2026届广东省百校高三下学期第六次检测数学试卷含解析

这是一份2026届广东省百校高三下学期第六次检测数学试卷含解析，共3页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知函数，，则的极大值点为，已知命题等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．若集合，，则
A．B．C．D．
3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A．α∥β且∥αB．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于D．α与β相交，且交线平行于
4．已知函数的一条切线为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，，则的极大值点为( )
A．B．C．D．
6．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知命题：使成立． 则为（ ）
A．均成立B．均成立
C．使成立D．使成立
8．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（ ）
A．[0，）B．（﹣∞，0）∪[，+∞）
C．（0，）D．（﹣∞，0]∪[，+∞）
12．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数 满足，则的最大值为________.
14．设等比数列的前项和为，若，，则__________．
15．函数（为自然对数的底数，），若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________________.
16．设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
(Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若,且,求证：．
18．（12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
19．（12分）已知函数.
（1）若，且，求证：；
（2）若时，恒有，求的最大值.
20．（12分）如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令
（Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0；
（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．
21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.
22．（10分）某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
（1）若所抽调的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成频率分布直方图．
（2）若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望．
（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于向量，，且，所以解得.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
2、C
【解析】
解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得.
【详解】
因为或，，所以，故选C.
【点睛】
本题考查集合的交运算，属于容易题.
3、D
【解析】
试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
4、A
【解析】
求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案.
【详解】
，则，取，，故，.
故，故，.
设，，取，解得.
故函数在上单调递减，在上单调递增，故.
故选：.
【点睛】
本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
5、A
【解析】
求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.
【详解】
因为，
故可得，
令，因为，
故可得或，
则在区间单调递增，
在单调递减，在单调递增，
故的极大值点为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.
6、C
【解析】
由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.
【详解】
解：由题意知：，，设，则
在中，列勾股方程得：，解得
所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为
故选C.
【点睛】
本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.
7、A
【解析】
试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即．
考点：全称命题.
8、B
【解析】
画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
作出中在圆内部的区域，如图所示，
因为直线，的倾斜角分别为，，
所以由图可得取自的概率为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.
9、B
【解析】
首先根据特殊角的三角函数值将复数化为，求出，再利用复数的几何意义即可求解.
【详解】
，
，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.
10、A
【解析】
画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.
【详解】
由于，
,
由于，
令，，
在↗，↘
故.
故选：A
【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
11、D
【解析】
求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.
【详解】
集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；
B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），
∴A∩B＝（0，），
∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.
12、C
【解析】
化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由
得可判断④.
【详解】
由题意，，所以，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有
成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为
，故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.
【详解】
画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点，
目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率，
当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为.
故答案为：.

【点睛】
本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.
14、
【解析】
由题意，设等比数列的公比为，根据已知条件，列出方程组，求得的值，利用求和公式，即可求解．
【详解】
由题意，设等比数列的公比为，
因为，即，解得，，
所以.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
15、
【解析】
令，则，恰有四个解.由判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出的取值范围.
【详解】
解：令，则，恰有四个解.
有两个解，由，可得在上单调递减，在上单调递增，
则，可得.
设的负根为，
由题意知，，，
，则，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.
16、7
【解析】
作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)
设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l:z=2x+3y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z最小值=F(2,1)=7
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可．
【详解】
(Ⅰ) 的定义域为且
令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减
函数的极大值为，无极小值
(Ⅱ)，
，即
由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减
且，则
要证，即证，即证，即证
即证
由于，即，即证
令
则
恒成立 在递增
在恒成立
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题．
18、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）设中点为，连接、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理得出，由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；
（2）先确定三棱锥的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.
【详解】
（1）设中点为，连接、， 因为，所以.
又，所以，
又由已知，，则，所以，.
又为正三角形，且，所以，
因为，所以，，
，平面，
又平面，平面平面；
（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是的外心，
由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.
在中，的垂直平分线与的交点即为球心，
记的中点为点，则.
由与相似可得，
所以.
所以三棱锥外接球的体积为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）利用导数分析函数的单调性，并设，则，，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；
（2）构造函数，对实数分、、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.
【详解】
（1），，所以，函数单调递增，
所以，当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
要证，即证.
不妨设，则，，
下证，即证，
构造函数，
，所以，函数在区间上单调递增，
，，即，即，
，且函数在区间上单调递增，
所以，即，故结论成立；
（2）由恒成立，得恒成立，
令，则.
①当时，对任意的，，函数在上单调递增，
当时，，不符合题意；
②当时，；
③当时，令，得，此时，函数单调递增；
令，得，此时，函数单调递减.
.
.
令，设，则.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得最大值，即.
因此，的最大值为.
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.
20、（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；
（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak．
【详解】
（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.
（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:
假如存在，使得.
因为，，
所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1.
令.
一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①，
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；
也表示m，从而②，
①，②相矛盾，从而不存在，使得.
（Ⅲ）记这个实数之积为p.
一方面，从“行”的角度看，有；
另一方面，从“列”的角度看，有；
从而有③，
注意到，，
下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数，
由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k，
所以，
对数表，显然.
将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，
将数表中的由1变为-1，得到数表，显然，
依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表，
即数表满足：，其余，
所以，，
所以，
由k的任意性知，l（A）的取值集合为.
【点睛】
本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.
21、（1）的极坐标方程为，的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）先把曲线的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用 求得极坐标方程.将，化为，再利用 求得曲线的普通方程.
（2）设直线的极角，代入，得，将代入，得，由，得，即，从而求得，，从而求得，再利用求解.
【详解】
（1）依题意，曲线，即，
故，即.
因为，故，
即，即.
（2）将代入，得，
将代入，得，
由，得，得，
解得，则.
又，故，
故的面积.
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.
22、（1），频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，；（3）来自的可能性最大．
【解析】
（1）由频率和为可知，根据求得，从而计算得到频数，补全频率分布表后可画出频率分布直方图；
（2）首先确定的所有可能取值，由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；
（3）根据中不赞成比例最大可知来自的可能性最大.
【详解】
（1）由频率分布表得：，即．
收入在的有名，，，，
则频率分布直方图如下：
（2）收入在中赞成人数为，不赞成人数为，
可能取值为，
则；；，
的分布列为：
．
（3）来自的可能性更大．
【点睛】
本题考查概率与统计部分知识的综合应用，涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识；考查学生的运算和求解能力.
a11
a12
…
a1n
a21
a22
a2n
…
…
…
…
an1
an2
…
ann
月收入（单位：百元）
频数
5
10
5
5
频率
0.1
0.2
0.1
0.1
赞成人数
4
8
12
5
2
1