河南省南阳市社旗县九年级上学期1月期末数学考试卷

这是一份河南省南阳市社旗县九年级上学期1月期末数学考试卷，共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（ ）
A．x≥0B．x≤0C．x＞0D．x＜0
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）把多项式x2﹣3x+4进行配方，结果为（ ）
A．（x﹣3）2﹣5B．
C．D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣16B．﹣4C．4D．16
5．（3分）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．80（1﹣x2）＝60B．80（1﹣x）2＝60
C．80（1﹣x）＝60D．80（1﹣2x）＝60
6．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（ ）
A．B．1C．D．2
7．（3分）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
9．（3分）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（ ）
A．2B．3C．D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）化简二次根式的结果等于 ．
12．（3分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
13．（3分）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ．
14．（3分）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
15．（3分）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x＝3．
17．（9分）下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
解方程：4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
解：4（2y﹣5）2﹣9（3y﹣1）2＝0．……第一步
[（4y﹣10）+（9y﹣3）][（4y﹣10）﹣（9y﹣3）]＝0．……第二步
（13y﹣13）（5y﹣7）＝0．……第三步
13y﹣13＝0或5y﹣7＝0．……第四步
解得：y1＝1，y2＝．……第五步
任务一：
①以上解方程过程中，主要是依据 来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）．
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：请正确地解该方程．
18．（9分）有一条长40cm的绳子，要把它围成一个矩形，若设矩形的一边长为xcm，回答以下问题：
（1）怎样围成一个面积为75cm2的矩形？
（2）能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
19．（9分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 ；
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
20．（9分）已知函数y＝2x2﹣3x﹣2，解答下列问题：
（1）画出函数的图象；
（2）观察图象，填空、回答：
①抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 ；
②x取什么值时，y≥0．
21．（9分）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
22．（10分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
23．（10分）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图1，点C把线段AB分成两部分（AC＞CB），如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
（1）特例感知：在图1中，若AB＝10，则BC＝ ；
（2）知识探究：如图2，用纸折出黄金分割点；
①先将一张边长为1的正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF；
②再折出矩形BCFE的对角线BF；
③最后将AB边折到BF上，得到折痕BG，请证明：点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，如图3，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cs72°的值．
2024-2025学年河南省南阳市社旗县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（ ）
A．x≥0B．x≤0C．x＞0D．x＜0
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可求得答案．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x≥0，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、2﹣＝，不符合题意；
B、（﹣）2＝5﹣2，不符合题意；
C、＝3，符合题意；
D、＝2，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
3．（3分）把多项式x2﹣3x+4进行配方，结果为（ ）
A．（x﹣3）2﹣5B．
C．D．
【分析】利用配方法把原式化为（x﹣h）2+k的形式即可．
【解答】解：x2﹣3x+4
＝x2﹣3x+﹣+4
＝（x﹣）2+，
故选：B．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣16B．﹣4C．4D．16
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，
解得c＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5．（3分）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．80（1﹣x2）＝60B．80（1﹣x）2＝60
C．80（1﹣x）＝60D．80（1﹣2x）＝60
【分析】利用现在生产1千克甲种药品的成本＝两年前生产1千克甲种药品的成本×（1﹣甲种药品成本的年平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：80（1﹣x）2＝60．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE＝AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝AC，
∵点E为OC的中点，
∴CE＝OC＝AC，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴EF＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．（3分）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用锐角三角函数的定义求出AB的长，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝29°，BC＝35m，
∴tan∠ACB＝tan29°＝＝，
∴AB＝35×tan29°（m），
∴用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序是35×tan29＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
