2026届广东广州越秀区培正中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析

这是一份2026届广东广州越秀区培正中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析，共10页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，直线与圆的位置关系是，已知集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（ ）
A．B．
C．D．
2． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列四个图象可能是函数图象的是（ ）
A．B．C．D．
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
5．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（ ）.
A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D．2016年与2019年艺体达线人数相同
6．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）.
A．B．C．D．
7．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A．48B．60C．72D．120
9．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
11．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2B．3C．4D．1
12．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等差数列（）中，若，，则的值是______.
14．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________
15．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________ cm．
16．已知集合，若，且，则实数所有的可能取值构成的集合是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）若函数在处取得极值1，证明：
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
19．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角CBFD的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．
20．（12分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．
（1）若当时，，求此时的值；
（2）设，且．
（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．
21．（12分）试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．
22．（10分）已知函数
（1）若，试讨论的单调性；
（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据偶函数的性质，比较即可.
【详解】
解：
显然，所以
是定义域为的偶函数，且在单调递增，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.
2、B
【解析】
或，从而明确充分性与必要性.
【详解】
，
由可得：或，
即能推出，
但推不出
∴“”是“”的必要不充分条件
故选
【点睛】
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.
3、C
【解析】
首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.
【详解】
∵的定义域为，
其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，
∵为奇函数，图象关于原点对称，
∴的图象关于点成中心对称.
可排除A、D项.
当时，，∴B项不正确.
故选：C
【点睛】
本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.
4、D
【解析】
由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．
【详解】
解：由题意，圆的圆心为，半径，
∵圆心到直线的距离为，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
5、A
【解析】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，
2019年不上线人数为，故A正确；
2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；
2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了
倍，故C错误；
2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
6、D
【解析】
如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.
【详解】
中，易知，
翻折后,
，
，
设外接圆的半径为，
， ，
如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为，
，
四面体的外接球的表面积为.
故选：D
【点睛】
本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.
7、A
【解析】
根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵，
集合，
∴由交集运算可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
8、A
【解析】
对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
数字出现在第位时，同理也有个
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
故满足条件的不同的五位数的个数是个
故选
【点睛】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。
9、B
【解析】
由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，
即，①.
因为，①式两边同除以，得.
所以方程有三个不等的正实根.
记，，则上述方程转化为.
即，所以或.
因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，.
当时，，在上单调递减，且时，.
所以当时，取最大值，当，有一根.
所以恰有两个不相等的实根，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
10、B
【解析】
试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，．
考点：程序框图、茎叶图．
11、B
【解析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
12、D
【解析】
通过列举法可求解，如两角分别为时
【详解】
当时，，但，故充分条件推不出；
当时，，但，故必要条件推不出；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-15
【解析】
是等差数列，则有，可得的值，再由可得，计算即得.
【详解】
数列是等差数列，，又，，
，故.
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出和公差，再计算.
14、
【解析】
依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以有
解得，
故该圆锥的体积为。
【点睛】
本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。
15、
【解析】
依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.
16、.
【解析】
化简集合，由，以及，即可求出结论.
【详解】
集合，若，
则的可能取值为，0，2，3，
又因为，
所以实数所有的可能取值构成的集合是.
故答案为:.
【点睛】
本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见详解；（2）
【解析】
（1）求出函数的导函数，由在处取得极值1，可得且.解出，构造函数，分析其单调性，结合，即可得到的范围，命题得证；
（2）由分离参数，得到恒成立，构造函数，求导函数，再构造函数，进行二次求导.由知，则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点，且.由此判断出时，单调递减，时，单调递增，则，即.由得，再次构造函数，求导分析单调性，从而得，即，最终求得，则.
【详解】
解：（1）由题知，
∵函数在，处取得极值1，
，且，
，
，
令，则
为增函数，
，即成立.
（2）不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，
令，则
令，则,
，，
在上单调递增，且，
有唯一零点，且，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
，
由整理得
，
令，则方程等价于
而在上恒大于零，
在上单调递增，
.
，
∴实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.
18、 (1)见证明；(2)
【解析】
（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而， 得证线面平行；
（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．
【详解】
（1）证明：取PD中点G，连结
为的中位线，且，
又且，且，
∴EFGA是平行四边形，则，
又面，面，
面；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面面，为正三角形，
面，且，
连交于，可得，
，则，即．
连，又，
可得平面，则，
即是二面角的平面角，
在中，
∴，即二面角的正切值为．
【点睛】
本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．
19、（1）见解析（2）
【解析】
分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.
详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcs30°，
解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.
又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.
又因为BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，
∴平面ADE⊥平面BDEF，
（Ⅱ）方法一：
如图，由已知可得，，则
，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.
则.
过点C做，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则
，DE⊥平面ABCD，则平面.
过G做于点I，则BF平面，即角为
二面角CBFD的平面角，则60°.
则，，则.
在直角梯形BDEF中，G为BD中点，，，，
设 ，则，，则.
，则，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为．
（Ⅱ）方法二：
可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).
，.
设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，
则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，
取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，
由，解得，则，
又,则，设CF与平面ABCD所成角为，
则sin=.
故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为
点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.
20、 (1)；(2)(i)，；(ii).
【解析】
（1）在中，由正弦定理可得所求；
（2）（i）由余弦定理得，两式相加可得所求解析式．（ii）在中，由余弦定理可得，根据的最大值不小于可得关于的不等式，解不等式可得所求．
【详解】
（1）在中，由正弦定理得，
所以，
即．
（2）（i）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又
所以，
即．
又，解得，
所以所求关系式为，．
（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值．
在中，由余弦定理可得
，
因为的最大值不小于，
所以，解得，
经验证知，
所以．
即两处喷泉间距离的最小值为．
【点睛】
本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解．解题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义．
21、y＝2sin2x．
【解析】
计算MN，计算得到函数表达式.
【详解】
∵M，N，∴MN，
∴在矩阵MN变换下，→
∴曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．
【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.
22、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；
（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，
分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.
【详解】
（1）依题意，当时，，
①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；
②当时，若，；若，；
故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）方法1：由得
令，则，
依题意有，即，
要证，只需证（不妨设），
即证，
令，设，则，
在单调递减，即，从而有.
方法2：由得
令，则，
当时，时，
故在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则，
要证，只需证，易知，
故只需证，即证
令，（），
则
==，
（也可代入后再求导）
在上单调递减，，
故对于时，总有.由此得
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.