广东省梅县2026届高三数学上学期期中测试试卷含解析

这是一份广东省梅县2026届高三数学上学期期中测试试卷含解析，共24页。试卷主要包含了 已知集合 ，集合 ，则， 命题“ ”的否定是， ，则 的大小关系为， 已知函数 ， 若 ，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合一元二次不等式解法化简集合 ，根据并集的定义求结论.
【详解】不等式 的解集为 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选：C.
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题“ ”为全称量词命题，
其否定为： .
故选：A
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3. 下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的性质判断即可.
【详解】由指数函数 性质知，函数为非奇非偶，A 不正确，由反比例函数 知在 上
为减函数， B 不正确，由对数函数性质知 为偶函数，C 不正确，由正弦函数性质知
为奇函数，且在 上单调递增，D 正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了常见基本初等函数的单调性及奇偶性，属于中档题.
4. ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的图像与性质即可求解.
【详解】由于 ， ， ，所以 ；
故选：B
5. 已知直线 与曲线 相切，则实数 k 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先设切点为 ，利用导数的几何意义得到 ，从而得到直线方程为 ，再
将切点代入直线求解即可.
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【详解】设切点为 ， ，则 ，
所以直线方程为 .
又因为 在直线 上，所以 ，解得 .
所以 .
故选：C
6. 已知函数 .若 有 2 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，转化为函数 与函数 的图象有 2 个交点，作出图象即可求解.
【详解】令 可得 ，
作出函数 与函数 的图象如下图所示：
当 时，函数 与函数 的图象有 2 个交点，
此时，函数 有 2 个零点.
因此，实数 的取值范围是 .
故选：C
7. 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦函数的单调性结合题意可得.
【详解】由题意可得 ，
即 ，
令 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
8. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知的等式构造不等式 ，分析函数 在 上的
单调性，得到 与 的大小关系，再根据对数的性质判断，可得结果.
【详解】因为 .
设 （ ），因为 ， 在 都是增函数，所以 在 上单调
递增.
所以 ，所以 ，故 A 错，C 正确；
又因为 ，所以 ，所以 或 无意义，故 B、
D 均不正确.
故选：C
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二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 对于任意实数 ，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，且 ，则
D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A，举反例即可判断；对于 BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断.
【详解】对于 A，若 ， ，则 ，故 A 错误；
对于 B，若 ，显然 ，即 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，则 ，又 ，即 ，所以 ，故 C 错误；
对于 D，若 ，则 ，即 ，故 D 正确.
故选：BD.
10. 在 中，内角 所对的边分别为 ，如下判断正确的是（ ）
A. 若 ，则 为等腰三角形
B. 若 ，则
C. 若 为锐角三角形，则
D. 若满足条件 的 有两个，则 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断 A 的正误，根据正弦定理边角转化后可判断 B 的正误，
根据诱导公式可判断 C 的正误，根据三角形解的个数可得 ，计算后可判断 D 的正误.
【详解】对于 A，因为 ，由正弦定理可得 ，
故 ，因为 ，
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故 或 ，故 或 ，
故 为等腰三角形或直角三角形，故 A 错误；
对于 B，设 为外接圆的半径，
因为 ，故 ，故 即 ，故 B 正确；
对于 C，若 为锐角三角形，故 ，
故 ，故 即 ，故 C 正确；
对于 D，因为满足条件 的 有两个，
所以 即 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 设集合 ，若 ，使得 （ 两两不等），则称
为 集，下列结论正确的是（ ）
A. 若 是 集，则 或
B. 若集合 是 集，集合 是非空数集，则 是 集
C. 若集合 是 集，集合 ，则 为 集
D. ， 且 ，使得 是 集
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据 集的定义求出 ，即可判断 A，举反例判断 B，根据 集的定义判断 C、D.
【详解】对于 A：由 集的定义及已知得， ，或 ，或 ，
解得 或 （舍去 ），故 A 正确；
对于 B：若取 ，则 ， ，显然 不符合 集的定义，故 B 错误；
对于 C：由 集，所以存在 （ 两两不等），使得 ，
因为 中的元素个数不小于 ，所以 且 ，使得 ，
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且 两两不等，由 ，得 ，所以 为 集，故 C 正确；
对于 D：设 ，
取 ，
满足 （ 两两不等），存在 ,
是 集，故 D 正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知幂函数 的图象与坐标轴没有交点，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义得到方程求出 的值，再代入检验即可.
【详解】因为 为幂函数，所以 ，解得 或 ，
当 时 与 轴、 轴均有交点，故不符合题意；
当 时 ，定义域为 ，与 轴没有交点，
又 恒成立，所以 恒成立，所以与 轴没有交点，符合题意.
