北京市丰台区2023届高三下学期综合练习（二）数学试题 附答案

这是一份北京市丰台区2023届高三下学期综合练习（二）数学试题 附答案，共14页。试卷主要包含了04， 已知集合，则，若复数，则，已知圆C等内容，欢迎下载使用。
2023.04
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则（ ）
（A）{1} （B）{0，1} （C）{－1，0，1} （D）{－1，0，1，2}
2.若复数，则（ ）
（A）（B） －（C）（D）5
3.已知数列{}的前n项和为，若，则＝（ ）
（A）－5 （B）5 （C）7 （D）8
4.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ）
（A）（B）（C）π （D）2π
5.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则＝（ ）
（A）（B）（C）（D）
6.已知圆C：，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则m＝（ ）
（A）（B）（C）2（D）8
7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
（A）向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
（B）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
（C）向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
（D）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
8. 已知A、B是△ABC的内角，“△ABC为锐角三角形”是“B”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
9.已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
（A）
（B）
（C）若，则
（D）若，则
10.已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
（A）0 （B） －（C） －1 （D） －2
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.在的展开式中的系数为___．（用数字作答）
12.已知点P（0，2），直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是___．
13.若函数，则___；f（x）的值域为___．
14.在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为___米．
15.已知函数．给出下列四个结论：
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）的一条对称轴方程为
③若函数在区间[0，]上有5个零点，从小到大依次记为，，，，，则；
④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足．
其中所有正确结论的序号是___．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题13分）在四边形ABCD中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
（I）求BD的长；
（II）求四边形ABCD的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17.（本小题14分）如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，平面ABF//平面CDE，A，D，E，F四点共面，．
（I）求证：；
（II）求点F到平面BCE的距离；
（III）过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，求EP的长度．
18.（本小题14分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
（I）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
（II）现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；
（III）对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出，，的大小关系．（结论不要求证明）
19.（本小题15分）已知椭圆C：经过两点A（－2，0），B（，）．
（I）求椭圆C的方程和离心率；
（II）设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，若点M（1，0）满足，求证：P，O，Q三点共线．
20.（本小题15分）
已知函数
（I）当时，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）若f（x）是增函数，求a的取值范围；
（III）证明：f（x）有最小值，且最小值小于f（1）．
21.（本小题14分）已知等比数列{}的公比为，其所有项构成集合A，等差数列{}的公差为d（，其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列{}．
（I）若集合，写出一组符合题意的数列{}和{}；
（II）若，数列{}为无穷数列，，且数列{}的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值；
（III）若数列{}是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列{}，使的充要条件是“d是有理数”．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2022~2023学年度第二学期综合练习（二）
