2026届广东省广州市八区联考高考考前模拟数学试题含解析

这是一份2026届广东省广州市八区联考高考考前模拟数学试题含解析，共7页。试卷主要包含了复数的共轭复数对应的点位于，给出个数 ，，，，，，其规律是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（ ）
A．（1，＋∞）B．（1，2）C．[2，＋∞）D．[1，＋∞）
2．从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，当时，（ ）
A．B．C．D．
4．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为20，方差为4B．平均数为11，方差为4
C．平均数为21，方差为8D．平均数为20，方差为8
5．复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．给出个数 ，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )
A．；B．；
C．；D．；
9．如图，在正四棱柱中，，分别为的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则( )
A．直线与直线异面，且B．直线与直线共面，且
C．直线与直线异面，且D．直线与直线共面，且
10．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
11．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题使得，则都有；
（2）已知，则
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；
（4）“”是“”的充分不必要条件.
A．1B．2C．3D．4
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A．B．6C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.
14．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按，编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母，的概率为________.
15．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点(不与重合)，若以线段为直径的圆恰好经过，则点到抛物线顶点的距离的最小值是__________.
16．设双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于，两点若，则的离心率为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
18．（12分）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”.
（1）设函数（）.
①当时，求函数的极值；
②若函数存在“F点”，求k的值；
（2）已知函数（a，b，，）存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围.
19．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．
20．（12分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标.
21．（12分）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.
（1）求实数的值及函数的单调区间；
（2）设函数，证明时， .
22．（10分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.
（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；
（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，，，，，的大小关系.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
，
，
∴．
故选．
2、A
【解析】
根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解.
【详解】
设点的坐标为，
由题意知，焦点,准线方程，
所以，解得，
把点代入抛物线方程可得，
，因为，所以，
所以点坐标为，
代入斜率公式可得，.
故选：A
【点睛】
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.
3、A
【解析】
根据向量的坐标运算，求出，，即可求解.
【详解】
，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.
4、D
【解析】
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.
【详解】
样本的平均数是10，方差为2，
所以样本的平均数为,方差为.
故选:D.
【点睛】
样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.
5、A
【解析】
试题分析：由题意可得：. 共轭复数为，故选A.
考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系
6、D
【解析】
通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.
【详解】
根据题意，故只需把函数的图象
上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.
7、B
【解析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】
由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【点睛】
面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
8、A
【解析】
要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.
【详解】
因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.
【点睛】
本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.
9、B
【解析】
连接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性质可知，直线与直线共面.，同理易得，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线与所成角为，然后再利用余弦定理求解.
【详解】
如图所示：
连接，，，，由正方体的特征得，
所以直线与直线共面.
由正四棱柱的特征得，
所以异面直线与所成角为.
设，则，则，，，
由余弦定理，得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.
10、A
【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
【详解】
对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;
对于选项C,当时, ,可判断C错误;
对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;
故选:A.
【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
11、C
【解析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题使得，则都有，是错误的；
（2）中，已知，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为，所以 是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为是正确；
（4）中，当时，可得成立，当时，只需满足，所以“”是“”成立的充分不必要条件．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
12、D
【解析】
用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得.
【详解】
执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.
故选D．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、8.
【解析】
利用转化得到加以计算，得到.
【详解】
向量
则.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.
14、
【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；
故其概率是
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据抛物线，不妨设，取 ，通过求导得， ，再根据以线段为直径的圆恰好经过，则 ，得到，两式联立，求得点N的轨迹，再求解最值.
【详解】
因为抛物线，不妨设，取 ，
所以，即，
所以 ，
因为以线段为直径的圆恰好经过，
所以 ，
所以，
所以，
由 ，解得，
所以点在直线 上，
所以当时， 最小，最小值为.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16、
【解析】
设直线的方程为，与联立得到A点坐标，由得，，代入可得，即得解.