8．（3分）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【分析】根据概率的定义判断即可．
【解答】解：A、小星定点投篮1次，不一定能投中，故符合题意；
B、小星定点投篮1次，不一定可以投中，故不符合题意；
C、小星定点投篮10次，不一定投中4次，故不符合题意；
D、小星定点投篮4次，不一定投中1次，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解频率和概率的定义是解题的关键．
9．（3分）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF，得△ADH∽△FGH，得DH：HG＝AD：GF＝6：2＝3：1，由DG＝6﹣2＝4，即可得DH＝4÷（1+3）×3＝3．
【解答】解：由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，
得AD∥GF，
得△ADH∽△FGH，
得DH：HG＝AD：GF＝6：2＝3：1，
由DG＝6﹣2＝4，
得DH＝4÷（1+3）×3＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是相似三角形的性质的应用．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式y＝﹣（x+1）2+4，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断．
【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误；
选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误；
选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数基础知识是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）化简二次根式的结果等于 3 ．
【分析】根据二次根式的性质：＝|a|，直接计算．
【解答】解：＝|﹣3|＝3．
【点评】此题主要考查二次根式的性质：＝|a|．
12．（3分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（3分）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．
【解答】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
树状图如下：
由上可得，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．
14．（3分）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
【分析】设抛物线为y＝a（x﹣5）2+4，把点，代入即可求出解析式；当y＝0时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离OM．
【解答】解：以点O为坐标原点，射线OM方向为x轴正半轴，射线OP方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，如图，
由题意得：P，顶点坐标为（5，4），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣5）2+4，把点P的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
当y＝0时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离OM为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
15．（3分）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 ．
【分析】设AG与BF交于点M，BG＝a，则BC＝5a，勾股定理求出AG，BF，根据等面积法求出BM，根据，列出方程进行求解即可．
【解答】解：方法一：设AG与BF交于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD＝4，
∵翻折，
∴，AG⊥BH，
设BG＝a，则BC＝5a，
∴，，
∵，
∴，
∵∠BMG＝∠C＝90°，
∴cs，
∴BM•BF＝BG•BC，
∴，
∴，经检验是原方程的解，
∴，
方法二：∵△ABG∽△BCF，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形折叠，勾股定理，解直角三角形，掌握性质和综合推理能力是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x＝3．
【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）用因式分解法解即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4×+2
＝1﹣2+2
＝1；
（2）x2﹣2x＝3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，一元二次方程的解法，熟练掌握实数的运算法则和因式分解法是解答本题的关键．
17．（9分）下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
解方程：4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
解：4（2y﹣5）2﹣9（3y﹣1）2＝0．……第一步
[（4y﹣10）+（9y﹣3）][（4y﹣10）﹣（9y﹣3）]＝0．……第二步
（13y﹣13）（5y﹣7）＝0．……第三步
13y﹣13＝0或5y﹣7＝0．……第四步
解得：y1＝1，y2＝．……第五步
任务一：
①以上解方程过程中，主要是依据 因式分解法 来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）．
②第 三 步开始出现错误，错误的原因是 合并同类项出错 ．
任务二：请正确地解该方程．
【分析】任务一：由因式分解法可得出答案；
任务二：根据合并同类项方法计算即可．
【解答】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法，
故答案为：因式分解法．
②第三步出现错误，错误的原因是合并同类项出错，
故答案为：三，合并同类项出错．
任务二：4（2y﹣5）2﹣9（3y﹣1）2＝0，
[（4y﹣10）+（9y﹣3）][（4y﹣10）﹣（9y﹣3）]＝0，
（13y﹣13）（﹣5y﹣7）＝0，
13y﹣13＝0或﹣5y﹣7＝0，
解得：y1＝1，y2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解因式分解法是解题的关键．
18．（9分）有一条长40cm的绳子，要把它围成一个矩形，若设矩形的一边长为xcm，回答以下问题：
（1）怎样围成一个面积为75cm2的矩形？
（2）能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
【分析】设矩形的一边长为xcm，则该边的邻边长为（20﹣x）cm．
（1）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为75cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为101cm2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣4＜0，即可得出不能围成一个面积为101cm2的矩形．
【解答】解：设矩形的一边长为xcm，则该边的邻边长为（20﹣x）cm．
（1）根据题意得：x（20﹣x）＝75，
解得：x1＝5，x2＝15，
∴20﹣x＝15或5．
