2026届广东省汕头市濠江区金山中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届广东省汕头市濠江区金山中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了若直线的倾斜角为，则的值为，已知是等差数列的前项和，，，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
A．甲得分的平均数比乙大B．甲得分的极差比乙大
C．甲得分的方差比乙小D．甲得分的中位数和乙相等
2．已知i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．6D．8
4．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）
A．该市总有 15000 户低收入家庭
B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户
C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户
D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户
5．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )
A．B．C．D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）
A．B．
C．D．
8．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．85B．C．35D．
11．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．执行下面的程序框图，则输出的值为 （ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，则_____．
14．的展开式中，项的系数是__________．
15．设为锐角，若，则的值为____________．
16．已知是等比数列，且，，则__________，的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：
（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积.
18．（12分）已知函数，.
（1）若不等式对恒成立，求的最小值；
（2）证明：.
（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.
19．（12分）如图在四边形中，，，为中点，.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
20．（12分）已知函数，将的图象向左移个单位，得到函数的图象.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，的一条对称轴是，求在的值域.
21．（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．
22．（10分）若关于的方程的两根都大于2，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．
【详解】
对于甲，；
对于乙，，
故正确；
甲的极差为，乙的极差为，故错误；
对于甲，方差.5，
对于乙，方差，故正确；
甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确．
故选：．
【点睛】
本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
2、A
【解析】
根据复数乘除运算法则，即可求解.
【详解】
.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数代数运算，属于基础题题.
3、A
【解析】
依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；
【详解】
解：∵双曲线的离心率为，
所以，∴，∴，双曲线的焦距为.
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4、D
【解析】
根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.
【详解】
解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，
则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，
该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，
该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，
该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.
5、A
【解析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为
因为点在角的终边上，所以
依题有,则，
所以，
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
6、C
【解析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.
【详解】
由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，
侧棱长为，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为，
由正弦定理可得，解得，
三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，
所以，
该几何体外接球的表面积为：.
故选：C
【点睛】
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
7、A
【解析】
分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.
详解：根据题意有，如果交换一个球，
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，
红球的个数就会出现三种情况；
如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，
对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.
点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.
8、B
【解析】
根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线的倾斜角为，所以，
则
故答案选B
【点睛】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
9、B
【解析】
由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，由题意可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.
10、B
【解析】
将已知条件转化为的形式，求得，由此求得.
【详解】
设公差为，则，所以，，，.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
11、A
【解析】
由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.
【详解】
如图，连接OP，AM，
由题意得，
点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
12、D
【解析】
根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.
【详解】
运行程序，
，
，
，
，
，
，结束循环，
故输出，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得的比值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，当直线过点时，取得最大值7；过点时，取得最小值2，所以.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
14、240
【解析】
利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，计算展开式中含有项的系数即可.
【详解】
由题意得：，只需，可得，
代回原式可得，
故答案：240.
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.
15、
【解析】
∵为锐角，，∴，
∴，，
故.
16、5
【解析】

，即的最大值为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）先求出角，进而可得出，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得的值；
（2）计算出和，计算出，可得出，进而可求得的面积.
【详解】
（1）因为，所以，得，
，，
为钝角，与矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.
显然，得.
当①③正确时，
由，得（无解）；
当②③正确时，由于，，得；
（2）如图，因为，，则，
则，.
【点睛】
本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
18、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）由题意可得，，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为，令，，利用导数得单调性即可得到答案；
（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.
【详解】
（1），即，化简可得.
令，，因为，所以，.
所以，在上单调递减，.
所以的最小值为.
（2）要证，即.
两边同除以可得.
设，则.
在上，，所以在上单调递减.
在上，，所以在上单调递增，所以.
设，因为在上是减函数，所以.
所以，即.
（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证
，由可知，即要证.
当时，，，因而在上单调递增.
当时，，，因而在上单调递减.
因为，所以，要证.
即要证.
记，.
因为，所以，则.
.
设，，当时，.
时，，故.
且，故，因为，所以.
因此，即在上单调递增.
所以，即.
故得证.
【点睛】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.
19、（1）1；（2）
【解析】
（1），在和中分别运用余弦定理可表示出，运用算两次的思想即可求得，进而求出；
（2）在中，根据余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性，求出的面积的最大值．
【详解】
（1）由题设，则
在和中由余弦定理得：
，即
解得，∴
（2）在中由余弦定理得，
即，∴
所以面积的最大值为，此时.
【点睛】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
20、（1）增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；
（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论．
【详解】
由题意得
（1）向左平移个单位得到，
增区间：解不等式，解得，
减区间：解不等式，解得.
综上可得，的单调增区间为，
减区间为；
（2）由题易知，，
因为的一条对称轴是，
所以，，解得，.
又因为，所以，即.
因为，所以，则，
所以在的值域是.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．
21、（1）见解析，，x[0，1]；（2）P(，)时，视角∠EPF最大．
【解析】
（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系，设出方程，通过点的坐标可求方程；
（2）设出的坐标，表示出，利用基本不等式求解的最大值，从而可得观测点P的坐标．
【详解】
（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系
由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为
代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]；
（2）设P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝
，，
令，，则：
，
当且仅当即，即，即时取等号；
故P(，)时视角∠EPF最大，
答：P(，)时，视角∠EPF最大．
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
22、
【解析】
先令，根据题中条件得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为关于的方程的两根都大于2，
令
所以有，
解得，所以.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.