2026届广东省岭南师院附中高考数学考前最后一卷预测卷含解析

这是一份2026届广东省岭南师院附中高考数学考前最后一卷预测卷含解析，共19页。试卷主要包含了直角坐标系中，双曲线，已知的共轭复数是，且，设，分别为双曲线，若的展开式中的系数为150，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为( )
A．B．C．D．
2．函数在上的图象大致为( )
A．B．
C．D．
3．设分别为的三边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．C． D．
5．记其中表示不大于x的最大整数，若方程在在有7个不同的实数根，则实数k的取值范围( )
A．B．C．D．
6．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
7．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
8．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．若的展开式中的系数为150，则（ ）
A．20B．15C．10D．25
11．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知集合，，则集合子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则正数的取值范围是______.
14．在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______.
15．若曲线（其中常数）在点处的切线的斜率为1，则________.
16．已知，，是平面向量，是单位向量.若，，且，则的取值范围是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；
（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.
下面的临界值表供参考：
（参考公式，其中）
20．（12分）设的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
21．（12分）已知函数
（1）若，不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
22．（10分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.
（1）求证:平面；
（2）求证:.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论．
【详解】
设分别是的中点
平面
是等边三角形
又
平面 为与平面所成的角
是边长为的等边三角形
，且为所在截面圆的圆心
球的表面积为 球的半径
平面
本题正确选项：
【点睛】
本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．
2、A
【解析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；
【详解】
解：依题意，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；
而，排除B；，排除D.
故选：.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.
3、B
【解析】
根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.
【详解】
根据题意,可得几何关系如下图所示:
,
故选:B
【点睛】
本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.
4、B
【解析】
先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.
【详解】
设直线与圆相切于点，
因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，
又因为圆与直线的切点为，所以，
又，所以，
因此，
因此有，
所以，因此渐近线的方程为.
故选B
【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
5、D
【解析】
做出函数的图象，问题转化为函数的图象在有7个交点，而函数在上有3个交点，则在上有4个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】
作出函数的图象如图所示，由图可知

方程在上有3个不同的实数根，
则在上有4个不同的实数根，
当直线经过时，；
当直线经过时，，
可知当时，直线与的图象在上有4个交点，
即方程，在上有4个不同的实数根.
故选:D.
【点睛】
本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.
6、D
【解析】
根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.
【详解】
因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到
故答案为：D.
【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
7、D
【解析】
结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.
【详解】
若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：D
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.
8、D
【解析】
设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．
【详解】
设，
因为，所以，
所以，解得：，
所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.
故选D
【点睛】
本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．
9、C
【解析】
设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解.
【详解】
设过点作圆 的切线的切点为，
，
所以是中点，，
，
.
故选:C.
【点睛】
本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
10、C
【解析】
通过二项式展开式的通项分析得到，即得解.
【详解】
由已知得，
故当时，，
于是有，
则.
故选：C
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11、C
【解析】
先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.
【详解】
因为为等比数列，所以，故即，
由可得或，因为为递增数列，故符合.
此时，所以或（舍，因为为递增数列）.
故，.
故选C.
【点睛】
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）公比时，则有，其中为常数且；
（3） 为等比数列（ ）且公比为.
12、B
【解析】
首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.
【详解】
解：，，
，
子集的个数为.
故选：.
【点睛】
考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、；
【解析】
求出函数的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间上，第四个零点在区间外即可．
【详解】
由，得，，
，，
∵，
∴ ，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间上．由此可得的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．
14、2022
【解析】
根据条件先求出数列的通项，利用累加法进行求解即可．
【详解】
，，，
下面求数列的通项，
由题意知，，，
，，
，
数列是递增数列，且，
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．
15、
【解析】
利用导数的几何意义，由解方程即可.
【详解】
由已知，，所以，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
16、
【解析】
先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解．
【详解】
由是单位向量．若，，
设，
则，，
又，
则，
则，
则，
又，
所以，（当或时取等）
即的取值范围是，，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) .(2) .
【解析】
（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；
（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，即
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，即，
则，所以，
综上的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
18、（1）.（2）1
【解析】
（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.
（2，由AN＝λ，设N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，由|cs〈，〉|＝＝＝求解.
【详解】
（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.
又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．
又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)．
所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，
所以cs〈，〉＝
＝＝，
所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.
（2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，
则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．
设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)，
则即
令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cs〈，〉|＝＝＝，
解得λ＝1∈[0，4]，
所以λ的值为1.
【点睛】
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19、（1）列联表见解析，有的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）.
【解析】
（1）结合题意完善列联表，计算出的观测值，对照临界值表可得出结论；
（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.
【详解】
（1）由于在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以人中患心肺疾病的人数为人，故可将列联表补充如下：
.
故有的把握认为患心肺疾病与性别有关；
（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形：
、、、、、、、、、.
其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形，分别为：、、、、、、、、，
所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.
【点睛】
本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题，考查计算能力，属于中等题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小.
（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】
（1）由题设知，，
即，
所以，
即，又
所以.
（2）由题设知，，
即，
又为锐角三角形，所以，即
所以，即，
所以的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）依题意可得，再用零点分段法分类讨论可得；
（2）依题意可得对恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为，得到不等式即可解得；
【详解】
解：（1）若，，则，即，
当时，原不等式等价于，解得
当时，原不等式等价于，解得，所以；
当时，原不等式等价于，解得；
综上，原不等式的解集为；
（2）即，得或，
由解得，
由解得，
要使得的解集为，则
解得，故的取值范围是.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．
22、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）通过证明，即可证明线面平行；
（2）通过证明平面，即可证明线线垂直.
【详解】
（1）连，因为为平行四边形，为其中心，所以，为中点，
又因为为中点，所以，
又平面，平面所以，平面；
（2）作于因为平面平面，
平面平面，平面，
所以，平面又平面，
所以又，，
平面，平面所以，平面，又平面，
所以，.
【点睛】
此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
女
合计
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
女
合计