所以 .
故答案为：
13. 已知函数 的部分图象如图所示，且 ，则 __________.
【答案】 ##
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【解析】
【分析】根据周期求出 ，再根据 求出 ，最后根据 求出 ，即可得到函数解析式，
再代入计算可得.
【详解】由图可得函数的最小正周期 且 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
则 .
故答案为：
14. 若函数 的图象存在对称轴，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设 的对称轴为 ，则 ，从而得到方程，求出 ，故
，令 ，换元并配方得到当 时， 取得最小值，最小值为 .
【详解】设 的对称轴为 ，则 ，
即 ，
化简得 ，
，
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，
故需满足 ，解得 ，
故 ，
令 ，故 ，
则 ，
故当 时，即 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为：
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间以及极值；
（2）求函数 在 上的最值.
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；极大值为 ，无极小值
（2） ，
【解析】
【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函
数的极值;
(2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间 上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是
，比较 和 的大小，求得函数的最小值.
【小问 1 详解】
函数 的定义域是 .
又 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
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所以函数 的极大值为 ，无极小值.
【小问 2 详解】
由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
所以 在 上的最小值为 .
又因为 ，所以 ，
所以函数 在 上的最小值为 ，即 .
16. 已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调递减区间；
（3）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再代入计算可得；
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）首先求出 ，从而求出 ，再由两角差的余弦公式计算可得.
【小问 1 详解】
因为
，
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所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
令 ， ,
解得 ， ,
所以函数 的单调递减区间为 .
【小问 3 详解】
又∵ ，∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
所以
.
17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式 .
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【答案】（1） ，
（2） 在 上为减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得 ，从而求得 的解析式.
（2）根据单调性的定义，计算 来判断 的单调性.
（3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.
【小问 1 详解】
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，而 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ．
【小问 2 详解】
函数 在 上为减函数，
证明如下：任取 ， 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
即 ，所以函数 在 上为减函数．
【小问 3 详解】
因为 是奇函数，
所以不等式 可化为 ，
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因为函数 在 上为减函数，所以 ．
解得 ，所以不等式 的解集为 ．
18. 在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ．
（1）求 ；
（2）已知 ，且 为锐角三角形， 为其外心．
①若点 到边 的距离 ，求 ；
②设 为垂心， 为内心，且 不是等边三角形，求比值 的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；② .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将等式化简，然后根据角的范围求出 即可.
（2）①根据正弦定理求出三角形外接圆半径，然后根据外心到边长的距离与三角形内角的关系，可求出
，最后根据和差倍角的正切公式即可求出 ；②根据向量的加减求出 ，进而求出比值的
范围.
【小问 1 详解】
因为 ，所以根据正弦定理得 .
因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，又 ，故 ．
【小问 2 详解】
①外心 到边 的距离为 ，其中 为外接圆半径．由已知得 ．
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由正弦定理得 ，将 代入得 ．
所以 ，
从而 ，所以 ．
因此 ．
②由 锐角三角形得 ．
设 ，不妨取 ， 对应等边三角形，应排除．
由 及 ，
计算得 ．
所以 ，结合 ，
因此 ．
19. 已知函数 ， ，其中 ，曲线 在点 处的切线
方程为 ．
（1）求 a 的值；
（2）求 的最小值；
（3）设 ，若 对 恒成立，求 b 的最大值．
【答案】（1）1 （2）0
（3）2
【解析】
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【分析】（1）求导得 ，结合曲线 在点 处的切线方程为 ，所
以 ，求出 .
（2）由（1）知 ，求导得到 ，令 ，
则 ，因为 在 上单调递减，且 ，推出存在 使得
， 所 以 在 单 调 递 增 ， 在 单 调 递 减 ， 结 合 得 出
在 上恒成立，从而推出 在 上单调递增，故最小值为 .
（ 3） 若 对 恒 成 立 ， 令 ， 则 ， 由 （ 2） 知
， 所 以 ， 因 为 ， 所 以 ． 假 设 当 时 ， 构 造 函 数
对 恒 成 立 ， 结 合 推 出
，构造函数 ，求导得出 在
上单调递减，所以 ，从而推出 在 上恒成立.
【小问 1 详解】
由 得 ．
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
所以 ，
令 ，则 ．
因 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 单调递减，
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又 ，
所以存在唯一零点 ，使得 ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
又 ，
所以 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 的最小值为 0.
【小问 3 详解】
因为 对 恒成立，
令 ，则 ，
由（2）知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
假设当 时， 对 恒成立．
由（2）知 ，
则 ，
所以 ．
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 在 上恒成立，即 满足题意．
综上所述，整数 的最大值为 2．
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