广东深圳市罗湖区深圳中学2025-2026学年七年级第二学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份广东深圳市罗湖区深圳中学2025-2026学年七年级第二学期期中考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（ )
A．B．
C．D．
2．下列运算正确的是（ )
A．a4⋅a3=a7B．3a3+a2=4a5C．3a22=6a4D．a6÷a2=a3
3． PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，数据0.0000025用科学记数法可表示为（ )-
A．0.25×10−7B．0.25×10−6C．2.5×10−6D．25×10−5
4．如图，从村庄P到公路l共有三条路线，其中路线PB⊥l，居民选择路线PB到公路的距离近的理由是（ )
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．过一点可以作无数条直线
5．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为200cm2的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（ )
A．40cm2B．60cm2C．80cm2D．120cm2
6．一个长方形的长和宽分别是3a，2a+1（其中a>0)，则这个长方形的面积是（ )
A．5a+1B．10a+2C．6a2+3aD．6a2+1
7．在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图).光线AB从空气射到玻璃砖上表面点B 并发生了折射，折射光线BC射到玻璃砖下表面C处，点D在AB的延长线上，若∠1=55°，∠ABE=15°，则∠DBC=（ )
A．60°B．55°C．40°D．15°
8．“杨辉三角”（如图)，也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用.用“杨辉三角”可以解释（ a+bnn=1234的展开式（按a的次数由大到小的顺序)的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（ a+b2的展开式 a2+2ab+b2中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（ a+b3的展开式 a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数……当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立.则下列说法正确的有（ )个
①第六排数字依次是： 1， 5， 10， 10， 5， 1；
②（a+b）10的展开式中各项系数和为1024；
③m+1m7的展开式中 1m5的系数是7：
A．0 B．1C．2D．3
二、填空题：（每题3分，共15分)
9．20260+2−2= .
10．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于4的概率是 .
11．如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1=30°，则∠AEF= .
12．若（x+m)（x-3)的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为 .
13．如图，已知直线 AB//CD,∠ABM=1n∠MBE,∠CDN=1n∠NDB，直线BM 与直线DN相交于点F，则 ∠F∠E= . （用含有n的代数式表示)
三、解答题：（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题6分，第17题11分,第18题6分,第19题12分,第20题10分,共61分)
14．计算：
（1）2025×2027−20262;
（2）（x+5)（x-5)-（x-2)2.
15．先化简，再求值： 2a+3b2−2a+b2a−b÷2b,其中 a=12,b=−2.
16．完成下列证明，在括号内填写出推理依据
已知： ∠B+∠CDE=180°， ∠1=∠2，求证： AB∥CD.（ ）
证明： ∵∠1=∠BFD（ ）
∵∠1=∠2
∴∠BFD=∠2（ ）
∴BC∥ （ ）
∴∠C+∠CDE=180°（ ）
∵∠B+∠CDE=180°，
∴∠B=∠C.
∴AB∥CD（ ）
17．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
（1）填空： a= ，b= ；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 （精确到0.01).
（2）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是 .
A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”.
B.桌子上有写着1、2、3、4的4张卡牌，随机抽一张，抽到卡牌上的数字是4.
C 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”.
（3）若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为 12，需要往盒子里再放入多少个白球?
18．如图，已知∠AOB，点C为射线OB 上一点，用无刻度的直尺和圆规作出∠OCH=∠AOB.
（1）尺规作图：过点H向右作射线HM ，使HM 平行OC.
（2）证明： HM 是∠AHC的角平分线.
19．理解图形，完成下列各题：
（1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a，b的正方形和两个长方形.用两种方法表示阴影部分的面积，可得数学等式是
（2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若x满足（9-x)（x-4)=4，求（ 4−x2+x−92的值.设9-x=a， x-4=b，则
（9-x)（x-4)= ab=4， a+b=（9-x)+（x-4)=5.
∴9−x2+x−42=a+b2−2ab=5−2×4=17
请仿照上面的方法求解下面问题：
若 2025−x2+2026−x2=19,求（2025-x)（2026-x)的值；
（3）【解决问题】有两类正方形纸片A， B，其边长分别为a， b（a>b)，图2是由两张A正方形纸片和两张B正方形纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分)，图3是将A，B纸片并列放置后构造出来的新的正方形.则图2中阴影部分的面积为 ，图3中阴影部分的面积为 ，（用含a，b列出代数式并化简)；
（4）【迁移应用】在（3）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为4和48，将两个正方形纸片A和三个正方形纸片B如图4摆放，求阴影部分的面积.
20． 如图1， 直线MN∥PQ， 点A在MN上， 点B在PQ上， 点C在两平行线之间， ∠NAC=30∘,∠QBC=30∘.
