2026年中考数学二轮复习 高频考点05 一次函数的图象与性质综合专练21大题型

这是一份2026年中考数学二轮复习 高频考点05 一次函数的图象与性质综合专练21大题型，共7页。试卷主要包含了一次函数的图象，一次函数与方程，一次函数与几何综合，一次函数的性质，b）等内容，欢迎下载使用。
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考点一 一次函数的图象
考点二
一次函数的性质
命题 1 判断图象是否正确
命题 1 一次函数中定点问题
命题 2 根据一次函数解析式判断图象经过的象限
命题 2 判断一次函数的增减性
命题 3 已知图象经过的象限求参数的取值范围
命题 3 根据一次函数的增减性求参数
命题 4 画一次函数的图像
命题 4 比较一次函数值的大小
命题 5 一次函数图象的平移问题
命题 5 一次函数规律探索问题
命题 6 一次函数图象与对称问题
命题 6 求一次函数的解析式
考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）
考点四 一次函数与几何综合
命题 1 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
命题 1 一次函数与几何综合之面积问题
命题 2 直线与坐标轴的交点求不等式的解集
命题 2 一次函数与几何综合之其他问题
命题 3 由两条直线的交点求不等式的解集
命题 3 一次函数与圆综合
命题 4 两直线的交点与二元一次方程组的解
命题 4 一次函数几何压轴题型
命题 5 求直线与坐标轴围成的面积
考点
考向
命题特征
一次函数的图象
已知一次函数解析式，判断图象的形状、经过的象限、与坐标轴的交点坐标；
已知一次函数的图象特征（如经过的象限、交点位置），求参数的取值范围；
一次函数图象的平移、对称变换问题，求变换后的函数解析式；
一次函数图象的画法、图象与解析式的对应关系；
含参数一次函数的图象位置判断
问题。
全国中考核心基础/中档考点，以选择题、填空题形式考查，分值 3~8 分，属基础区分/中档拉分题；
侧重对、符号与图象位置对应关系的辨析，常结合平移、对称变换综合命题；
重点考查一次函数定义、k/b 的几何意义、交点求解、平移规律，是后续综合题的基础；
渗透数形结合思想，是中考代数的核心基础题型。
一次函数的性质
已知一次函数解析式，判断函数的增减性、最值；
已知函数的增减性，求参数的取值范围；
利用一次函数的增减性比较函数值大小、求自变量取值范围；
含参数一次函数的增减性综合问题；
一次函数性质的实际应用（如方案
选择、最值优化）。
全国中考核心基础/中档考点，以选择题、填空题、解答题形式考查，分值 4~8 分，属基础必拿分/中档拉分题；
侧重对 k 的符号与增减性对应关系的理解，常结合不等式（组）综合命题；
重点考查增减性的判定、参数范围求解、函数值比较，是一次函数的核心性质；
渗透转化思想、分类讨论思想，是中考代数综合的高频基础题型。
一次函数与不等式
（组）、方程（组）综合
一次函数与一元一次方程结合，求函数与 x 轴的交点坐标；
一次函数与一元一次不等式（组）结合，根据函数图象求不等式的解 集；
一次函数与二元一次方程组结合，求两直线的交点坐标；
含参数一次函数与方程（组）、不等式（组）结合，求参数的取值范围；
利用函数图象解决方程、不等式的
实际应用问题。
全国中考核心中档/压轴考点，以选择题、填空题、解答题形式考查，分值 6~12 分，属中档拉分/压轴区分题；
常结合二元一次方程组、不等式（组）综合命题，侧重数形结合思想与代数运算；
重点考查待定系数法、交点求解、不等式解集的几何意义、参数范围的分类讨论；
渗透数形结合、转化、分类讨论思想，是中考代数综合的核心压轴题型。
一次函数几何综合
一次函数与几何图形（三角形、四边形）结合，求图形的面积、周长、动点问题；
一次函数与几何图形的存在性问题（如等腰三角形、直角三角形、平
行四边形存在性）；
全国中考核心压轴考点，以解答题形式考查，分值
10~1 分，属中考压轴拉分题；
常结合几何图形、动点、存在性、最值等知识点综合命题，侧重数形结合与逻辑推理；
重点考查待定系数法、交点求解、面积计算、分类
讨论、动点分析，是中考数学的核心压轴题型；
考点一 一次函数的图象
《解题指南》
一、知识点
1.一次函数解析式：? = ?? + ?(? ≠ 0,?,?为常数)
2.图象形状：一条直线，两点确定一条直线。
一次函数与几何图形的最值问题
（如最短路径、面积最值）；
一次函数与坐标系中图形的平移、对称、旋转综合问题；
一次函数与几何图形的实际应用
综合问题。
4. 渗透数形结合、分类讨论、转化思想，全面考查学生的综合解题能力。
3.与坐标轴交点：
①与 y 轴交点：令? = 0，得(0,?)
