2026届甘肃省武威市高考适应性考试数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省武威市高考适应性考试数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了已知集合，集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．
2．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．2C．D．1
3．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ）
A．B．C．lD．1
4．已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，函数（），则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2B．4C．5D．6
8．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）
A．B．C．D．
10．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
11．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )
A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个
D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
12．已知实数集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______．
14．已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.
15．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之________．
16．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求sin（2B+）的值．
18．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点的极坐标为，，求的值．
19．（12分）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值.
20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；
（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求的取值范围.
21．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程：（为参数），直线的极坐标方程：
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的最大值.
22．（10分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.
【详解】
∵
所以展开式中的系数为，
∴解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.
2、C
【解析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
双曲线的离心率，
则，，解得，所以焦点坐标为，
所以，
则双曲线渐近线方程为，即，
不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，
故选：C.
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.
3、A
【解析】
设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.
【详解】
解：设点，则点，，
，
，
当时，取最小值，最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.
4、B
【解析】
先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.
【详解】
由题，
即
由累加法可得：
即
对于任意的，不等式恒成立
即
令
可得且
即
可得或
故选B
【点睛】
本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.
5、C
【解析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：
，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．
6、A
【解析】
解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可.
【详解】
，.
因为，所以有，因此有.
故选：A
【点睛】
本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.
7、B
【解析】
由函数的性质可得：的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.
【详解】
由偶函数满足，
可得的图像关于直线对称且关于轴对称，
函数（）的图像也关于对称，
函数的图像与函数（）的图像的位置关系如图所示，
可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，
则与的图像所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.
8、D
【解析】
可求出集合，，然后进行并集的运算即可．
【详解】
解：，；
．
故选．
【点睛】
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．
9、D
【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.
【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知： ，
所以，
所以，
所以该几何体的最长棱的长为
故选：D
【点睛】
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
10、C
【解析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，
【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,
几何体的表面积为：，
故选：C
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.
11、D
【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.
【详解】
由绘制出的折线图知：
在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；
在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；
在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；
在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.
12、A
【解析】
可得集合,求出补集,再求出即可.
【详解】
由,得,即,
所以,
所以.
故选:A
【点睛】
本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.
【详解】
由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.
故答案为4
【点睛】
本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．
14、1
【解析】
试题分析：因为是等差数列，所以，即，又，所以，
所以．故答案为1．
【考点】等差数列的基本性质
【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.
15、91
【解析】
设共有选票张，且票对应张数为，由此可构造不等式组化简得到，由投票有效率越高越小，可知，由此计算可得投票有效率.
【详解】
不妨设共有选票张，投票的有，票的有，票的有，则由题意可得：
，化简得：，即，
投票有效率越高，越小，则，，
故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.
16、2
【解析】
根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.
【详解】
因为,
累加可得.
若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.
所以.
当时,证明：对任意的正整数都有.
当时, 成立.
假设当时结论成立,即,
则,即结论对也成立.
由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.
综上可知,所求实数的最大值是2.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据条件由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理算出，进而算出；
（Ⅱ）由二倍角公式算出，代入两角和的正弦公式计算即可.
【详解】
（Ⅰ） bsinB﹣asinA＝asinC，所以由正弦定理得，
又c＝2a，所以，由余弦定理得：
，又，所以；
（Ⅱ），
.
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，运用二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查了学生的运算求解能力.
18、 (1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.
【解析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，
即， 直线的普通方程为.
(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，
得. 因为直线与曲线交于，两点．
所以，解得.
由根与系数的关系，得，.
因为点的直角坐标为，在直线上.所以，
解得，此时满足.且，故.．
【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由题意求得的坐标，代入椭圆方程求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，可得关于的一元二次方程，设出的坐标，分别求出直线与直线的方程，从而求得两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得为定值.
【详解】
（1）由已知可得：，
代入椭圆方程得：
椭圆方程为；
（2）设直线CD的方程为，代入，得：
设，，则有，
则AC的方程为，令，得
BD的方程为，令，得
，证毕.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题．
20、（Ⅰ）6（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）化简得到直线的普通方程化为，，是以点为圆心，为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.
（Ⅱ）设，则，得到范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知，直线的普通方程化为，
曲线的极坐标方程变形为，
所以的普通方程分别为，是以点为圆心，为半径的圆，
设点到直线的距离为，则， 所以.
（Ⅱ）的标准方程为，所以参数方程为（为参数），设，
，
因为，所以，
所以.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21、（1）；（2）10
【解析】
（1）消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求得曲线C的极坐标方程；
（2）将代入曲线C的极坐标方程，利用根与系数的关系，求得，进而得到=，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，曲线C的参数方程为，
消去参数，可得曲线C的普通方程为，即，
又由，
代入可得曲线C的极坐标方程为.
（2）将代入，
得，即，
所以=，
其中，当时，取最大值，最大值为10.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.
22、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取中点，中点，连接，，.设交于，则为的中点，连接.
通过证明，证得平面，由此证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）取中点，中点，连接，，.
设交于，则为的中点，连接.
设，则，，∴.
由已知，，∴平面，∴.
∵，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）由（1）及已知可得平面，建立如图所示的空间坐标系，设，则，，，，，，，，
设平面的法向量为，∴，令得.
设平面的法向量为，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
“我身边的榜样”评选选票
候选人
符号
注：
1．同意画“○”，不同意画“×”．
2．每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票．
甲
乙
丙