（1）求 ∠ACB的度数：
（2）如图2， 若AC平分∠NAD， BQ平分∠CBD， 证明∠ACB=2∠ADB：
（3）如图3，在（2）的条件下，AB⊥PQ，将一等腰直角三角板的直角顶点放在点B处，一直角边恰好与BD重合，另一顶点E在PQ的上方.将线段AB绕点B以12°/s的速度逆时针旋转一周，同时将三角板 BDE绕点 B以8°/s的速度顺时针旋转，AB与三角板BDE同时停止运动.经过时间为t秒后，AB恰好与DE平行，请直接写出满足条件的t的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解： A．直线m和n相交，故此选项不符合题意；
B．直线m，直线n互相平行，故此选项符合题意；
C．直线m⊥n，故此选项不符合题意；
D．直线m和n相交，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 本题主要考查了相交线和平行线， 根据平行线的定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线 ；据此解答即可．
2．【答案】A
【解析】【解答】解： A、a4·a3=a7，符合题意；
B、3a3与a2不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、（3a2）2=9a4≠6a4，不符合题意；
D、a6÷a2=a4≠a3，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 本题考查同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，运用同底数幂的乘法可计算A进行判断；根据合并同类项可判断选项B；根据幂的乘方与积的乘方运算法则可判断选项C；根据同底数幂的乘法法则可判断选项D．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10−6
故答案为：C．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数， 一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10， 先确定a=2.5再确定n=−6即可．
4．【答案】B
【解析】【解答】解： 居民选择路线PB到公路的距离近的理由是垂线段最短，
故答案为：Ｂ.
【分析】本题考查了垂线段最短，直线的性质，线段的性质，垂线， 根据垂线段最短可解答．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：大量试验后，点落在椭圆内的频率稳定在0.6，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为0.6．
已知长方形面积为200cm2，
因此椭圆面积为：200×0.6＝120cm2．
故答案为：D．
【分析】利用“椭圆面积与长方形面积的比值≈点落在椭圆内的频率”计算椭圆面积．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得：3a2a+1
=6a2+3a．
故答案为：C.
【分析】 本题考查了长方形的面积，单项式乘多项式， 根据长方形面积等于长乘宽列式3a2a+1，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可求解．
7．【答案】C
【解析】【解答】解： 如图，根据题意可得GH∥EF，
∴∠FBC=∠1=55°，
∵∠ABE=15°，
∴∠FBD=∠ABE=15°，
∴∠DBC=∠FBC−∠FBD=55°−15°=40°，
故答案为：C.
【分析】 本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据两直线平行，内错角相等，得到∠FBC=∠1=55°，结合对顶角∠FBD=∠ABE=15°，根据角的和差可得到结果．
8．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴（a+b）5=（a+b）4（a+b）
=（a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4）（a+b）
=a5+4a4b+6a3b2+4a2b3+ab4+a4b+4a3b2+6a2b3+4ab4+b5
=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
∴第六行数字依次是：1，5，10，10，5，1，故①正确；
令a=1，b=1，（a+b）10=（1+1）10=1024，故②正确；
（a+b）6=（a+b）5（a+b）=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
∴（a+b）7=（a+b）6（a+b）=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7，
令a=m，b=1m，
∴1m5=b5=ab6，
∴m+1m7 的展开式中1m5的系数为7，故③正确；
∴正确的有①②③，共3个；
故答案为：C.
【分析】本题考查数字变化规律，代数式求值，完全平方公式等知识，展开a+b5可判断①，把a=1，b=1代入a+b10，得各项系数和=1+110，据此可判断②； 将a+b7展开，令a=m，b=1m，则1m5=b5=ab6，找到含ab6的项的系数即可判断③．
9．【答案】114
【解析】【解答】解：20260+2−2
=1+14
=114．
故答案为：114.
【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂和有理数加法，原式先计算20260=1，2−2=14，最后计算加减法即可．
10．【答案】12
【解析】【解答】解： 落地时面朝上的点数小于4的概率是36=12．
故答案为：12.
【分析】本题考查了概率公式，点数小于4的有3种情况，正方体骰子共有6个面，由概率公式可得 落地时面朝上的点数小于4的概率是36=12．
11．【答案】105°
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BFK+∠1=180°，且∠1=30°，
∴∠BFK=180°−∠1=180°−30°=150°；
由折叠得∠BFE=∠EFK=12∠BFK=12×150°=75°，
又AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=180°−∠BFE=180°−75°=105°，
故答案为：105°.
