2026届广东省普宁英才华侨中学高考数学二模试卷含解析

这是一份2026届广东省普宁英才华侨中学高考数学二模试卷含解析，共23页。试卷主要包含了函数在的图象大致为，函数的图象大致为，设、，数列满足，，，则，若变量，满足，则的最大值为，函数在的图像大致为，以下四个命题等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )
A．2B．3C．3.5D．4
3．函数在的图象大致为( )
A．B．
C．D．
4．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（ ）
A．B．
C．，两种情况都存在D．存在某一位置使得
5．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为( )
A．B．
C．D．
7．设、，数列满足，，，则（ ）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
8．若变量，满足，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．10
9．函数在的图像大致为
A．B．C．D．
10．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
11．设，则（ ）
A．B．C．D．
12．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（ ）
A．16B．18C．20D．15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数列的前项和为 ，则数列的前项和_____．
14．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.
15．已知向量，，若，则实数______.
16．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四边形中，，，.
（1）求的长；
（2）若的面积为6，求的值.
18．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.
19．（12分）在中，角所对的边分别为，若，，，且.
（1）求角的值；
（2）求的最大值.
20．（12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；
（2）若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？
21．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．
22．（10分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
模拟程序运行，观察变量值可得结论．
【详解】
循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出．
故选：B．
【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．
2、C
【解析】
根据表中数据，即可容易求得中位数.
【详解】
由图表可知，种子发芽天数的中位数为，
故选：C.
【点睛】
本题考查中位数的计算，属基础题.
3、C
【解析】
先根据函数奇偶性排除B，再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D，即可得解.
【详解】
函数，
则，所以为奇函数，排除B选项；
当时，，所以排除A选项；
当时，，排除D选项；
综上可知，C为正确选项，
故选：C.
【点睛】
本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.
4、A
【解析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．
【详解】
由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，．
设，则有，，，
可得，．
，
，；
，；
，
，，
．
综上可得，．
故选：．
【点睛】
本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
5、C
【解析】
显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.
【详解】
由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,
故选:C
【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.
6、A
【解析】
确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】
时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
7、D
【解析】
取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.
【详解】
取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；
由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，
因为当时，数列单调递增，则；
当时，数列单调递减，则；
所以要使，只需要，故，化简得且.
故选：D．
【点睛】
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
8、D
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．
【详解】
解：画出满足条件的平面区域，如图示：
如图点坐标分别为，
目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.
故选：D
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
9、B
【解析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
10、C
【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.
【详解】
①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③.
故选：C.
【点睛】
本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.
11、C
【解析】
试题分析：，．故C正确．
考点：复合函数求值．
12、A
【解析】
根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.
【详解】
输入的a，b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数，按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16，
故选:A.
【点睛】
本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
解： 两式作差，得 ，经过检验得出数列的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可．
【详解】
解：
两式作差，得
化简得 ，
检验：当n=1时， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列； ，，
令

故填： ．
【点睛】
本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．
14、
【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.
【详解】
由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；
当时，函数图象如下所示：
从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即，
由图可知，故，且，，
从而，
令，显然，
，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.
15、-2
【解析】
根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：
，解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.
16、.
【解析】
利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.
【详解】
，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.
【点睛】
本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)
【解析】
（1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得.
【详解】
解：（1）由题可知.
在中，，
所以.
（2），则.
又，
所以.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.
18、（1），乙公司影响度高；（2）见解析，
【解析】
（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；
（2）易得总收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.
【详解】
（1）由直方图知，，解得，
由频数分布表中知：，解得.
所以，甲公司的导游优秀率为：，
乙公司的导游优秀率为：，
由于，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在中的有人，
乙公司旅游总收入在中的有2人，故的可能取值为1，2，3，易知：
，;
.
所以的分布列为：
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）由正弦定理可得，再用余弦定理即可得到角C；
（2），再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.
【详解】
（1）因为，所以.
在中，由正弦定理得，
所以，即.
在中，由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）由（1）得，在中，，
所以
.
因为，所以，
所以当，即时，有最大值1，
所以的最大值为.
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.
20、 (1) (2)①②第一种抽奖方案.
【解析】
(1)方案一中每一次摸到红球的概率为，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率
(2)①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可 ②根据①得出结论.
【详解】
（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为
设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则
所以两位顾客均获得180元返金劵的概率
（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.
则；
；
；
.
所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
（元）
若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故
所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的
数学期望为（元）.
②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案
【点睛】
本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.
21、见解析
【解析】
（1）当时，函数，其定义域为，
则，设，，
易知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即；当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，为，无极大值．
（2）由题可得函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，
当时，，，
所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，
所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
所以函数有且仅有一个零点．
综上，函数有且仅有一个零点．
22、（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
【解析】
（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.
（2）名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.
【详解】
（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，
18名男同学中应抽取的人数为名，
故不同的样本的个数为.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴的取值为0，1，2，3.
∴，，
，.
∴的分布列为
∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.
可预测该同学的物理成绩为96分.
【点睛】
在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
发芽所需天数
1
2
3
4
5
6
7
种子数
4
3
3
5
2
2
1
0
分组
频数
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
76
83
812
526
1
2
3
P
0
1
2
3