2026年江苏省南通市中考模拟数学模拟卷含答案

这是一份2026年江苏省南通市中考模拟数学模拟卷含答案，共12页。试卷主要包含了若，则的值是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．7
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘法与减法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先计算乘法，然后再计算减法即可．
【详解】解：，
故选：A．
2．南通市常住人口约775万．将数据775.0万用科学记数法表示为（ ）
A．775×104B．77.5×105C．7.75×106D．0.775×107
【答案】D
【详解】解：将775万用科学记数法表示，775万=7.75×106
故选：C.
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式化简，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式逐个计算判断即可．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
4．如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的定义结合三角形内角和定理得出，即可得解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
5．将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到m的取值范围，即可选出正确答案．
【详解】解：将直线沿y轴向上平移m个单位长度，得到的新直线解析式为：

∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、二、三象限时满足且，
∴
解得，
∴只有A选项中的数符合题意．
6．若，则的值是（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】A
【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵
两边平方得
展开得
整理得，等式两边同除以得
∴
=
7．如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解．
【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
∴设，
∵平行 轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， 即 ，只有符合题意．
8．如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】考查正方形性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理；用几何推理 + 相似 + 勾股解题，关键是先证 F 为中点，再用相似得线段比，易错点是比例关系看错、勾股计算错误．
先由正方形对角线得角，结合证 F 是中点；再由得，推出，算出；最后用勾股定理求，化简得出比值．
【详解】
过 E 作于 M．
正方形中是对角线，，
设，则，，
正方形边长．
由是等腰直角三角形，
，．
由，
，
，即F是中点．
正方形中，
故，相似比，
．
由，
​，
又，
．
在中，，，
由勾股定理：
．
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，原点，点A，点B均在x轴上．点C在y轴上，直线的解析式，直线的解析式．动点P从点A出发，沿着线段，线段，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点M，作于点N．若设P点运动时间为．有下列结论：
①当时，；
②四边形的面积的最大值为2；
③t有两个不同的值满足四边形的面积为，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】先计算相关边长，易得四边形为矩形，对于①，当时，，再解即可得到，进而得到；对于②，分、两种情况，得到，进而得到四边形面积的表达式，结合二次函数最值即可判断；对于③，结合②的结论，直接解方程即可判断．
【详解】解：由题可知，，
则，故为等腰直角三角形，
，，
，又，，
四边形为矩形，
①当时，，又，，
，又四边形为矩形，
，故①正确；
②当时，在上，，则，
，
，
当时，四边形的面积的最大，最大值为；
当时，在上，，
又，
，
，
当时，四边形的面积的最大，最大值为；
综上，四边形的面积的最大值为2，故②正确；
③当时，，
即，解得或（舍去），
当时，，
解得或（舍去），
综上，t有两个不同的值满足四边形的面积为，故③正确．
10．已知两个多项式，，均为正整数，为实数．下列说法：
①若，则存在实数使得；
②若，关于的方程有唯一解，这个解为；
③若，，，则满足条件的多项式共有4个．
其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】分别对三个说法，利用一元一次方程解的性质，一元二次方程根的判别式，因式分解求正整数解，逐一判断即可得到正确个数．
【详解】解： ① 根据题意，得：