【分析】本题主要考查折叠的性质，平角以及平行线的性质，根据平角的定义可求出∠BFK=150°，由折叠得∠BFE=∠EFK=75°m由AD∥BC得∠AEF+∠BFE=180°可结论．
12．【答案】3
【解析】【解答】解：x+mx−3
=x2−3x+mx−3m
=x2+m−3x−3m，
∵x+mx−3的展开式中不含x的一次项，
∴m−3=0，
解得：m=3．
故答案为：3.
【分析】 本题考查了多项式乘多项式， 先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后根据多项式不含某一项即它的系数为0，即可求出m的值．
13．【答案】1n+1
【解析】【解答】解：设∠ABM=α，∠CDN=β，
∵∠ABM=1n∠MBE,∠CDN=1n∠NDB， ，
∴∠MBE=nα，∠NDE=nβ，
∴∠ABE=∠ABM+∠MBE=n+1α，∠CDE=∠CDN+∠NDE=n+1β，
如图，延长CD交MF于点G，则∠GDF=∠CDN=β，
∵AB∥CD，
∴∠BGC=∠ABM=α（两直线平行，同位角相等），
∴∠DGF=180°−∠BGC=180°−α，
∴∠F=180°−∠DGF−∠GDF=180°−180°−α−β=α−β，
过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行），
∴∠ABE+∠BEH=180°，∠CDE+∠DEH=180°，
∴∠BEH=180°−n+1α，∠DEH=180°−n+1β，
∴∠BED=∠DEH−∠BEH=180°−n+1−180°−n+1α=n+1α−β，
∴∠F∠E=∠F∠BED=α−βn+1α−β=1n+1，
故答案为：1n+1．
【分析】本题主要考查平行线的性质，设∠ABM=α，∠CDN=β，由∠ABM=1n∠MBE,∠CDN=1n∠NDBs可得∠MBE=nα，∠NDE=nβ，由AB∥CDs可求得∠F=α−β，证明EH∥CD可得∠BED=n+1α−β，故可得∠F∠E=1n+1．
14．【答案】（1）解：原式=（2026-1)×（2026+1)-20262
=20262−1−20262
=-1
（2）解：原式 =x2−25−x2−4x+4
=x2−25−x2+4x−4
=4x-29
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握和运用乘法公式是解答本题的关键．
（1）把2025和2027分别写成2026−1和2026+1，再运用平方差公式进行计算即可；
（2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可得到答案．
15．【答案】解：原式 =4a2+12ab+9b2−4a2+b2÷2b
=12ab+10b2÷2b
=6a+5b
当 a=12,b=−2时，
原式 =6×12+5×−2=3−10=−7.
【解析】【分析】本题主要考查整式的四则运算和求值，先根据完全平方公式和平方差公式计算中括号内的，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算得最简结果，最后代入a、br的值计算即可．
16．【答案】证明： ∵∠1=∠BFH （对顶角相等)，
又∵∠1=∠2 （已知)，
∴∠BFD=∠2 （等量代换)，
∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行)，
∴∠C+∠CDE=180°（两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠B+∠CDE=180°.
∴∠B=∠C，
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行)，
【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质和判定，对顶角相等，由对顶角相等得∠1=∠BFH，得出∠BFD=∠2，得出BC∥DE，进一步证明∠B=∠C，故可得出AB∥CD．
17．【答案】（1）0.30；251；0.25
（2）B
（3）解：若盒子中一共有 100个球，摸到白球的概率的估计值0.25，则盒子中的白球有100×0.25=25个，
设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为 12
∴25+x100+x=12,
解得： x=50，
答：需要往盒子里再放入50个白球.
【解析】【解答】解：（1）解： a=30100=0.30,
b =1000×0.251=251，
由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在0.250附近，
若从盒子里随机摸出一只球，摸到白球的概率估计值为0.25
故答案为：0.30，251，0.25；；
（2） 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为12．
桌子上有写着1、2、3、4的4张卡牌，随机抽一张，抽到卡牌上的数字是4的概率为13．
在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为14；
故符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是B；
故答案为：B；
【分析】本题主要考查频率估计概率，以及概率的应用，正确进行计算是解答本题的关键．
（1）根据30100可得a=0.30、1000×0.251得b=251，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可得摸到白球的概率的估计值为0.25 ；
（2）求出A、B、C三个选项中事件发生的概率为12，13，14，再比较大小即可得到答案；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式建立方程求解即可．
18．【答案】（1）解：尺规作图如图
（2）证明：∵HM∥OC
∴∠AHM=∠O， ∠MHC=∠OCH
∵∠O=∠OCH
∴∠AHM=∠MHC
∴HM是∠AHC的角平分线.