【详解】
由题意，直线的方程为，与
联立得，，
由得，，
从而，
即，
从而离心率．
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
【解析】
（1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解；
（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解
【详解】
（1）,
①当时,,
∴函数在内单调递增；
②当时,令,解得或,
当或时,,则单调递增,
当时,,则单调递减,
∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为
（2）（Ⅰ）当时,所以在上无零点；
（Ⅱ）当时,,
①若,即,则是的一个零点；
②若,即,则不是的零点
（Ⅲ）当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以
①当时,在上单调递增。又，所以
（ⅰ）当时,在上无零点；
（ⅱ）当时,,又,所以此时在上恰有一个零点；
②当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,
因为,,所以此时在上恰有一个零点,
综上,
【点睛】
本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想
18、（1）①极小值为1，无极大值.②实数k的值为1.（2）
【解析】
（1）①将代入可得，求导讨论函数单调性，即得极值；②设是函数的一个“F点”（），即是的零点，那么由导数可知，且，可得，根据可得，设，由的单调性可得，即得.（2）方法一：先求的导数，存在两个不相等的“F点”，，可以由和韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得.方法二：由函数存在不相等的两个“F点”和，可知，是关于x的方程组的两个相异实数根，由得，分两种情况：是函数一个“F点”，不是函数一个“F点”，进行讨论即得.
【详解】
解：（1）①当时， （），
则有（），令得，
列表如下：
故函数在处取得极小值，极小值为1，无极大值.
②设是函数的一个“F点”（）.
（），是函数的零点.
，由，得，，
由，得，即.
设，则，
所以函数在上单调增，注意到，
所以方程存在唯一实根1，所以，得，
根据①知，时，是函数的极小值点，
所以1是函数的“F点”.
综上，得实数k的值为1.
（2）由（a，b，，），
可得（）.
又函数存在不相等的两个“F点”和，
，是关于x的方程（）的两个相异实数根.
又，，
，即，
从而
，，
即..
，
，
解得.所以，实数a的取值范围为.
（2）（解法2）因为（ a，b，，）
所以（）.
又因为函数存在不相等的两个“F点”和，
所以，是关于x的方程组的两个相异实数根.
由得，.
（2.1）当是函数一个“F点”时，且.
所以，即.
又，
所以，所以.又，所以.
（2.2）当不是函数一个“F点”时，
则，是关于x的方程的两个相异实数根.
又，所以得所以，得.
所以，得.
综合（2.1）（2.2），实数a的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数极值，以及由函数的极值求参数值等，是一道关于函数导数的综合性题目，考查学生的分析和数学运算能力，有一定难度.
19、（1），； （2）.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；
(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.
【详解】
(1)依题意得: ，
所以 ，
所以
解得
设等比数列的公比为，所以
又
(2)由（1）知，
因为 ①
当时, ②
由①②得，，即，
又当时，不满足上式，
.
数列的前2020项的和

设 ③，
则 ④，
由③④得：
，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
20、
【解析】
将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.
【详解】
因为直线的极坐标方程为，
所以直线的普通方程为，
又因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的直角坐标方程为，
联立方程,解得或，
因为，所以舍去，
故点的直角坐标为.
【点睛】
本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
21、 (1) ;函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)详见解析.
【解析】
试题分析：（1）由题得，根据曲线在点处的切线方程，列出方程组，求得的值，得到的解析式，即可求解函数的单调区间；
（2）由（1）得 根据由，整理得，
设，转化为函数的最值，即可作出证明.
试题解析：
（1）由题得，函数的定义域为， ，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以解得.
令，得，
当时， ， 在区间内单调递减；
当时， ， 在区间内单调递增.
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）得， .
由，得，即.
要证，需证，即证，
设，则要证，等价于证： .
令，则，
∴在区间内单调递增， ,
即，故.
22、（1）（2）（3）
【解析】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，根据古典概型求出即可；
（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则（E），求出即可；
（3）根据题意，写出即可．
【详解】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，
有效问卷共有（份，
其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是人，
故（A）；
（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，
根据题意，可知（A），（B），（C），
设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“
则
.
所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.
（3）．
【点睛】
本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题．
卫生习惯状况类
垃圾处理状况类
体育锻炼状况类
心理健康状况类
膳食合理状况类
作息规律状况类
有效答卷份数
380
550
330
410
400
430
习惯良好频率
0.6
0.9
0.8
0.7
0.65
0.6
x
1
0
极小值