可得，
又因为E为的中点，所以F为的中点.
(2)以A为坐标原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，整理可得，解得，
所以.
18．答案：(1)；
(2)X的分布列为
(3)应选择方案二
解析：(1)因为在内频数为60，频率为0.6，则，
且在内频数为30，则，
则在内频数为，频率.
(2)因为综合得分为和的人数比为，
则在综合得分为内抽取人数为，在综合得分为内抽取人数为，
可知随机变量X的可能值为0，1，2，则有：
，，，
所以X的分布列为
X的期望为.
(3)方案一：该公司员工的人均综合得分；
方案二：该公司员工的人均综合得分；
因为，所以应选择方案二.
19．答案：(1)
(2)证明见详解
解析：(1)由题意可得：，，可得，，
所以椭圆E的标准方程为.
(2)由题意可知：，直线的斜率存在，
设直线，，，
联立方程，消去y可得，
则，可得，
则，，
因为，
整理可得，
即，
整理可得，解得或，
若，则直线过定点，不合题意；
若，则直线过定点，符合题意；
综上所述：直线过定点.
20．答案：(1)1
(2)
(3)答案见解析
解析：(1)由函数，可得 ，
则 ， ，
因为 ，可得，解得.
(2)函数的定义域为，因，
令，则
令，，
①当时，即时， 在上恒成立，
即在上恒成立；所以在上单调递增，无最大值，不合题意；
②当时，即时，二次函数 的图象开口向上，
且对称轴，，所以在上恒成立；
即在上恒成立；则在上单调递增，无最大值，不合题意；
③当时，即时，在的根处取得最大值，
由二次函数的图象开口向下，对称轴，
因为，所以存在，，
当时，，即，在上单调递增；
当时，，即，在上单调递减，
所以在处取得最大值，
综上可得，实数a的取值范围为.
(3)由(1)知，可得
因为在处取得最大值，则是的极大值点，
即是的根，则，解得，
把代入得，可得 ，
则曲线在点处的切线方程为 ，
令，可得，
又因为，，
可得
，
在中，O为原点，，，
所以，
当时，，令 ，
可得，
当时，，在单调递增，所以，
即，所以，
因为的面积为，可得，即，
设，，可得 ，
设，，可得，
令，，可得在上单调递增，
所以 ，可得，所以在上单调递增，
所以 ，
可得，所以在上单调递增，
所以，
所以在上无解，即不存在t的值，使得的面积为.
21．答案：(1)①具有性质Ψ；②不具有性质Ψ.
(2)证明见解析.
(3)证明见解析.
解析：(1)①当时，显然为正整数，且.
又因为，所以 .
从而.
前个正奇数的和为，所以.
故数列具有性质Ψ.
②当时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取，有.
而，同时 .
所以.
不满足性质Ψ中的条件②，故数列不具有性质Ψ.
(2)由数列具有性质Ψ，得.
因此，
所以，所以.
(3)设数列满足，.
由题知，得，即，
假设中满足的项数有限，则存在正整数K，使得当时，，
即当时，或.
①若满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，，
由第二问可知恒成立.(1)
设，由于当时，，又是整数，有，
所以，
所以对满足的正整数n，，与(1)式矛盾.
②若满足的项数有限，同理可得矛盾.
③由①②可知，中有无穷多项满足，且有无穷多项满足，
因此，存在正整数，使得且，
因此，存在正整数，使得，且，即且，于是，与矛盾，
所以数列中有无穷多项为0.
即集合是无限集.综合得分
频数
频率
a
b
60
0.6
30
c
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P