高三数学 参考答案
2023.4
一、选择共10小题，每小题4分，共40分
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11. 2412.（答案不唯一）13.0；14. 80 15. ②③
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题13分）
选择条件①：
解：（I）在△BCD中，由余弦定理得，
即，解得．………………6分
（II）在△BCD中，BC＝3，CD＝2，，所以BD2＋CD2＝BC2，
因此，
所
在△ABD中，AB＝1，AD＝2，，所以AB2＋AD2＝BD2，
所，
又因为，
所以．………………13分
选择条件②：
解：（1）在△BCD中，BC＝3，CD＝2，由余弦定理得
= 1 \* GB3 ①，
在△ABD中，AB＝1，DA＝2，由余弦定理得
= 2 \* GB3 ②，
因为，
所以，
由①②解得 ，
代入 = 1 \* GB3 ①得………………6分
（II）因为，
所以，
所以，
所以．…………13分
17.（本小题14分）
（I）证明：因为平面ABF//平面CDE，
平面平面ABF＝AF，平面平面CDE＝DE，
所以AF//DE．………………4分
（II）因为DE⊥平ABCD，AD，DC平直ABCD，
所以，
又因为，·
所以AD，DC，DE两两垂直，
以D为原点建立空直角坐标系O－xyz，如图所示，
，
，
设平面BCE的法向量为
由得所以，
所以平面BCE的一个法向量，
所以点F到平面BCE的距离…………9分
（III）设，可得，
因为FP在CE的垂面上，所以FP⊥CE，
所以，所以，
所以…………14分
18.（本小题14分
解：（I）；…………4分
（II）设事件A＝“按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学很有帮助”．
按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，其中1名男教师，4名女教师．
由题意可知100名被调查的教师中．有8名男教师和40名女教师认为人工智对于教学“很有帮助”，
所以估计从该地区教师中任取一名男教师，认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为；任取一名女教师，认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为．
故…………11分
（III） …………14分
19.（本小题15分）
解：（I）因为椭圆C过点，A（－2，0），B（，）．
所以，解得，
所以椭圆C的方程为：，
因为，所以椭圆C的离心率为．…………5分
（II）方法1：
设点，
所以直线PA的方程为，直线AQ的方程，
所以点
因为，所以
即 = 1 \* GB3 ①
当直线PQ无斜率时，设x＝m，
则
代入①得，解得，
所以P，O，Q三点共线．
当直线PQ有斜率时，设，
由得：
所以
代入①得：
解得：n＝0或n＝2k
当n＝2k时，直线PQ的方程，不符合题意．
所以P，O，Q三点共线．
综上，P，O，Q三点共线．………………15分
方法2：
设点，点F（0，n），直线PA的方程为，
所以点E（0，）
因为，所以
所以，即，
所以直线AF的方程为
要证P，O，Q三点共线，由椭圆的对称性，
只需证在直线AF上．
又因为，所以，
所以
所以在直线AF上，
所以P，O，Q三点共线………………15分
20.（本小题15分）
解：f（x）的定义域为
（I）当a＝0时，
所以，
因此，所求切线方程关，即．………………4分
（II），
因为函数f（x）是增函数，所以在区间（0，＋∞）上恒成立，
等价于在区间（0，＋∞）上恒成立，
法1：转化为在区间（0，＋∞）上恒成立，
因为，当且仅当时，
所以，所以．
当时，满足条件．
所以a的取值范围是………………9分
法2：当时，在区（0，＋∞）上恒成立，符合题意．
当时，令，则在区间（0，＋∞）上恒成立，
因为，所以，所以，
综上所述：a的取值范围是．………………9分
（III）由（II）知，当时，f（x）是增函数，f（x）的最小值；
当时，由得，，该方程有两个正实数根，
设为，且，
随x的变化，的变化情况如下表：
所以f（x）的极小值为，f（x）的最小值为，记为．
当，，所以，
当时，，所以，即，
此时，
综上所述，………………15分
21.（本小题14分）
解：（I）为4，6，9；为1，3，5，7（答案不唯一） …………4分
（II）由题意，因为数列是公差d不为0的无穷数列，所以数列的公差必为正数
否则，假设，因为，
所以当时，，与矛盾．
数列的前5项为，且，
因为d＞0，所以是递增数列．
因为，
所以．
此时必有，事实上，若，则的前5项即是的前5项，
与矛盾，
所以或．
若，则，所以，此时的前5项为，
即，所以数列的公差为，
因为，所以符合题意；
若，则或
①时，有成等差数列，所以，解得p＝1，与p＞1矛盾；
= 2 \* GB3 ②时，有，所以，所以的前5项为，
因为，所以，即，所以，与为等差数列矛盾．所以不可能．
综上，p的值为．…………9分
（III）因为数列是首项为1的无穷数列，由（2）知，数列是递增的数列；
对于公比不为1的无穷数列，必有．
否则，若q为负，则相邻两项必有一项为负，与矛盾；
若，因为，
所以当时，与题设矛盾．
先证明充分性：
当d是有理数时，因为数列是递增的等差数列，所以d＞0，
设互质），则，
令，则，
当时，
所以数列的第n项是数列的第项，
所以数列中的项都是数列的项，即．
再证明必要性，（反证法）
假设d是无理数，因为，即数列中的项都是数列的项，
令，则且，
因为，即，
整理得：，约去d有，
因为，且d是无理数，所以，消去j并整理得：
即，与矛盾，所以假设不成立，即d是有理数．
综上所述，“存在数列，使”的充要条件是“d是有理数”．………………14分
没有帮助
有一些帮助
很有帮助
合计
性别
男
2
10
20
女
35
40
80
年龄
40岁以下（含40岁）
1
35
40岁以上
6
26
45
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
D
C
D
A
D
B
x
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增