2026届广东省惠来一中高考考前模拟数学试题含解析

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1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）
A．55B．500C．505D．5050
2．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
3．已知，则（ ）
A．5B．C．13D．
4．已知a，b∈R，，则（ ）
A．b＝3aB．b＝6aC．b＝9aD．b＝12a
5．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合，，，则( )
A．B．C．D．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面，，，满足，，则；
B．命题：，，则：，；
C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
9．已知菱形的边长为2，，则（）
A．4B．6C．D．
10．已知i是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
11．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
12．函数的大致图象为
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____．
14．若为假，则实数的取值范围为__________.
15．函数满足，当时，，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为___________.
16．在面积为的中，，若点是的中点，点满足，则的最大值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足：，，且对任意的都有,
（Ⅰ）证明：对任意，都有；
（Ⅱ）证明：对任意，都有；
（Ⅲ）证明：.
18．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.
19．（12分）在直角坐标系中，已知直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线、相交于异于极点的点，若的极径分别为，求的值.
20．（12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）当，且时，求的面积.
21．（12分）如图，在矩形中，，，点分别是线段的中点，分别将沿折起，沿折起，使得重合于点，连结.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知函数，.
（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；
（2）求证：（，且）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，
又阶幻方有行（或列），
因此，，
于是．
故选：C
【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
2、C
【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.
【详解】
①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③.
故选：C.
【点睛】
本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.
3、C
【解析】
先化简复数，再求，最后求即可.
【详解】
解：，
，
故选：C
【点睛】
考查复数的运算，是基础题.
4、C
【解析】
两复数相等，实部与虚部对应相等.
【详解】
由，
得，即a，b＝1．
∴b＝9a．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数的概念，属于基础题.
5、A
【解析】
根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若有且仅有3个零点，
则等价为有且仅有3个根，
即与有三个不同的交点，
作出函数和的图象如图，
当a=1时，与有无数多个交点，
当直线经过点时，即，时，与有两个交点，
当直线经过点时，即时，与有三个交点，
要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间，
即，
故选：A．
【点睛】
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
6、A
【解析】
由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得，由，解得，
所以，.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
7、A
【解析】
求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.
【详解】
由，得，所以，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
8、D
【解析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.
【详解】
若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；
命题“：，”的否定为：，，故B错误；
为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；
故选D
【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
9、B
【解析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形的边长为2，，
∴，∴，
∴，且，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
10、D
【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果
【详解】
故选
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。
11、B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
12、A
【解析】
因为，所以函数是偶函数，排除B、D，
又，排除C，故选A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2.
【解析】
由双曲线的一条渐近线为，解得．求出双曲线的右焦点，利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
双曲线的一条渐近线为
解得：
双曲线的右焦点为
焦点到这条渐近线的距离为：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题．
14、
【解析】
由为假，可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可.
【详解】
因为为假，则其否定为真，
即为真，所以对任意实数恒成立，所以.
又，当且仅当，即时，等号成立，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.
15、
【解析】
由已知，在上有3个根，分，，，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.
【详解】
由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，而含505个周期，所以在上有3个根，设，，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.
若时，在上无根，在必有3个根，
则，即，此时；
若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；
若时，要使在有2个根，只需，解得；
若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；
综上，实数的范围为.
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.
16、
【解析】
由任意三角形面积公式与构建关系表示|AB||AC|，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化，最后由重要不等式求得最值.
【详解】
由△ABC的面积为得|AB||AC|sin∠BAC=，
所以|AB||AC|sin∠BAC=，①
又,即|AB||AC|cs∠BAC=，②
由①与②的平方和得:|AB||AC|=，
又点M是AB的中点，点N满足，
所以
，
当且仅当时，取等号，
即的最大值是为.
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；
(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；
(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.
详解：证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则
若,则,与任意的都有矛盾；
若,则有,则
与任意的都有矛盾；
故对任意，都有成立；
（Ⅱ）由得，
则，由（Ⅰ）知，，
即对任意，都有；.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，
由（Ⅰ）知，， ∴，
∴，即，
若，则,取时，有，与矛盾.
则. 得证.
点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.
18、（1）（）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；
（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，，，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.
【详解】
（1）设，由已知，
∴，
∴（），
化简得点的轨迹的方程为：（）；
（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意
故可设直线的方程为：（），代入的方程得：
.
设，，则，
，.
∴直线：.
令，得
.
直线过轴上的定点.
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.
19、（1），.（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程.
（2）将直线的极坐标方程代入曲线、可得，进而代入可得的值.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（为参数），
消去得，
把，代入得，
从而得的极坐标方程为，
∵直线的直角坐标方程为，其倾斜角为，
∴直线的极坐标方程为.
（2）将代入曲线的极坐标方程分别得到
，
则.
【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）利用二倍角公式求解即可，注意隐含条件.
（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根据三角形的面积公式即可计算得出.
【详解】
（1）由已知可得，
所以，
因为在锐角中，，
所以
（2）因为，
所以，
因为是锐角三角形，
所以，
所以
.
由正弦定理可得：，所以，
所以
【点睛】
此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.
21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）根据，，可得平面，故而平面平面．
（Ⅱ）过作于，则可证平面，故为所求角，在中利用余弦定理计算，再计算．
【详解】
解：（Ⅰ）因为，，，平面，平面
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（Ⅱ）过作于，则由平面，且平面知
，所以平面，从而是直线与平面所成角.
因为，，，
所以，
从而.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题．
22、（1）1；（2）见解析
【解析】
（1）分别求得与的导函数，由导函数与单调性关系即可求得的值；
（2）由（1）可知当时，，当时，，因而，构造，由对数运算及不等式放缩可证明，从而不等式可证明.
【详解】
（1）∵函数在上单调递减，
∴，即在上恒成立，
∴，
又∵函数在上单调递增，
∴，即在上恒成立，，
∴综上可知，.
（2）证明：由（1）知，当时，函数在上为减函数，
在上为增函数，而，
∴当时，，当时，.
∴
∴
即，
∴.
【点睛】
本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.