2026届广东省梅县高级中学高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届广东省梅县高级中学高三下学期联合考试数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了已知菱形的边长为2，，则，已知x，，则“”是“”的，函数的大致图象是等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ）
A．156B．124C．136D．180
5．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则＝（ ）
A．{3，5，6}B．{1，5，6}C．{2，3，4}D．{1，2，3，5，6}
6．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( )
A．B．C．D．
7．已知菱形的边长为2，，则（）
A．4B．6C．D．
8．已知x，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )
A．B．0C．D．
10．函数的大致图象是
A．B．C．D．
11．二项式展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．D．
12．设，集合，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则展开式中的系数为__
14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，其中为左焦点.点为两曲线在第一象限的交点，、分别为曲线、的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为________.
15．内角，，的对边分别为，，，若，则__________．
16．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的前n项和为，，公差，、、成等比数列，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和.
18．（12分）如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面．
求证：平面；
若，，求证：平面平面.
19．（12分）已知函数，设为的导数，．
（1）求，；
（2）猜想的表达式，并证明你的结论．
20．（12分）如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
21．（12分）在数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的最小值
22．（10分）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D.
2、B
【解析】
求出的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出的范围即可．
【详解】
解：令，则，
则，
故，如图示：
由，
得，
函数恒过，，
由，，
可得，，，
若方程有唯一解，
则或，即或；
当即图象相切时，
根据，，
解得舍去），
则的范围是，
故选：．
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．
3、D
【解析】
先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以只需将的图象向右平移个单位.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
4、A
【解析】
因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5、B
【解析】
按补集、交集定义，即可求解.
【详解】
＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，
所以＝{1，5，6}.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题.
6、C
【解析】
求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得
【详解】
抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.
7、B
【解析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形的边长为2，，
∴，∴，
∴，且，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
8、D
【解析】
，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案.
【详解】
因为x，，
当时，不妨取，，
故时，不成立，
当时，不妨取，则不成立，
综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
9、D
【解析】
运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数为辅助角，
由于函数的对称轴的方程为，且，
即，解得，所以，
又由，所以函数必须取得最大值和最小值，
所以可设，，
所以，
当时，的最小值，故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
10、A
【解析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.
【详解】
由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；
当时，，可排除D选项；
当时，，当时，，
即，可排除C选项，
故选：A
【点睛】
本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
11、D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.
【详解】
二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
12、B
【解析】
先化简集合A,再求.
【详解】
由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B
【点睛】
本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1．
【解析】
由题意求定积分得到的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中的系数．
【详解】
∵已知，则，
它表示4个因式的乘积．
故其中有2个因式取，一个因式取，剩下的一个因式取1，可得的项．
故展开式中的系数．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．
14、
【解析】
设，由椭圆和双曲线的定义得到，根据是以为底边的等腰三角形，得到 ，从而有，根据，得到，再利用导数法求的范围.
【详解】
设，
由椭圆的定义得 ，
由双曲线的定义得，
所以，
因为是以为底边的等腰三角形，
所以，
即 ，
因为，
所以 ，
因为，所以，
所以，
即，
而，
因为，
所以在上递增，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15、
【解析】
∵，∴，即，
∴，∴．
16、
【解析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等比数列，所以数列的公比为1．
又，
所以当时，有．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（）；（2）.
【解析】
（1）根据是等差数列，，、、成等比数列，列两个方程即可求出，从而求得，代入化简即可求得；（2）化简后求和为裂项相消求和，分组求和即可，注意讨论公比是否为1.
【详解】
（1）由题意知，，，
由得
，
解得.
又，得，
解得或（舍）.
，.
又（），
（）.
（2），
①当时，
.
②当时，
.
【点睛】
此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.
18、证明见解析；证明见解析.
【解析】
利用线面平行的判定定理求证即可；
为中点，为中点，可得，，，可知，故为直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求证即可.
【详解】
解： 证明：为中点，为中点，
，
又平面，平面，
平面；
证明：为中点，为中点，
，又，，
则，故为直角三角形，，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又∵平面，
平面平面.
【点睛】
本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.
19、,；
，证明见解析
【解析】
对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;
根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.
【详解】
（1）
，其中，
[
，其中，
（2）猜想，
下面用数学归纳法证明：
①当时，成立，
②假设时，猜想成立
即
当时，
当时，猜想成立
由①②对成立
【点睛】
本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.
20、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据平面，利用线面垂直的定义可得，再由，根据线面垂直的判定定理即可证出.
（2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量，利用空间向量法即可求解.
【详解】
因为平面平面，
所以
由为等腰直角三角形，
所以
又，故平面.
取的中点，连接，
因为，
所以
因为平面，
所以平面
所以平面
如图，以为坐标原点，分别为正半轴建立空间直角坐标系
则，
又，
所以且于是

设平面的法向量为，则
令得平面的一个法向量
设直线与平面所成的角为，
则
【点睛】
本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由得，两式相减可得是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；
（2），分类讨论，当时，，作商法可得数列为递增数列，由此可得答案，
【详解】
解：（1）因为，，
两式相减得：，即，
是从第二项开始的等比数列，
∵
∴，则，
；
（2），
当时，；
当时，
设递增，
，
所以实数的最小值．
【点睛】
本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．
22、（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.
试题解析：（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.