2026届广东广州越秀区培正中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广东广州越秀区培正中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析，共4页。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：
小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；
小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ）
A．小明B．小红C．小金D．小金或小明
2．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．设，则关于的方程所表示的曲线是（ ）
A．长轴在轴上的椭圆B．长轴在轴上的椭圆
C．实轴在轴上的双曲线D．实轴在轴上的双曲线
4．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
5．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）
A．B．C． 或 D． 或
8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ）
A．18B．17C．16D．15
9．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱 AB，BC，的中点，M为棱AD的中点，设P，Q为底面ABCD内的两个动点，满足平面EFG，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于( )
A．B．2
C．3D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的部分图象如图所示，则的值为____________.

14． “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______．
15．已知函数为奇函数，则______.
16．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
18．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知首项为2的数列满足.
（1）证明：数列是等差数列．
（2）令，求数列的前项和.
20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.
（1）当时，求与的交点的极坐标；
（2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.
21．（12分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值．
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.
【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示：
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，
故选：B.
【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.
2、D
【解析】
根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率．
【详解】
由题意，，又，
∴，∴，
在中，
即，∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式．
3、C
【解析】
根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．
【详解】
解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，
方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，
故选C．
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．
4、D
【解析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.
【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
5、C
【解析】
以D为原点，DA，DC，DD1 分别为轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，，，
取平面的法向量为，
设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ，则sinθ＝|，
直线与平面所成角的正弦值为.
故选C．
【点睛】
本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．
6、C
【解析】
根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.
【详解】
因为圆心，半径，直线与圆相交，所以
，解得
所以相交的概率,故选C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.
7、D
【解析】
由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.
【详解】
由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选：D．
【点睛】
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
8、B
【解析】
由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.
【详解】
由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9、D
【解析】
利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.
【详解】
是偶函数，，
而，因为在上递减，
，
即．
故选:D
【点睛】
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.
10、C
【解析】
把截面画完整，可得在上，由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得的最小值．
【详解】
如图，分别取的中点，连接，易证共面，即平面为截面，连接，由中位线定理可得，平面，平面，则平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．
正方体中平面，从而有，∴，∴在以为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形内的部分）上，
显然关于直线的对称点为，
，当且仅当共线时取等号，∴所求最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．
11、B
【解析】
根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.
【详解】
由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示复数对应的点与点间的距离，
又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，
所以.
故选：B
【点睛】
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
12、A
【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.
【详解】
双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝.
答案：A
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由图可得的周期、振幅，即可得，再将代入可解得，进一步求得解析式及.
【详解】
由图可得，，所以，即，
又，即，，
又，故，所以，.
故答案为：
【点睛】
本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.
14、 52
【解析】
设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求出,由此利用等差数列通项公式能求出.
【详解】
设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,
则,
解得,即每天增加的数量为，
，故答案为，52.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
15、
【解析】
利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值.
【详解】
由于函数为奇函数，则，即，
，整理得，解得.
当时，真数，不合乎题意；
当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
16、，
【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.
【详解】
由是偶函数及，可取，
则，
由的图象关于点对称，得，，
即，，可取.
故，的一组值可以分别是，.
故答案为：，.
【点睛】
本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小.
（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】
（1）由题设知，，
即，
所以，
即，又
所以.
（2）由题设知，，
即，
又为锐角三角形，所以，即
所以，即，
所以的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.
18、（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示：
因为，分别是线段和的中点，
所以是梯形的中位线，所以.
又，所以.
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以，.
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）因为，且平面，
故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
如下图所示：
不妨设，则，
所以，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则所以
可取.
设直线与平面所成的角为，
则.
故可得直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由原式可得,等式两端同时除以,可得到,即可证明结论;
（2）由（1）可求得的表达式,进而可求得的表达式,然后求出的前项和即可.
【详解】
（1）证明:因为,所以,
所以,从而,因为,所以,
故数列是首项为1,公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知,则,因为,所以,
则
.
【点睛】
本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
20、（1），；（2）
【解析】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），再对分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.
【详解】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），
当时，联立解得交点，
当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）
当时，无交点；
综上，曲线与直线的点极坐标为，，
（2）把直线的参数方程代入曲线，得，
可知，，
所以.
【点睛】
本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
21、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）取BC的中点O，则，由是等边三角形，得，从而得到平面，由此能证明
（2）以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.
【详解】
（1）取BC的中点O，连接，，
由于与是等边三角形，所以有，，
且，
所以平面，平面，所以．
（2）设，是全等的等边三角形，
所以，
又，由余弦定理可得，
在中，有，
所以以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
所以二面角的余弦值为,
即二面角的余弦值为．
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.
22、（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）1.
【解析】
（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4csθ，然后化为普通方程；
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．
【详解】
（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）
即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），
则，即，即ρ=4csθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，
得，
即，t1，t2为方程的两个根，
∴t1t2=-1，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．
【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
1
2
3
4
5
6
鸿福齐天
小明
小明
小红
小红
小金
小金
国富民强
小红
小金
小金
小明
小红
小明
兴国之路
小金
小红
小明
小金
小明
小红
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30