2026届广东省罗定市重点中学高考考前模拟数学试题含解析

这是一份2026届广东省罗定市重点中学高考考前模拟数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，设，且，则，若，满足约束条件，则的最大值是，复数的虚部是，在的展开式中，含的项的系数是，已知命题等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A．6B．5C．4D．3
2．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A．B．C．D．
3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
4．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）
A．－1B．2C．0或－1D．2或－1
5．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．13D．
7．复数的虚部是 ( )
A．B．C．D．
8．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74B．121C．D．
9．已知命题：，，则为( )
A．，B．，
C．，D．，
10．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
11．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.
14．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
15．若函数，则__________；__________.
16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点，若点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求△面积的最大值及此时直线的方程.
18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为.
(1)求；
(2)求的周长 .
19．（12分）已知中，，，是上一点．
（1）若，求的长；
（2）若，，求的值．
20．（12分）已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足.
(1)求的方程；
(2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围.
21．（12分）设函数.
（1）若恒成立，求整数的最大值；
（2）求证：.
22．（10分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行.
（1）求的值；
（2）若函数，求证：恒成立.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．
【详解】
由图象得,令=0,即=kπ，
k=0时解得x=2，
令=1,即，解得x=3，
∴A(2,0),B(3,1)，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】
本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.
2、A
【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.
【详解】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：
其中，底面为直角三角形，，，高为.
∴该几何体的体积为
故选：A.
【点睛】
本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.
3、D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
4、D
【解析】
利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.
【详解】
由于，所以，即，，即，解得或.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.
5、C
【解析】
将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.
【详解】
即
故选：C
【点睛】
此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.
6、C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即
点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
【点睛】
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
7、C
【解析】
因为 ，所以的虚部是 ，故选C.
8、D
【解析】
根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，
【详解】
因为在，
所以含的项为：，
所以含的项的系数是的系数是，
，
故选：D
【点睛】
本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，
9、C
【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.
【详解】
全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，，
.
故选：.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
10、B
【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】
∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
【点睛】
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
11、D
【解析】
因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.
点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.
12、C
【解析】
连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.
【详解】
连接AO，由O为BC中点可得，
，
、、三点共线，
，
.
故选：C.

【点睛】
本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
14、16 1
【解析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．
【详解】
某医院一次性收治患者127人．
第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．
且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，
从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，
则第19天治愈出院患者的人数为，
，
解得，
第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．
故答案为：16，1．
【点睛】
本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
15、0 1
【解析】
根据分段函数解析式，代入即可求解.
【详解】
函数，
所以，
.
故答案为：0；1.
【点睛】
本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题.
16、
【解析】
三视图还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，，填。
【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.
【解析】
（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；
（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.
【详解】
解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.
因此椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，
，联立直线与椭圆的方程消去可得，
即，.
面积可表示为
令，则，上式可化为，
当且仅当，即时等号成立，
因此面积的最大值为，此时直线的方程为.
【点睛】
常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：
（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；
（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.
18、（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；
（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．
【详解】
（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.
（2）∵，所以，，又，且 ，，的周长为
【点睛】
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.
19、（1） （2）
【解析】
（1）运用三角形面积公式求出的长度，然后再运用余弦定理求出的长.
（2）运用正弦定理分别表示出和，结合已知条件计算出结果.
【详解】
（1）由
在中，由余弦定理可得
（2）由已知得
在中，由正弦定理可知
在中，由正弦定理可知
故
【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型，能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中的关系，即可求得的值，进而得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程为，由题意可知为中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出，由判别式可得；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简可得，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点的坐标，代入圆的方程，化简可得，代入数量积公式并化简，由换元法令，代入可得，再令及，结合函数单调性即可确定的取值范围，即确定的取值范围，因而可得的取值范围.
【详解】
（1）分别是椭圆的左焦点和右焦点，
则，椭圆的离心率为
则解得，
所以，
所以的方程为.
（2）设直线的方程为，点满足，则为中点，点在圆上，设，
联立直线与椭圆方程，化简可得，
所以
则，化简可得，
而
由弦长公式代入可得
为中点，则
点在圆上，代入化简可得，
所以
令，则，，
令，则
令，则，
所以，
因为在内单调递增，所以，
即
所以
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.
21、（1）整数的最大值为；（2）见解析.
【解析】
（1）将不等式变形为，构造函数，利用导数研究函数的单调性并确定其最值，从而得到正整数的最大值；
（2）根据（1）的结论得到，利用不等式的基本性质可证得结论.
【详解】
（1）由得，
令，，
令，对恒成立，
所以，函数在上单调递增，
，，，，
故存在使得，即，
从而当时，有，，所以，函数在上单调递增；
当时，有，，所以，函数在上单调递减.
所以，，
，因此，整数的最大值为；
（2）由（1）知恒成立，，
令则，
，，，，
上述等式全部相加得，
所以，，
因此，
【点睛】
本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题．
22、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）求导得到，解得答案.
（2）变形得到，令函数，求导得到函数单调区间得到，，得到证明.
【详解】
（1），，解得.
（2）得，变形得，
令函数，，令解得，
当时，时.
函数在上单调递增，在上单调递减，，
而函数在区间上单调递增，，
，即，
即，恒成立.
【点睛】
本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.