北京市平谷区2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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2023.1
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，共150分，考试时间为120分钟．
2．试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
3．考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好
第I卷 选择题（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．）
1. 已知集合，集合．则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】已知集合、集合，由集合的基本运算，直接求解.
【详解】集合，集合，则集合.
故选：C
2. 命题，则是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可得到答案.
【详解】命题，则：.
故选：D
3. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.
【详解】对A，函数，定义域为，，函数为奇函数，当时，，在上单调递增，A选项正确；
对B，函数，，不满足在上是增函数，B选项错误；
对C，函数，定义域为，不是奇函数，C选项错误；
对D，函数，定义域为，值域为，函数图象在轴上方，不关于原点对称，不是奇函数，D选项错误.
故选：A
4. 已知实数满足，则下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】ABD错误的选项可以取特殊值进行判断，C选项可以利用指数函数的性质判断.
【详解】对于A选项，例如，则，不满足，A选项错误；
对于B选项，例如，，，不满足，B选项错误；
对于C选项，由可知，，结合指数函数在上递增可知，，C选项正确；
对于D选项，例如，，，不满足，D选项错误.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.
【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，
，，
，由，则，
所以，
故选∶B．
6. 若角的终边与单位圆交于点，则下列三角函数值恒为正的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数定义结合同角三角函数关系得到正弦和余弦值，从而判断出正确答案.
【详解】由题意得：，，
A选项，，
B选项，可能正，可能负，不确定；
C选项，可能正，可能负，不确定；
D选项，，错误.
故选：A
7. 函数在下列区间内一定存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构建新函数，根据单调性结合零点存在性定理分析判断.
【详解】令，则，
构建，则在上单调递增，
∵，
∴在内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是，
故函数一定存在零点的区间是.
故选：B.
8. 已知函数定义域为，那么“函数图象关于y轴对称”是“，都存在，使得成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数性质分别验证充分性与必要性是否成立，即可得答案.
【详解】解：函数定义域为D，若函数图象关于y轴对称，则，则，且，
所以，都存在，使得满足，即成立，故充分性成立；
若函数，其定义域为，满足，都存在，使得成立，
但是函数的图象不关于y轴对称，故必要性不成立；
故“函数图象关于y轴对称”是“，都存在，使得成立”的充分不必要条件.
故选：A.
9. 中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ）
A. 0.4hB. 0.5hC. 0.7hD. 1h
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象经过点，求出的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.
【详解】由题意知，点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以，
由，可得，
所以，
解得，
所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的小时.
故选：C.
10. 已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：
①一个周期是；
②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；
③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；
④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是．
其中说法正确的是（ ）
A. ①②B. ①③④C. ②③④D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】依题意将沿着轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点轨迹，由题目中“一个周期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可.
【详解】
如上图，沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：
第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由原点沿运动至位置；
第二步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期.
对于①，∵，∴一个周期，故①正确；
对于②，如图所示，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，不是半圆，故②错误；
对于③，由已知，，∴，
∴的弧长，的弧长，
∴完成一个周期，顶点的轨迹长度为，故③正确；
对于④，如图，完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的图形为扇形，扇形与的面积和，∵，
∴，
∵等边边长为，∴，
∴完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是，故④错误.
∴正确的说法为：①③.
故选：D.
【点睛】方法点睛：分步解决点轨迹，第一步是绕点滚动得到，第二步是绕点滚动得到，再将两步得到的点轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正确.
第II卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11. ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题主要考查诱导公式，属基础题.
12. 函数的定义域为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.
【详解】函数有意义，则有，解得，即函数定义域为.
故答案为：
13. 函数在区间[0，3]上的值域是___________．
【答案】
【解析】
【分析】对二次函数配方，结合单调性得函数的值域.
【详解】，
所以上单调递减，在上单调递增，
，，，所以值域为.
故答案为：.
14. 已知函数，若，则x的范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.
【详解】作出函数和函数的图像，如图所示，
两个函数的图像相交于点和，当且仅当时，的图像在的图像的上方，即不等式的解集为.
故答案为：
15. 在平面直角坐标系中，设角的始边与轴的非负半轴重合，角终边与单位圆相交于点，将角终边顺时针旋转后与角终边重合，那么___________．
【答案】##-0.6
【解析】
【分析】先根据三角函数的定义算出，然后根据的关系结合诱导公式计算.
【详解】根据三角函数的定义，，由题意，，于是.
故答案为：
16. 已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），那么f（Q）的最小值是___________．
【答案】1600
【解析】
【分析】由题意得到年产量为Q时的平均成本为，再利用基本不等式求解.
【详解】解：因为某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．
所以年产量为Q时的平均成本为，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为1600，
故答案为：1600
17. 已知函数，a为常数．
（1）当时，如果方程有两个不同的解，那么k的取值范围是___________；
（2）若有最大值，则a的取值范围是___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）通过讨论和的单调性得出函数在时的单调性，将方程有两个不同的解转化为函数与直线有两个不同的交点的问题，即可得出k的取值范围.
（2）根据（1）中得出的和的单调性，分类讨论不同情况时图象的情况，即可得出a的取值范围.
【详解】解（1）由题意，
在中，函数单调递增，且，
在中，，
对称轴，
∴函数在处取最大值，为，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在，a为常数中，
当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴函数在处取最大值7，
∵方程有两个不同的解，
即有两个不同的解，
∴函数与直线有两个不同的交点，
∴，
∴的取值范围为，
（2）由题意及（1）得，
在中，函数单调递增，且，
在中，对称轴，在处取最大值，
且上单调递增，在上单调递减，
函数，a为常数
∵有最大值，
∴在的值要不大于在的值，
当时，函数最大值为，符合题意；
当时，由（1）知，
当时在的值不大于在的值，
综上，.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解决此类问题的基本思路是将问题转化为两函数的图象交点个数问题，进而作出函数图象，采用数形结合的方式来进行分析求解.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
18. 已知，
（1）求，；
（2）求的值.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的平方关系和商数关系进行运算即可；
（2）结合第（1）问结果，由诱导公式进行运算即可.
【小问1详解】
，
∵，∴，∴，
∴
【小问2详解】
原式
.
19. 已知函数
（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（2）解不等式．
【答案】（1）
（2）当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数的取值区间；
（2）由题化简不等式，求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式的解集.
【小问1详解】
函数的对称轴，
函数在区间上单调
依题意得或，
解得或，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
由，
即，
即，
令
得方程的两根分别为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
20. 给定函数．
（1）求函数的零点；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）若当时，函数的图象总在函数图象的上方，求实数a的取值范围
【答案】（1），；
（2）见解析； （3）.
【解析】
【分析】(1)令求解即可；
(2)根据函数单调性的定义证明即可；
(3)由题意可得在上恒成立，令，利用函数的单调性的定义可得在上单调递减，且有，即可得的取值范围.
小问1详解】
解：因为，所以，
令，则有，
即，解得或；
【小问2详解】
证明：任取，
则,
因为，所以，
即，
所以函数在区间上单调递增；
【小问3详解】
解：由题意可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
因为，，
当趋于时，趋于0，趋于2，
所以，
所以由在上恒成立可得，
故的取值范围为.
21. 如图，四边形是高为2的等腰梯形．

