2025年广东省湛江市雷州市三校中考二模数学试题（含答案）

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一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 实数的绝对值是，则实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；即可求解．
【详解】解：的绝对值是，则实数是
故选：D．
2. 我国航天技术全球领先．2024年6月4日嫦娥六号完成世界首次从月球背面采样后起飞，飞 越38万公里返回地面．将数据38万用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：38万用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 下列食品标识图中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方．根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方运算法则计算即可求解．
【详解】解：A、，此选项符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：A．
5. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟知矩形的判定是解答的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴平行四边形是矩形，符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
6. 如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（ ）
A. 中位数B. 方差C. 平均数D. 众数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少17和18岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解．
【详解】解：A：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故A符合题意；
B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少17岁和18岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意；
C：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少17岁和18岁的数据，所以平均数不能求出，故C不符合题意；
D：由于众数是出现次数最多的数，17岁和18岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意；
故选：A．
7. 下列说法不正确的是（ ）
A. 点一定在第四象限
B. 点到轴的距离为6
C. 若中，则点在轴上
D. 若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．∵，，
∴点一定在第四象限，
故本选项不符合题意；
B．点到轴的距离为6，
故本选项不符合题意；
C．若中，则或，
即点在轴或轴上，本说法错误，
故本选项符合题意；
D．若，则，
则点一定在第一，第三象限的角平分线上，
故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得，求得，再根据题意证得即可求解．
【详解】解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，
故选：
【点睛】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
10. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②，如图，延长交于 先求解 从而可判断③④，于是可得答案.
【详解】解：由题意得：

故①符合题意；

故②符合题意；
如图，延长交于




∴
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④,
故选D.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的两个锐角都为，掌握以上基础知识是解本题的关键.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 函数的自变量x的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12. 反比例函数的图象在第________象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是关键．
根据反比例函数解析式，反比例函数图象的性质求解即可．
【详解】解：反比例函数中，，
∴图象经过第二、四象限，
当时 ，反比例函数图象在第四象限，
故答案为：四 ．
13. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∵不等式组有3个整数解，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键．
14. 如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得．
过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点，
，
，，
，
，
，
∵轴，
∴ ，
∴，
∴，
，
根据反比例函数中 的几何意义，得 ，
．
又 ∵，
．
故答案为：3．
15. 如图，中，，垂足为D，，若，，则的长为_____（用含m，n的代数式表示）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，如图，延长到E，使得．推出，证明，再证明，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长到E，使得，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
在和中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16. （1）
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）（2），
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数以及分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：（1）
，
（2）
，
把代入，得．
17. 正值第十四届全国人民代表大会第三次会议召开之际，奋进中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查样本容量是_____，圆心角的度数为_____度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知奋进中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表奋进中学参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两人同时参赛的概率．
【答案】（1）50；144
（2）图见详解 （3）800名
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率是解题的关键；
（1）根据条形统计图及扇形统计图可进行求解；
（2）由（1）可补全条形统计图；
（3）根据题意得出成绩优异的学生占比，然后问题可求解；
（4）列出表格，然后可求解概率．
【小问1详解】
解：由统计图可知：
样本容量为，
圆心角的度数为；
故答案为：50；144；
【小问2详解】
解：成绩达到优秀等级的人数为，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：由题意得：
（名）；
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800名．
【小问4详解】
解：由题意可列表如下：
从四人中抽取两人参加比赛共有12种情况，其中抽中两人的有2种情况，所以恰好抽中的概率为．
18. “生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
（1）请分别写出与之间的函数关系式；
（2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
【答案】（1），
（2）方案一
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键．
（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；
（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．
【小问1详解】
解： 与之间的函数关系式为，
与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：当时，，解得，
当时，，解得，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19. 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
（1）请你用上述方法解方程组．
（2）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键．
（1）利用“加减消元法”解方程组；
（2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可．
【小问1详解】
解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
【小问2详解】
解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
（1）求点到墙面的距离；
（2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
（2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
【小问1详解】
解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
【小问2详解】
解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
21. 如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N．
（1）求证：是的切线；
（2）求的度数；
（3）若点N是的中点，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接；由E是弧的中点得，再由半径相等得，从而得，则；再由即可证明；
（2）由平分及，得；再直径对的圆周角是直角，得的度数，从而求得的度数；
（3）由（2）的证明得，由N为中点得；从而可证明，由此求得，进而求得；再证明，求得，进而求得，最后由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接；
∵E是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：∵平分，
，
又，
，
，
，
是的直径，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
∵点N是的中点，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
．
【点睛】本题是圆与三角形的综合，考查了切线的判定，直径对的圆周角是直角，同弧或等弧对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，涉及较多的知识点，有一定的综合性．
五、解答题（13+14分，共27分）
22. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
（1）求抛物线M的表达式和点A的坐标；
（2）点F是线段上一动点，求周长的最小值；
（3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
【答案】（1），
（2）最小值为
（3）P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可；
（2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可；
（3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可．
【小问1详解】
∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
【小问2详解】
当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线的表达式为：
故解得
∴，
，
，
，
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
，
∴所在直线垂直于y轴，
关于的对称点，
∴点的坐标为，
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∵，，
∴，
∴
即周长最小值为；
【小问3详解】
∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键．
23. 综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
【答案】四边形是正方形．理由见解析；
，理由见解析；
或．
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可证：，，从而可证四边形是正方形；
根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，从而可证，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得；
利用勾股定理可得，根据旋转性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：四边形正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
．
由旋转的性质，得，，，
，
，
，
由折叠的性质，知，
在中，，
，即；
解：或，
理由如下：
如下图所示，
，
，
在中，，
根据旋转的性质可得：，
则，
，，
，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质和旋转的性质找到边之间的关系．
A
B
C
D
A
/
√
√
√
B
√
/
√
√
C
√
√
/
√
D
√
√
√
/
方案
运费
肥料价格
方案一
12元
3元
方案二
0元
3.6元