广东省六校联盟2026届高三上学期第二次联考 数学试卷

这是一份广东省六校联盟2026届高三上学期第二次联考 数学试卷，共19页。试卷主要包含了已知，，设甲，已知样本数据，，则，设函数，则等内容，欢迎下载使用。
命题： 深圳实验学校 审题：惠州一中
（满分150分 考试时间120分钟 )
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号
填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，，则( )
A.B.C.D.
2．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数，则( )
A.B.C.D.
3．若随机变量X服从正态分布，且，则( )
C.0.5
4．设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．记等差数列的前n项和为，若，，则的公差为( )
A.1B.-1C.2D.-2
6．已知函数在处取得极大值，则a的值是( )
A.1B.2C.3D.4
7．已知，，设甲：，乙：，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知曲线在点处的切线与曲线恰有两个交点A，B，若A，B关于M对称，则实数( )
A.0B.1C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知样本数据，，则( )
A.若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为
B.若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为
C.若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为
D.若样本数据的方差为，则样本数据的方差为
10．设函数，则( )
A.为奇函数B.
C.在区间单调递增D.在区间上的最大值为0
11．已知某扑克牌置换游戏，规则为：从一副扑克牌中选出4张Q，2张K，其中2张Q和2张K装在不透明的袋中，剩余的2张Q作为置换牌.现从袋中随机取出一张扑克牌，若取出Q，则把它放回袋中；若取出K，则该扑克牌不再放回，并从置换牌中选择一张Q放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q，则游戏结束.记事件“在操作次后，恰好将袋中的K全部取完.”为，且，则下列说法正确的是( )
A.在操作2次后，袋中还有2张K的概率为
B.在操作2次后，袋中恰有1张K的概率为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的展开式中，常数项是________.
13．已知，且，则________.
14．设函数，，若在区间上恰有4050个零点，则实数m的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数的最大值为1.
(1)求实数a；
(2)求使成立的x的取值集合.
16．已知数列的前n项和为，，且（）.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
17．中国抗日战争胜利80周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力.已知某国产军工零件成箱包装，每箱50个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验的方式为：先从这箱零件中任取5个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验.设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立.
(1)求5个零件中恰有3个不合格品的概率；
(2)现有一箱零件已经检验了5个，并对不合格品做了更换.已知每个零件的检验费用为2元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付30元的赔偿费用.以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由.
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)对，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设a，，若，求证：.
19．杨辉三角是由组合数构成的三角形数表，其第n行的第r个数可以表示为组合数，该数表有很多性质，如第n行的所有数之和为.现构造如图所示的三角形数表，中的第i行的第j个数为排列数，其中，且.
(1)求的值.
(2)记的第n行所有数的和为.
(i)若，使得数列满足：，，则称为m级凸数列.判断数列是否为m级凸数列？若是，请求出m的最小值；否则请说明理由.
(ii)当时，证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：，
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意，的图像向右平移个单位长度，
得到函数图像的，则D选项正确.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为随机变量X服从正态分布，即，
所以
.
故选：B.
4．答案：C
解析：因函数为R上的递增函数，
则，即，则；
因函数为上的递增函数，
则，即，则，
则.
故选：C
5．答案：A
解析：由，可得，即，
所以公差，
故选：A
6．答案：C
解析：由题设，
则，可得或，
当时，
当或时，
则在和上递增，
当时，则在上递减，
此时在处取得极小值，不符；
当时，
当或时，
则在和上递增，
当时，则在上递减，
此时在处取得极大值，符合；
综上，.
故选：C
7．答案：A
解析：由，，
可得，则有，且
于是
，
因，
当且仅当，即时等号成立，
此时，即甲是乙的充分条件；
若取，则，
而，
即甲不是乙的必要条件，故甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
8．答案：C
解析：，
曲线在点处的切线斜率，
切线方程为：，
设，
则，，即，
，
，
，
当，即时，
切线方程为：，与有唯一交点，不合题意；
当时，由，
知，为一元二次方程的两个不等实根，
，又，；
不妨令，
代入
得：，
设，则，
，
；
则当时，等号成立，.
故选：C.
9．答案：AC
解析：对于A，设样本数据中，
最大值为，最小值为，
则，
由于在R上单调递增，
故样本数据中，
最大值为，最小值为，
故，
则样本数据的极差为，故A正确；
对于B，由平均数的性质可得样本数据的平均值为，故B错误；
对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确.