（1）求两条腰OC，AB所在直线方程；
（2）记等腰梯形位于直线左侧的图形的面积为．
①当时，求图形面积的值；
②试求函数的解析式，并画出函数的图象．
【答案】（1）腰OC所在直线方程为，腰AB所在直线方程为；
（2）①，
②，图象见解析.
【解析】
【分析】(1)由已知，解三角形求点的坐标，利用待定系数法求其方程；
(2)①解三角形结合三角形面积公式求时的解析式，由此求时，的值；
②分别在条件，，下求，由此可得函数的解析式，作出函数的图象．
【小问1详解】
过点作，垂足为，过点作，垂足为，又，，
所以四边形为矩形，且，
因为四边形为等腰梯形，，
所以，，
所以，
设直线的方程为，则，所以，
所以腰OC所在直线方程为，
设直线的方程为，则，所以，
所以腰AB所在直线方程为，
【小问2详解】
①当时，设直线与直线的交点分别为，则，
所以，所以，又，
所以，
所以，
故当时，，

②由①知，当时， ，
当时，设直线与直线的交点分别为，则，
由已知四边形为矩形，
所以，

当时，设直线与直线的交点分别为，则，
所以，
所以，又，所以，
所以，

所以，
作函数的图象可得

22. 设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集．
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）4； （3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得.
【小问1详解】
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
设，不妨设，
因为，
所以中元素个数大于等于4个，
又，则，此时中元素个数等于4个，
所以生成集B中元素个数的最小值为4；
【小问3详解】
不存在，理由如下：
假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集由组成，
又，
所以，
若，又，则，故，
若，又，则，故，
所以，又，则，而，
所以不成立，
所以假设不成立，
故不存在4个正整数构成集合A，使其生成集.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.