当时， ，
若存在实数使，需判别式

取正整数，得 ，此时不存在满足条件的，故①错误；
② 当时，整理方程得：

若方程有唯一解，则，此时，仅当时，不是所有情况都满足，例如 时，，故②错误；
③ 对等式，变形因式分解得：

均为正整数， ， ，即，
21的正整数分解中符合条件的只有，：
可得 ，
为正整数，正整数解为，，，共4组，对应4个不同的多项式 ，故③正确；
综上，正确的说法共1个，故选B．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．因式分解：____________．
【答案】
【详解】解：
．
12．写出一个使在实数范围内有意义的的值：______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义得到，然后解不等式，取恰当的值即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得，
∴的值为（答案不唯一）．
13．如图，，以点O为圆心，以3为半径画弧，分别交，于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，连接．若，则的长为________．
【答案】
【分析】连接，过点C作，由题意可知，，，则和，即可得，进而得，则有．
【详解】解：连接，由作图可得平分，
过点C作，如图，
则，，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．植树节来临之际，学校组织320名学生进行植树活动，计划种植杨树和松树两种树苗，已知种植1棵杨树需要3名学生，种植1棵松树需要5名学生．若要种植的两种树苗总棵数不少于100棵，则种植杨树的学生至少______人．
【答案】270
【分析】设种植杨树的学生人数为未知数，根据总学生数表示出种植松树的学生人数，再根据总棵数的限制条件列出一元一次不等式，解不等式得到种植杨树学生人数的最小值．
【详解】解：设种植杨树的学生有人，则种植松树的学生有人．
由题意可知，杨树总棵数为，松树总棵数为，根据两种树苗总棵数不少于棵，列一元一次不等式：
不等式两边同乘去分母得：
去括号得：
合并同类项得：
系数化为得：
故种植杨树的学生至少为人．
15．魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若（其中a为正整数，整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为____．（结果保留两位小数）
【答案】9.85
【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将 改写为 的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意得，．
，．
将表示为，此时．
若取，则，．
因此取，，
代入近似公式，得：
．
16．七巧板是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图2是由图1拼成的风车形状，则的值为______．
【答案】
【分析】根据七巧板的几何特征及图2所示的风车形状，设图1中正方形的边长为，从而求得图2中的相关线段的表达式，进而求得正切值．
【详解】解：标注点F，P，Q如解图，
设题图1中正方形的边长为，
根据七巧板的性质可得，，
∴，
∴．
17．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________．
【答案】a或
【分析】分两种情况，根据“反直角三角形”定义和圆周角定理、等边三角形的性质、锐角三角函数进行解答即可．
【详解】解：如图，
∵等边的边长为，
∴，
∴，
∵为“反直角三角形”，
∴，
∴，
∴
当点落在点上时，，
∵为“反直角三角形”，
∴，
∴，
∴，
连接与交于，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
综上可知，或．
18．如图，在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点．若是的中点，正方形的面积为7，则的值为____．
【答案】7
【分析】根据正方形的性质得出，，结合是的中点可得与的关系；根据直角三角形斜边中线的性质得出，；通过证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入计算即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，面积为
，，
是的中点

