2026届甘肃省武威一中高三适应性调研考试数学试题含解析

这是一份2026届甘肃省武威一中高三适应性调研考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知点、，设是虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
6．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）
A．B．C．D．
7．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A．B．2
C．D．
8．已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（ ）
A．B．C．D．
9．设是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）
A．B．
C．D．
11．设，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.
14．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____
15．函数的定义域是 ．
16．在中，，．若，则 _________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，内角的对边分别是，满足条件．
（1）求角；
（2）若边上的高为，求的长．
18．（12分）已知函数（是自然对数的底数，）.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离．
20．（12分）已知函数（）
（1）函数在点处的切线方程为，求函数的极值；
（2）当时，对于任意，当时，不等式恒成立，求出实数的取值范围.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.
（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求的值.
22．（10分）已知.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：对于，恒成立；
（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.
【详解】
“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，
利用列举法，可得下表，
可知需要的次数为4次.
故选：B.
【点睛】
本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.
2、A
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.
【详解】
解：，
在复平面内对应的点的坐标是.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
3、D
【解析】
设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；
【详解】
解：设，，由，得，
∵，解得或，∴，.
又由，得，∴或，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴代入解得.
故选：D
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
4、C
【解析】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则，所以平面区域的面积，
解得，此时，
由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
5、D
【解析】
由题知，又，代入计算可得.
【详解】
由题知，又.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.
6、B
【解析】
由，则输出为300，即可得出判断框的答案
【详解】
由，则输出的值为300，，故判断框中应填？
故选：．
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7、A
【解析】
先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.
【详解】
由题图可知原△ABC的高为AO＝，
∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8、C
【解析】
设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】
设点的坐标为，直线的方程为，即，
设点到直线的距离为，则，解得，
另一方面，由点到直线的距离公式得，
整理得或，，解得或或.
综上，满足条件的点共有三个．
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
9、A
【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.
【详解】
由复数的乘法法则得.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
10、C
【解析】
作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.
【详解】
如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为.
故选：C
【点睛】
本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.
11、D
【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.
【详解】
由,即,
又,即,
,即,
所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.
12、B
【解析】
利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.
【详解】
由等差数列的性质可得，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3000
【解析】
根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.
【详解】
解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，
则，
该市身高高于的高中男生人数大约为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.
14、
【解析】
双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，
一条渐近线的斜率为1，即，
，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．
15、
【解析】
解：因为，故定义域为
16、
【解析】
分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.
详解：根据题意，设，则，根据，
得，由勾股定理可得，
根据余弦定理可得，
化简整理得，即，解得，
所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）．（2）
【解析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解.
（2）已知，由知，在中，解出即可.
【详解】
（1）由正弦定理知
由己知，而
∴，
（2）已知，
则由知
先求
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.
18、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）在上恒成立，只需，注意到；
（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，
所以切线方程为，即.
（2），.
因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，
即，
所以，即，又，
故，所以实数的取值范围是.
（3）.
因为函数在区间上有两个极值点，
所以方程在上有两不等实根，即.
令，则，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得且.
又由，所以，
且当和时，单调递增，
当时，单调递减，是极值点，
此时
令，则，
所以在上单调递减，所以.
因为恒成立，所以.
若，取，则，
所以.
令，则，.
当时，；当时，.
所以，
所以在上单调递增，所以，
即存在使得，不合题意.
满足条件的的最小值为-4.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.
19、（1）．．（2）最大距离为．
【解析】
（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.
（2）曲线的参数方程为，设，计算点到直线的距离公式得到答案.
【详解】
（1）由，得，
则曲线的直角坐标方程为，即．
直线的直角坐标方程为．
（2）可知曲线的参数方程为（为参数），
设，，
则到直线的距离为
，
所以线段的中点到直线的最大距离为．
【点睛】
本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.
20、（1）极小值为，极大值为.（2）
【解析】
（1）根据斜线的斜率即可求得参数，再对函数求导，即可求得函数的极值；
（2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数，根据是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，，，
可知，，
解得，，
可知在，时，，函数单调递增，
在时，，函数单调递减，
可知函数的极小值为，
极大值为.
（2）可以变形为，
可得，
可知函数在上单调递减
，
，
可得，
设，
，
可知函数在单调递减，
，
可知，
可知参数的取值范围为.
【点睛】
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.
21、（1）：，：；（2）
【解析】
（1）根据点斜式写出直线的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用，将曲线的参数方程转化为普通方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得的值.
【详解】
（1）的直角坐标方程为，即，
则的极坐标方程为.
曲线的普通方程为.
（2）直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），
代入曲线的普通方程，得.
设，对应的参数分别为，，所以，在的两侧.则.
【点睛】
本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.
22、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）详见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.
试题解析：
（1）
，
当时，.
解得．
当时，解得．
所以单调减区间为，
单调增区间为．
（2）设
，
当时，由题意，当时，
恒成立．
，
∴当时，恒成立，单调递减．
又，
∴当时，恒成立，即．
∴对于，恒成立．
（3）因为
．
由（2）知，当时，恒成立，
即对于，，
不存在满足条件的；
当时，对于，，
此时．
∴，
即恒成立，不存在满足条件的；
当时，令，
可知与符号相同，
当时，，，
单调递减．
∴当时，，
即恒成立．
综上，的取值范围为．
点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.
原始状态
第1次“向后转”
第2次“向后转”
第3次“向后转”
第4次“向后转”
∧∧∧∧
∧∨∨∨
∨∨∧∧
∧∧∧∨
∨∨∨∨