答：围成长为15cm、宽为5cm的矩形，该矩形的面积为75cm2．
（2）根据题意得：x（20﹣x）＝101，
整理得：x2﹣20x+101＝0．
∵△＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0，
∴此方程无实根，
∴不能围成一个面积为101cm2的矩形．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（9分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 0.3 ；
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【分析】（1）根据频率等于频数除以总数即可求解．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两次摸出的小球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，摸出黄球的频率是3÷10＝0.3．
故答案为：0.3．
（2）列表如下：
共有25种等可能的结果，其中这两次摸出的小球都是红球的结果有9种，
∴这两次摸出的小球都是红球的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（9分）已知函数y＝2x2﹣3x﹣2，解答下列问题：
（1）画出函数的图象；
（2）观察图象，填空、回答：
①抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是 （0，﹣2） ，与x轴的交点坐标是 （，0）和（2，0） ；
②x取什么值时，y≥0．
【分析】（1）利用描点法直接画图即可．
（2）①由（1）可知，抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2），与x轴的交点坐标是（，0）和（2，0）．
②结合图象可直接得出答案．
【解答】解：（1）列表：
画出函数y＝2x2﹣3x﹣2的图象如图所示．
（2）①抛物线y＝2x2﹣3x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2），与x轴的交点坐标是（，0）和（2，0）．
故答案为：（0，﹣2）；（，0）和（2，0）．
②由图可知，或x≥2时，y≥0．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（9分）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
【分析】过点M作MN⊥AB，先利用直角三角形的边角间关系求出DN、AF的长，再利用线段的和差关系求出FN．
【解答】解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）．
在Rt△DMN中，
∵tan∠DMN＝，
∴DN＝tan∠DMN•MN＝tan30°×MN＝×6＝2（米）．
在Rt△AEF中，
∵sin∠AEF＝，
∴AF＝sin∠AEF•EF＝sin45°×EF＝×4＝2（米）．
∵AF+DN＝AN+DF，
∴DF＝2+2﹣4.8
≈2×1.73+2×1.41﹣4.8
＝3.46+2.82﹣4.8
＝1.48
≈1.5（米）．
答：中轴上DF的长度为1.5米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质与判定、线段的和差关系及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
22．（10分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【分析】（1）根据二次函数的性质，可得当t＝﹣时，离地面的高度最大；
（2）取t＝，h＝20，代入所给的关系式，即可求得小球被发射时的速度；
（3）把所给关系式中的v0换成（2）中求得的速度20，取h＝15，求得相应的时间，相减即为两次间隔的时间，即可判断小明的说法是否正确．
【解答】解：（1）∵﹣5＜0，
∴当t＝﹣＝时，离地面的高度最大．
故答案为：；
（2）当t＝ 时，h＝20．
．
解得：v0＝20（取正值）．
答：小球被发射时的速度是20m/s；
（3）小明的说法不正确．
理由如下：
由（2）得：h＝﹣5t2+20t．
当h＝15时，15＝﹣5t2+20t．
解方程，得：t1＝1，t2＝3．
∵3﹣1＝2（s），
∴小明的说法不正确．
【点评】本题考查二次函数的应用．应注意使用前一问中得到的结论，来解决后一问中的问题．
23．（10分）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图1，点C把线段AB分成两部分（AC＞CB），如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
（1）特例感知：在图1中，若AB＝10，则BC＝ 15﹣5 ；
（2）知识探究：如图2，用纸折出黄金分割点；
①先将一张边长为1的正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF；
②再折出矩形BCFE的对角线BF；
③最后将AB边折到BF上，得到折痕BG，请证明：点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，如图3，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cs72°的值．
【分析】（1）根据黄金分割的定义求解即可；
（2）连接GF，根据正方形的边长为1，由折纸第一步，可知，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出，则．设AG＝A'G＝x，则GD＝1﹣x，在Rt△A'GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变得出 A'F2+A'G2＝DF2+DG2 列出关于x的方程，解方程求出，即可说明点G是AD的黄金分割点；
（3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA＝∠PAE＝180°﹣108°＝72°，根据已知条件可知 cs72°＝，再根据点E是线段PD的黄金分割点，即可求解．
【解答】解：（1）∵，AB＝10，
∴AC＝，
BC＝AB﹣AC＝，
故答案为：；
（2）如图，连接GF，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴，
在Rt△BCF中，，
∴A'F＝BF﹣A'B＝，
设AG＝A′G＝x，
则GD＝1﹣x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有 A'F2+A'G2＝DF2+DG2，
即，
解得，
∴点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．
（3）正五边形的每个内角为：，
∴∠PEA＝∠PAE＝180°﹣108°＝72°，
∴cs72°＝，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴，
又∵AE＝ED，，
∴．
【点评】本题考查黄金分割、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
B
B
A
A
B
D
红
红
红
白
黄
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
（红，黄）
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
（红，黄）
红
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，白）
（红，黄）
白
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，白）
（白，黄）
黄
（黄，红）
（黄，红）
（黄，红）
（黄，白）
（黄，黄）
x
...
0
2
...
y
...
0
﹣2
﹣2
0
...