，是斜边 的中点
，即



在和 中



，

．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题12分）
（1）解方程组：（2）计算：．
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）运用加消元法解二元一次方程；
（2）先进行分式的乘法运算，再计算减法得到结果．
【详解】（1）解：，得
把代入，得
这个方程组的解为
（2）解：原式．
20．（本题10分）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，．
命题1：若四边形是菱形，则四边形是矩形；
命题2：若四边形是矩形，则四边形是菱形．任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例．
【答案】见解析
【分析】命题1：先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，即对角线互相垂直可得，由此证明即可；
命题2：先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，即对角线互相平分且相等可得，由此证明即可．
【详解】解：命题1：真命题，证明如下：
证明：∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴四边形是矩形；
命题2：真命题，证明如下：
证明：∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形．
21．（本题10分）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）；
(3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数．
【答案】(1)50，见解析
(2)72，C
(3)598人
【分析】（1）用C组人数除以占比求出抽取的学生的人数，然后求出B组人数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）用乘以A组占比即可求出圆心角；根据中位数的定义求解；
（3）利用样本估计总体求解．
【详解】（1）解：抽取的学生的人数是（人），
∴B组人数为（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是；
∵共有50个数据，
∴中位数是第25个和第26个数据的平均数，
∵A，B组的和为，C组人数为21，
∴第25个数，第26个数都落在C组；
（3）解：（人），
答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人．
22．（本题10分）南通市第六批市级非物质文化遗产，包括很多类别，其中传统美术类中有四个项目：
A. 南通绳结;B.南通虎头鞋;C. 绢本造像;D. 海门刻瓷.
小林和小红两位同学想从这四个项目中随机选择一个进行学习和研究。
(1)小红选择“C. 绢本造像”的概率是_____；
(2)用画树状图或列表等方法，求小林和小红选择不同项目的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：小红从四个项目中随机选择一个，
小红选择“C. 绢本造像”的概率为；
（2）解：画树状图如下：
共有种等可能结果，其中小林和小红选择不同实践项目的结果有种，
小林和小红选择不同实践项目的概率为．
23．（本题12分）如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为m．
(1)的长为 ，的取值范围是 ；
(2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？
(3)当为何值时，矩形花园的面积取得最大值，并求出此时面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)当时，矩形花园的面积为
(3)当时，面积取得最大值，此时
【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式组求解；
（2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可；
（3）根据矩形花园面积列二次函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：根据题意得
整理得
解得（舍），
答：当时，矩形花园的面积为
（3）解：依题意，
∵
∴当时，面积取得最大值，此时
24．（本题12分）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点D，E，且．
(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点；
（1）连接，根据切线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可证，即可得证；
（2）设，则，根据勾股定理列方程，即可求得半径，再根据阴影部分的面积即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设，则，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积．
25．（本题13分）如图1，已知：矩形纸片，（），点，分别是边，上的点，将纸片分别沿直线，折叠，点对应点落在矩形的内部，点对应点落在直线上．
(1)的度数为________；
(2)如图2，当时，点与重合，将矩形纸片再沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上，连接交于点．
①的度数为________；
②若，求线段的长；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)的值为或
【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质，即可求解；
（2）①根据折叠的性质和矩形的性质，可得，再根据平角的定义，计算即可求解；②根据特殊角的三角函数值，可求，，再根据，可说明矩形是正方形，从而，，，最后再根据三角函数，解直角三角形即可；
（3）延长交于点，过点作，交、于点、，设，则，，根据矩形的性质，可得，利用“”得，从而可说明四边形是正方形，进而可求，，再说明，可得，，最后根据勾股定理，列方程求解即可．
【详解】（1）解：由折叠的性质得，，，
矩形纸片，
，
点对应点落在直线上，即点，，三点共线，
，
，即，
；
（2）解：①由折叠的性质得，，，，，
，即点，，三点共线，
点在折痕上，即点，，三点共线，
，
，即，
；
解：②矩形纸片，
，
由①知，，
在中，，，
则，，
，即，
矩形是正方形，
，
由折叠得，，，
，
，，
，
在中，，即，
则；
（3）解：如图3，延长交于点，过点作，交、于点、，
设，则，，
矩形纸片，
，，
（），
，
，
，则，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
在中，，即，，，整理得，
左右两边同时乘，得，解得或
则的值为或．
26．（本题13分）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（m是常数，且），则称点A，B是“m一共倾移动点对”．
(1)已知点A，B在反比例函数图像上，其中点A的坐标为，若点A，B是“1一共倾移动点对”，则点B的坐标是_________．
(2)若机器人从直线与曲线的交点A移动到交点B，若A和B是“1一共倾移动点对”．且
①求m的取值范围；
②若，求m的值．
(3)已知智能图形绘制器绘制的抛物线过点，点是抛物线对称轴上一点，且，点C为平面内一点，点B为抛物线上的动点．若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是“一共倾移动点对”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或
【分析】（1）设，根据点A，B是“1一共倾移动点对”得，解方程即可求解；
（2）①先根据新定义得到，然后联立两解析式得到，利用根的判别式和求出m的取值范围即可
②根据列方程求出m的值即可；
（3）先根据对称轴求出，即可得到抛物线的解析式为，然后分为点B在点A的上方或点B在点A的下方两种情况，分别根据全等三角形的判定和性质求出点B的坐标，然后根据中点坐标公式得到点C的坐标，再根据新定义求出t的值，进而得到点B的坐标，代入解析式即可解题．
【详解】（1）解：设，
∵点A，B是“1一共倾移动点对”，
∴，
∴，
，（舍去），
∴；
（2）解：①把，代入得，，
∴，
又∵点和是“一共倾移动点对”，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
②∵，
∴，
∴，符合m的取值范围；
（3）解：∵抛物线过点，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴抛物线的解析式为，
如图，当点B在点A的上方时，过点D作轴于点H，过点B作轴于点E，
则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，
由正方形的对角线互相平分，根据中点坐标可得：，，
解得：，，
∴点C的坐标为，
当A，D两个顶点是“一共倾移动点对”，
则，解得，
当D，C两个顶点是“一共倾移动点对”，
则，
解得，不符合题意舍去；
当B，C两个顶点是“一共倾移动点对”，
则，
解得，
当B，A两个顶点是“一共倾移动点对”，
则，
解得，不符合题意舍去；
当时，点B的坐标为，
代入抛物线解析式得，
解得；
当点B在点A的下方时，过点D作轴于点H，过点B作轴于点E，
同理可证，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，
由正方形的对角线互相平分，根据中点坐标可得：，，
解得：，，
∴点C的坐标为，
当A，D两个顶点是“一共倾移动点对”，
则，解得，
当D，C两个顶点是“一共倾移动点对”，
则，
解得，不符合题意舍去；
当B，C两个顶点是“一共倾移动点对”，
则，
解得，
当B，A两个顶点是“一共倾移动点对”，
则，
解得，不符合题意舍去；
∴当时，点B的坐标为，
代入抛物线解析式得，
解得；
综上所述，的值为或．