2026届广东省东莞市东莞高级中学高考考前模拟数学试题含解析

这是一份2026届广东省东莞市东莞高级中学高考考前模拟数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了已知满足，，,则在上的投影为，一个频率分布表，已知集合，集合，则等于等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的渐近线方程为( )
A．B．
C．D．
2．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A．1B．C．D．
3．已知函数，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
5．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
A．72种B．144种C．288种D．360种
6．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．已知满足，，,则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．2
8．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ）
A．B．C．D．
9．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，集合，则等于（ ）
A．B．
C．D．
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( )
A．B．3C．2D．
12．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线的焦点坐标为______.
14．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
15．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
16．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；
（2）若，，求的取值范围.
18．（12分）已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）判断函数的零点个数.
19．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.
（1）求证：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的普通方程；
（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.
21．（12分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 交于，两点，点为椭圆的左焦点.
（1）求证：直线与椭圆相切；
（2）判断是否为定值，并说明理由.
22．（10分）已知椭圆E：（）的离心率为，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程.
【详解】
双曲线得，则其渐近线方程为，
整理得.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.
2、C
【解析】
对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
对任意的总有恒成立
，对恒成立，
令，
可得
令，得
当，
当
，，
故
令，得
当时，
当，
当时，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.
3、C
【解析】
求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．
【详解】
由得，
在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数，
∴由得，解得．
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．
4、C
【解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】
函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5、B
【解析】
利用分步计数原理结合排列求解即可
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.
选.
【点睛】
本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题
6、C
【解析】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.
【详解】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，
在中，，故，即.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7、A
【解析】
根据向量投影的定义，即可求解.
【详解】
在上的投影为.
故选:A
【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
8、B
【解析】
计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，样本在的数据个数为，
样本在的数据个数为，
因此，样本在、内的数据个数为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.
【详解】
解：不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
10、B
【解析】
求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.
【详解】
由，
所以，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.
11、D
【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．
【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故
对三角形运用余弦定理，得到，
而结合，可得，，代入上式子中，得到
，结合离心率满足，即可得出，故选D．
【点睛】
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．
12、C
【解析】
试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.
考点：三视图
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
变换得到，计算焦点得到答案.
【详解】
抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.
14、2
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．
【详解】
二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15、1
【解析】
根据程序框图直接计算得到答案.
【详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
16、1
【解析】
由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.
【详解】
因为，所以由正弦定理可得，所以;
所以，当，即时，三角形面积最大.
故答案为(1). 1 (2).
【点睛】
本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）在为增函数；证明见解析（2）
【解析】
（1）令，求出，可推得，故在为增函数；
（2）令，则，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，.
记，则，
当时，，.
所以，所以在单调递增，所以.
因为，所以，所以在为增函数.
（2）由题意，得，记，则，
令，则，
当时，，，所以，
所以在为增函数，即在单调递增，
所以.
①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，
又，所以，所以在为增函数，所以
所以满足题意.
②当，，令，，
因为，所以，故在单调递增，
故，即.
故，
又在单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数，，
当时，，单调递减，即单调递减，
所以，此时在为减函数，
所以，不合题意，应舍去.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题.
18、（1）（2）答案见解析（3）答案见解析
【解析】
（1）设曲线在点，处的切线的斜率为，可求得，，利用直线的点斜式方程即可求得答案；
（2）由（Ⅰ）知，，分时，，三类讨论，即可求得各种情况下的的单调区间为；
（3）分与两类讨论，即可判断函数的零点个数．
【详解】
（1），
，
设曲线在点，处的切线的斜率为，
则，
又，
曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2）由（1）知，，
故当时，，所以在上单调递增；
当时，，；，，；
的递减区间为，递增区间为，；
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为，；
综上所述，时，单调递增为，无递减区间；
当时，的递减区间为，递增区间为，；
当时，的递增区间为，递减区间为，；
（3）当时，恒成立，所以无零点；
当时，由，得：，只有一个零点．
【点睛】
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，属于中档题．
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点为，连接，，，，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.
（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取中点为，连接，，，如下图所示：
因为，，，
所以，故为等边三角形，则.
连接，因为，，
所以为等边三角形，则.
又，所以平面.
因为平面，
所以.
（2）由（1）知，
因为平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易求，则，，，，
则，，.
设平面的法向量，
则即令，则，，
故.
设平面的法向量，
则则
令，则，，故，
所以.
由图可知，二面角为钝二面角角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.
20、（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）
【解析】
（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.
（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.
【详解】
（1）曲线的普通方程为：；
曲线的普通方程为：.
（2）设过原点的直线的极坐标方程为；
由得，所以曲线的极坐标方程为
在曲线中，.
由得曲线的极坐标方程为，所以
而到直线与曲线的交点的距离为，
因此，
即的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.
21、（1）证明见解析；（2）是，理由见解析.
【解析】
（1）根据判别式即可证明．
（2）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，
【详解】
解：（1）当时直线方程为或，直线与椭圆相切.
当时，由得，
由题知，，即，
所以.
故直线与椭圆相切.
（2）设，，
当时，，，，
所以，即.
当时，由得，
则，，
.
因为

.
所以，即.故为定值.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ） 结合已知可得，求出a，b的值，即可得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.
【详解】
解：（Ⅰ）可得，结合，
解得，，，得椭圆方程；
（Ⅱ）易知直线的斜率k存在，设：，
由，得，
由，得，
∵，
设点O到直线：的距离为d，
，
，
由，得，
，，
∴

∴，
∴
而，，易知，∴，则，
四边形的面积
当且仅当，即时取“”.
∴四边形面积的最大值为4.
【点睛】
本题考查了由求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.