2026届广东省汕头市金中南区学校高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届广东省汕头市金中南区学校高三下学期联合考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设是虚数单位，若复数，则，若集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( )
A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
2．已知集合，集合，那么等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．设是虚数单位，若复数，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )
A．B．0C．D．
7．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
8．要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
9．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，，则.其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
11．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）
A．B．C．D．
12．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数函数，则不等式的解集为____．
14．已知平面向量与的夹角为，，，则________.
15．已知复数z是纯虚数，则实数a＝_____，|z|＝_____．
16．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在锐角三角形中，角的对边分别为．已知成等差数列，成等比数列．
（1）求的值；
（2）若的面积为求的值．
18．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设射线与曲线交于不同于极点的点，与曲线交于不同于极点的点，求线段的长．
20．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
21．（12分）在中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值．
22．（10分）已知，.
（1）当时，证明：；
（2）设直线是函数在点处的切线，若直线也与相切，求正整数的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.
【详解】
由图可知，，
又，，
又，，，
为了得到这个函数的图象，
只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，
得到的图象，
再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.
故选:A
【点睛】
本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.
2、A
【解析】
求出集合，然后进行并集的运算即可.
【详解】
∵，，
∴.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
3、A
【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.
【详解】
由，，可知平面．
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
记的外心为，由为等边三角形，
可得．又，故在中，，
此即为外接球半径，从而外接球表面积为．
故选：A
【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
4、C
【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28不在同一组的概率.
故选：C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.
5、A
【解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可
【详解】
∵复数，∴，，则，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题
6、D
【解析】
运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数为辅助角，
由于函数的对称轴的方程为，且，
即，解得，所以，
又由，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设，，
所以，
当时，的最小值，故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7、A
【解析】
用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．
【详解】
解：由集合，解得，
则
故选：．
【点睛】
本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．
8、A
【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.
【详解】
解：
.
对于A：可得.
故选:A.
【点睛】
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
9、C
【解析】
根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论.
【详解】
由题意，，，又，则，
由余弦定理可得.
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.
10、C
【解析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.
【详解】
解：①：、也可能相交或异面，故①错
②：因为，，所以或，
因为，所以，故②对
③：或，故③错
④：如图
因为，，在内过点作直线的垂线，
则直线，
又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则
又，所以
因为，，
所以，所以，故④对.
故选：C
【点睛】
考查线面平行或垂直的判断，基础题.
11、A
【解析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.
故选：A
【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题
12、A
【解析】
由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.
【详解】
因为，所以，又，所以，
，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
，，
所以，
所以的解集为。
点睛：本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到的解析式，求得的分段函数解析式，再解不等式即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。
14、
【解析】
根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.
【详解】
由可得，
则，
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.
15、1 1
【解析】
根据复数运算法则计算复数z，根据复数的概念和模长公式计算得解.
【详解】
复数z，
∵复数z是纯虚数，∴，解得a＝1，
∴z＝i，∴|z|＝1，
故答案为：1，1．
【点睛】
此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
16、
【解析】
构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.
【详解】
令，则是上的偶函数，
，则在上递减，于是在上递增．
由得，
即，
于是，
则，
解得．
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
(1)根据成等差数列与三角形内角和可知,再利用两角和的正切公式,代入化简可得,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得,联立即可求解求的值.
(2)由(1)可知,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得,再结合的面积为利用面积公式求解即可.
【详解】
解：成等差数列,
可得
而,即,展开化简得
,因为,故
①
又成等比数列,
可得,
即,
可得
联立解得（负的舍去）,
可得锐角；
由可得,
由为锐角,
解得,
因为为锐角,故可得,
由正弦定理可得,
又的面积为
可得,
解得．
【点睛】
本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.
18、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可
【详解】
（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
所以.
（2）的可能取值为0,1,2,3，
，
，
，
，
的分布列为
.
【点睛】
本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题
19、（1）；（2）
【解析】
曲线的参数方程转换为直角坐标方程为．再用极直互化公式求解，曲线的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程．
射线与曲线的极坐标方程联解求出，射线与曲线的极坐标方程联解求出， 再用 得解
【详解】
解：曲线的参数方程为（为参数，转换为直角坐标方程为．把，代入得：
曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．
设射线与曲线交于不同于极点的点，
所以，解得．
与曲线交于不同于极点的点，
所以，解得，
所以
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用和的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的分别用，代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
20、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差；
（2）由题意知服从二项分布，分别求出，，，，进而可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知服从正态分布，继而可求出的值，从而可判断.
【详解】
解：（1）
（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在的概率为0.7.
随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量服从二项分布，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望
（3）由题意知服从正态分布，
则，
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
【点睛】
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.
21、 (1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以 ．
进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．
解析：
（I）因为，所以，
由正弦定理，
得．
又因为 ，，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
（II）由，得，
由余弦定理，
得，
即，
因为，
解得 .
因为 ，
所以 .
22、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）令，求导，可知单调递增，且，，因而在上存在零点，在此取得最小值，再证最小值大于零即可.
（2）根据题意得到在点处的切线的方程①，再设直线与相切于点， 有，即，再求得在点处的切线直线的方程为 ②由①②可得，即，根据，转化为，，令，转化为要使得在上存在零点，则只需，求解.
【详解】
（1）证明：设，
则，单调递增，且，，
因而在上存在零点，且在上单调递减，在上单调递增，
从而的最小值为.
所以，即.
（2），故，
故切线的方程为①
设直线与相切于点，注意到，
从而切线斜率为，
因此，
而，从而直线的方程也为 ②
由①②可知，
故，
由为正整数可知，，
所以，，
令，
则，
当时，为单调递增函数，且，从而在上无零点；
当时，要使得在上存在零点，则只需，，
因为为单调递增函数，，
所以；
因为为单调递增函数，且，
因此；
因为为整数，且，
所以.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
0
1
2
3
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343