【解析】【分析】本题主要考查作图，作一个角等于已知角，平行线的判定与性质， 角平分线的定义， 掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据作一个角等于已知角的方法作∠CHM=∠OCH即可得HM∥OC．
（2）由HM∥OC得∠AHM=∠AOB，由作图得∠MHC=∠HCO，∠OCH=∠AOB，故可得出∠AHM=∠MHC，从而可得出结论．
19．【答案】（1）a2+b2=a+b2−2ab
（2）解：∵2025−x2+2026−x2=19,
设2025-x=a， 2026-x=b，
则a2+b2=19， a-b=（2025-x)-（2026-x)=2025-x-2026+x=-1.
∵a−b2=a2−2ab+b2,
∴2ab=a2+b2−a−b2,
ab=a2+b2−a−b22=19−12=182=9;
∴（2025-x)（2026-x)=9
（3）(a−b)2；2ab
（4）解：根据题意得：a−b2=4,a>b,
∴a-b=2，
由题意可知： 2ab=48，
∴4ab=96，
∵a+b2=a−b2+4ab,
∴a+b2==4+96=100,
∵a+b>0，
∴a+b=10，
∴a+ba−b=a2−b2=10×2=20,
∴b2−a2=−20,
∴图4阴影部分面积为：
2b+a2−3b2−2a2,
=4b2+4ab+a2−3b2−2a2
=b2+4ab−a2
=-20+96
=76.
【解析】【解答】（1）解： 一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a，b的正方形和两个长方形．
方法1：阴影部分是边长为a、b的两个正方形，求出两个正方形的面积为a2，b2，面积和为a2+b2；
方法2：大正方形边长为a+b，面积为a+b2，减去两个长为a，宽为b的长方形面积2ab，即可得：a2+b2=a+b2−2ab.
故答案为：a2+b2=a+b2−2ab；
（3） 图2阴影面积：
阴影部分的边长为a−b的正方形，
∴阴影面积=a−b2=a2−2ab+b2；
图3阴影面积：
新正方形边长为a+b，面积为a+b2；一张A型a2和一张B型b2的总面积为a2+b2；
∴阴影面积=新正方形面积-纸片总面积a+b2−a2+b2=a2+2ab+b2−a2−b2=2ab．
故答案为：a2+b2−2ab；2ab；
【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，正确进行计算是解题关键．
（1）整体图形是一个边长为（a+b）的正方形，其面积为（a+b）2；图形有一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长为a，宽为b的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可；
（2）依照示例提供的方法进行解答即可；
（3）先求出图2中阴影小正方形，其边长为a−b，可求出阴影部分的面积；图③中大正方形的边长为a+b，阴影部分的面积为大正方形的面积减去两个小正方形的面积；
（4）由（3）可得a−b=2，ab=24，大正方形的边长为a+2b，阴影面积=a+2b2−2a2+3b2，整理后，再代入a−b=2，ab=24计算即可．
20．【答案】（1）解：过点C作CF∥MN.
∵PQ∥MN，
∴CF∥PQ，
∴∠NAC=∠ACF， ∠QBC=∠BCF，
∵∠NAC=30°， ∠QBC=30°，
∴∠ACF= ∠BCF=30°，
∴∠ACB=∠ACF+ ∠BCF=60°，
（2）证明：过点 D作GH∥MN.
∵PQ∥MN，
∴CF∥PQ，
∵AC平分∠NAD， BQ平分∠CBD，
∴∠NAD=2∠NAC=60°， ∠QBC= ∠QBD=30°，
∴∠ADH= ∠NAD=60°， ∠BDH=∠QBD=30°，
∴∠ADB= ∠ADH-∠BDH=60°-30°=30°，
∴∠ACB=2∠ADB，
（3）解：①t=34
∵∠A1BQ=99∘,∠E1BQ=54∘,∠A1BE1=45∘=∠BE1D
∴AB∥ED
②t=394
∵∠A3BP=27∘,∠E2BQ=18∘,∠A2BD2=45∘=∠BD2E2
∴AB∥ED
③t=754
∵∠A3BP=135∘,∠E3BQ=90∘=∠E3BD,∠A3BE3=45∘=∠BE3D3
∴AB∥ED
④t=1114
∵∠ABQ=63°，∠D4BP=72°，∠A44BD4=45°=∠BD4E4
∴AB∥ED
【解析】【分析】本题 主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．
（1） 作CF∥MN．由MN∥PQ得CF∥PQ，可得∠NAC=∠ACF，∠QBC=∠BCF，相加可得结论．
（2）过点 D作GH∥MN，由平行线的性质和角平分线的定义；
（3） 求出旋转前∠ABE=30°，设旋转后点A的对应点为A'，△BDE的对应三角形为△BD'E'，再分四种情况，根据平行线的性质建立方程求解即可．摸球次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球次数m
30
52
69
123
200
b
750
摸到白球频率 mn
a
0.260
0.230
0.246
0.250
0.251
0.250