对于D，根据方差的性质，样本数据的方差为，故D错误；
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：函数的定义域是.
选项A：因为函数的定义域关于原点对称，
且，
所以函数是偶函数，所以选项A错误；
选项B：函数.
当时，，
所以，
所以，所以选项B正确；
选项C：由选项B知，当时，，
所以.
所以函数在上单调递增，所以选项C正确；
选项D：当时，，
所以.
当时，，所以函数单调递增；
当时，，所以函数单调递减；
所以在处取得极大值，即最大值，
最大值为.所以选项D正确.
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：若操作前袋中还有两张K，
则经过一次操作后，袋中还有2张K的概率为，
还有1张K的概率为.
若操作前袋中还有一张K，
则经过一次操作后，袋中还有1张K的概率为，
还有0张K的概率为.
因此，在操作2次后，袋中还有2张K的概率为，故A错误.
在操作2次后，袋中还有1张K的概率为，故B正确.
记事件“在操作次后，
袋中K只有一张”为，且.
根据题意，经过操作次后，
袋中的K恰好取完的概率为，则.
而经过n次操作后，袋中还有2张K的概率为，
故经过次操作后，袋中还有1张K的概率
.
因此，经过次操作后，袋中的K恰好取完的概率
，故D正确.
对数列有递推公式.
设该递推公式可化简为，
解得.
所以，
故数列是公比为的等比数列，
其中.
因此，，
即，
则，
而
，故C正确.
故选：BCD
12．答案：15
解析：的展开式的通项公式为，
由得，，
∴展开式中的常数项是.
故答案为：15.
13．答案：
解析：因为，则，
且，则，
可得，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：根据题意，函数
将函数在上的图像向右、
向下平移1个单位可得函数在时的图像，
再向右、向下平移1个单位可得函数在时的图像，
继续向右、向下平移1个单位可得函数在时的图像
如图可得函数的图像，
令，即，
因为在区间上恰有4050个零点，
即函数的图像与在区间上恰有4050个交点，
即函数的图像与在区间上都有两个交点，
所以只需函数的图像与在区间上有两个交点即可，
当时，函数的图像与在区间上有1个交点
再求函数斜率为-1的切线，
导数为，令，
得，则切点为，
代入，可得，
所以时，函数的图像
与在区间上有两个交点，
这样函数的图像与在区间上恰有4050个交点.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题得
，
所以函数的最大值为，
所以，即.
(2)由(1)得，
当时，，
所以，
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，
所以，即，
又因为，可得，即，
所以，
所以数列为以2为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)知，所以，
可得，
则
.
17．答案：(1)
(2)应对这箱余下的所有零件作检验，理由见解析
解析：(1)记事件A：“5个零件恰有3个不合格品”，
则，
即5个零件恰有3个不合格品的概率为.
(2)设X为余下45个零件中的不合格品的个数，
则；
①若不对该箱余下的零件作检验，
这一箱零件的检验费用与赔偿费用和记为Y，
则，
；
②若对该箱余下的零件作检验，
则这一箱零件所需的检验费用为元；
，应对这箱余下的所有零件作检验.
18．答案：(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)函数的定义域为，
求导得：，
令，，
①当时，即，有，
即在上单调递增；
②当时，即，
方程两根分别为，.
当时，因，，即，
则，
即在上单调递增；
当时，易得，，且，
此时，当时，，
即在区间，上单调递增；
当时，，
即在区间上单调递减.
综上所述：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减.
(2)直接研究函数单调性由(1)可知，当时，
在区间上单调递增，
则，符合题意；
当时，由，
可得，
则在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
故，
使得，不符合题意.
综上所述，可得；
(3)由题意可得，
得，因此，
由，
可得，
令，则，，
可得，，则
要证，只需证，
即证：当时，.
由(1)可知，时，在上是增函数，
故当时，，
则当时，不等式恒成立，
故得证.
19．答案：(1)4
(2)(i)是，m的最小值为3
(ii)证明见解析
解析：(1)
(2)(i)当时，
，则，
假设为m级凸数列，
则，且，
则，则，
整理得，
令，，且，
二次函数的对称轴为，
且，
在区间上单调递增，
当时，有
，
，
当时，有，
即，
为3级凸数列，
当时，，
且，,
不是2级凸数列，
综上所述，可知为m级凸数列，且m的最小值为3;
(ii)，当时，
，
，
当时，
，
当时，；
，
，
，
且，
，
由基本不等式可知，
，，
当时，
，
当时，，
当时，.