2026届广东省华南师大附中高考数学考前最后一卷预测卷含解析

这是一份2026届广东省华南师大附中高考数学考前最后一卷预测卷含解析，共21页。试卷主要包含了已知集合，集合，则，若为纯虚数，则z＝等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A．2B．C．D．3
2．定义在上的函数满足，则（）
A．-1B．0C．1D．2
3．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
4．在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（ ）
A．B．C．D．
5．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
6．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
8．若为纯虚数，则z＝（ ）
A．B．6iC．D．20
9．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．B．C．D．
10．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）．
A．B．C．D．
11．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（ ）
A．B．C．D．
12．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，，，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设全集，，，则______.
14．已知数列的前项和为，且成等差数列，，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为______________.
15．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．
16．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；
(2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.
18．（12分）已知抛物线的焦点为，直线交于两点（异于坐标原点O）.
（1）若直线过点,，求的方程；
（2）当时，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
19．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：
（Ⅰ）根据数据可知与之间存在线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以（单位：万台）表示日销售，当时，不设奖；当时，每位员工每日奖励200元；当时，每位员工每日奖励300元；当时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售（万台）服从正态分布（其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元.
参考数据：，，，，
参考公式：相关系数，其回归直线中的，若随机变量服从正态分布，则，.
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.
（1）求曲线的参数方程；
（2）求面积的最大值．
21．（12分）已知函数.
（1）当时.
①求函数在处的切线方程；
②定义其中，求；
（2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.
22．（10分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案．
【详解】
，；
；
故选：．
【点睛】
本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．
2、C
【解析】
推导出，由此能求出的值．
【详解】
∵定义在上的函数满足，
∴，故选C．
【点睛】
本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.
3、D
【解析】
利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.
【详解】
解：对于，当，且，则与的位置关系不定，故错；
对于，当时，不能判定，故错；
对于，若，且，则与的位置关系不定，故错；
对于，由可得，又，则故正确．
故选：．
【点睛】
本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
4、D
【解析】
由题先画出立体图，再画出平面处的截面图，由抛物线第一定义可知，点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体，设，两球球心和公切点都在体对角线上，通过几何关系可转化出，进而求解
【详解】
根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以.

故选：D
【点睛】
本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养
5、B
【解析】
利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.
【详解】
，
解得（当且仅当时取等号），则②正确；
将和联立，解得，
即圆与曲线C相切于点，，，，
则①和③都错误；由，得④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
6、C
【解析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.
【详解】
解：∵,,
∴,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.
7、D
【解析】
根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可．
【详解】
解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，即．
则直线的斜率．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．
8、C
【解析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.
【详解】

∵为纯虚数，
∴且
得，此时
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的概念与运算，属基础题.
9、A
【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
10、A
【解析】
先化简求出，即可求得答案.
【详解】
因为，
所以
所以
故选：A
【点睛】
此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.
11、A
【解析】
直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可
【详解】
直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.
故选：A
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.
12、A
【解析】
设E为BD中点，连接AE、CE，过A作于点O，连接DO，得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到即为直线AC与平面ABD所成角，进而求得其正弦值，得到结果.
【详解】
设E为BD中点，连接AE、CE，
由题可知，，所以平面，
过A作于点O，连接DO，则平面，
所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，
所以，可得，
在中可得，
又，即点O与点C重合，此时有平面，
过C作与点F，
又，所以，所以平面，
从而角即为直线AC与平面ABD所成角，，
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【详解】
解：，或；
∴；
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
14、1
【解析】
本题先根据公式初步找到数列的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得的值，即可确定数列的通项公式，代入数列的表达式计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和，再代入不等式进行计算可得最小正整数的值．
【详解】
由题意，当时，．
当时，．
则，．
，，成等差数列，
，即，
解得．
．
，．
．
．
，．
即，
，即，
，，
，即．
满足的最小正整数的值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力．
15、100.
【解析】
分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．
详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，
根据频率分布直方图可得三等品的频率为，
∴样本中三等品的件数为.
点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．
16、
【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.
【详解】
双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.
由题意得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线;(2)8.
【解析】
试题分析：（1）将曲线的极坐标方程为两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线经过点，可得的值，再将直线的参数方程代入曲线的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线被曲线截得的线段的长.
试题解析：（1）由可得，即，
∴ 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线.
（2）将代入，得，∴ ，
∵ ，∴ ，∴直线的参数方程为 (为参数).
将直线的参数方程代入得，
由直线参数方程的几何意义可知，
.
18、（1）（2）直线过定点
【解析】
设.
（1）由题意知，.设直线的方程为，
由得，则，
由根与系数的关系可得，
所以.
由，得，解得.
所以抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，由根与系数的关系可得，
所以，解得.
所以直线的方程为，
所以时，直线过定点.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元
【解析】
（Ⅰ）由题意计算x、y的平均值,进而由公式求出回归系数b和a,即可写出回归直线方程;
（Ⅱ）由题意计算平均数μ，得出z~N (μ,)，求出日销量z∈[0.13,0.15) 、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，计算奖金总数是多少.
【详解】
（Ⅰ）因为，
，
因为，
所以，
所以；
（Ⅱ）因为，
所以，
故即，
日销量的概率为，
日销量的概率为，
日销量的概率为，
所以奖金总数大约为：（元）.
【点睛】
本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了利用正态分布计算概率，进而估计总体情况，属于中档题.
20、（1）（为参数）；（2）.
【解析】
（1）根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程；
（2）将曲线的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程，得出和关于的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值．
【详解】
（1）由于曲线的参数方程为（为参数），
将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，
则曲线的参数方程为（为参数）；
（2）将曲线的参数方程化为普通方程得，
化为极坐标方程得，即，
设点的极坐标为，点的极坐标为，
将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，，
的面积为，
当时，的面积取到最大值.
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21、（1）①；②8079；（2）.
【解析】
（1）①时，，，利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程．
②由，得，由此能求出的值．
（2）根据若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，得到函数在区间，上不单调，从而求得的取值范围．
【详解】
（1）①∵，
∴
∴，∴，∵，
所以切线方程为.
②，
.
令，则,.
因为①,
所以②,
由①+②得,所以.
所以.
（2），当时，函数单调递增；
当时，，函数单调递减∵，，
所以，函数在上的值域为.
因为， ，
故，，①
此时，当 变化时、的变化情况如下：
∵，
，
∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，
使得成立，当且仅当满足下列条件
，即
令，，
，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减所以，对任意，有，即②对任意恒成立.
由③式解得：④
综合①④可知，当时，对任意给定的，
在上总存在两个不同的，使成立.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．
22、 (1)见解析;(2).
【解析】
试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ；
（2）设直线的参数方程为（为参数）
又直线与曲线：存在两个交点，因此.
联立直线与曲线：可得则
联立直线与曲线：可得，则
即
月 份
5
6
7
8
9
10
11
12
研发费用（百万元）
2
3
6
10
21
13
15
18
产品销量（万台）
1
1
2
2.5
6
3.5
3.5
4.5
—
0
+
单调减
最小值
单调增