2026届广东六校联盟高三二诊模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广东六校联盟高三二诊模拟考试数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥中，是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A．B．C．D．
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．B．4
C．D．5
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
6．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
7．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．(1,2),C．D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
11．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12． “”是“直线与互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，，则____________．
14．已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率________.
15．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.
16．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在平面四边形中，，，.
（1）求；
（2）求四边形面积的最大值.
18．（12分）金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；
（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．
附：，其中．
19．（12分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求边上的高.
20．（12分）在四棱柱中，底面为正方形，，平面．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
21．（12分）已知函数，其中.
（1）当时，求在的切线方程；
（2）求证：的极大值恒大于0.
22．（10分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.
【详解】
设为中点，是等边三角形，
所以，
又因为，且，
所以平面，则，
由三线合一性质可知
所以三棱锥为正三棱锥，
设底面等边的重心为，
可得，，
所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：
由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，
在中，，
即，
解得，
所以三棱锥的外接球表面积为，
故选：D.
【点睛】
本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
2、C
【解析】
分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
3、B
【解析】
还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解即可.
【详解】
如图，三棱锥的直观图为，体积
.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.
4、A
【解析】
观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。
【详解】
设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为
，故选A。
【点睛】
本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。
5、C
【解析】
根据复数模的性质即可求解.
【详解】
,
,
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.
6、C
【解析】
根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】
由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
【点睛】
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
7、D
【解析】
根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.
【详解】
，故其对应点的坐标为.
其位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.
8、A
【解析】
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】
已知双曲线的右焦点为，
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
，离心率，
，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
9、D
【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.
【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.
故选:D.
【点睛】
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.
10、C
【解析】
设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.
【详解】
根据题意画出图形:
设M,N,P分别为和的中点，
则的夹角为MN和NP夹角或其补角
可知，.
作BC中点Q，则为直角三角形；
中，由余弦定理得
，
在中，
在中，由余弦定理得
所以
故选：C
【点睛】
此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.
11、A
【解析】
计算，得到答案.
【详解】
根据题意，故，表示的复数在第一象限.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
12、A
【解析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定
【详解】
当时，直线方程为与，可得两直线平行；
若直线与互相平行，则，解得，
，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由于，，则．
14、
【解析】
求出抛物线焦点坐标，由，结合向量的坐标运算得，直线方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，，从而可求得，得斜率．
【详解】
由得，即
联立得
解得或，∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示．直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法．
15、
【解析】
基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率．
【详解】
解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，
基本事件总数n126，
其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，
所以包含的基本事件个数m72，
∴其中三种颜色的球都有的概率是p．
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16、
【解析】
∵复数且
∴
∴
∴
∴，
故答案为，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据同角三角函数式可求得，结合正弦和角公式求得，即可求得，进而由三角函数
（2）设根据余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大值，即可求得四边形面积的最大值.
【详解】
（1），
则由同角三角函数关系式可得，
则
，
则，
所以.
（2）设
在中由余弦定理可得，代入可得
，
由基本不等式可知，
即，当且仅当时取等号，
由三角形面积公式可得
，
所以四边形面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.
18、（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析.
【解析】
（1）计算得到，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.
【详解】
（1）∵的观测值，
有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
（2）根据分层抽样方法得：男生有人，女生有人，
选取的人中，男生有人，女生有人．
则的可能取值有，
，，
，，
的分布列为：
．
【点睛】
本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理将边化成角，可得，展开并整理可得，从而可求出角；
（2）由余弦定理得，进而可得，由，可求出的值，设边上的高为，可得的面积为，从而可求出.
【详解】
（1）由题意，由正弦定理得.
因为，所以，所以，展开得，整理得.
因为，所以，故，即.
（2）由余弦定理得，则，得，故，
故的面积为.
设边上的高为，有，故，
所以边上的高为.
【点睛】
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
20、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，设，可证得四边形为平行四边形，由此得到，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）连接，设，连接，
在四棱柱中，分别为的中点，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面．
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．
设，
四边形为正方形，，，
则，，，，
，，，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
由得：，令，则，，
由得：，令，则，，
，，
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.
21、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；
（2）分类讨论得出极大值即可判断.
【详解】
（1），
当时，，，
则在的切线方程为；
（2）证明：令，解得或，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
∴函数无极值；
②当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴；
③当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴，
综上，函数的极大值恒大于0.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
22、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
【点睛】
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
愿意
不愿意
男生
60
20
女士
40
40
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828