②与 x 轴交点：令? = 0，得 − ? ,0
?
增减性：
? > 0，?随?增大而增大，? < 0，?随?增大而减小。
图象经过象限(由 k,b 共同决定):
6.平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，平移后 k 不变。
命题点 01 判断图象是否正确
【典例】（2025·四川·中考真题）函数? = ?−2的图象为()
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与 x 轴、y 轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案．
先明确函数? = ?−2是一次函数（图象为直线）；分别令? = 0求其与 x 轴的交点，令? = 0求其与 y 轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项．
【详解】解：函数? = ?−2为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．令? = 0，则0 = ?−2，解得? = 2，即函数与 x 轴的交点为(2,0)；
令? = 0，则? = 0−2 = −2，即函数与 y 轴的交点为(0,−2)；
观察图像，只有 A 选项与计算结果匹配．
k 的符号
b 的符号
经过的象限
不经过的象限
? > 0
? > 0
一、二、三
四
? > 0
? < 0
一、三、四
二
? > 0
? = 0
一、三
二、四
? < 0
? > 0
一、二、四
三
? < 0
? < 0
二、三、四
一
? < 0
? = 0
二、四
一、三
③ 严格根据 k、b 的符号，对应象限规律，确保判断逻辑一致、无遗漏。
故选：A．
【变式 1】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数? = ??和? = ? + ?（? ≠ 0，?为常数）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数? = ?? + ?中?、?的正负判断函数图象的趋势以及与?轴交点大致位置即可．
【详解】解：本题中，系数?决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与?轴的交点位置，
当? > 0时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于?轴正半轴，上述选项中均不满足该情况；
当? < 0时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于?轴负半轴，上述图像中 D 选项满足该情况；
故满足条件的图象可能是 D．
【变式 2】（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值 y 和自变量 x 的部分对应值如表：
则这个函数的图象可能是（）
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中 x 的增加值和 y 的减小值的特点，即可判断选项．
【详解】解：根据表格可知，x 的值每增加 1，y 的值就减少 2，则可判断是一次函数，且 y 随 x 的增大而减
A． B． C．D．
x
⋯
?−1
?
? + 1
⋯
y
⋯
? + 2
b
?−2
⋯
小，
故选：B．
【变式 3】（2025·陕西延安·二模）在同一平面直角坐标系中，函数? = −??与? = ?? + ?的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象，分? > 0和? < 0两种情况，讨论出直线经过的象限，再作出选择即可．
【详解】解：当? > 0时，? = ?? + ?的图象过一、二、三象限；? = −??的图象过二、四象限；当? < 0时，? = ?? + ?的图象过二、三、四象限；? = −??的图象过一、三象限；
可见，符合条件的只有 B．
故选：B．
【变式 4】（2025·安徽宣城·二模）两个一次函数?1 = ?? + ?,?2 = ?? + ?(?? < 0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键；
观察题中所给选项，根据图象逐项判断 m、n 的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的 m、n 的正负一
C．D．
致，即为正确选项；
【详解】解：当? > 0，? < 0时，?1 = ?? + ?经过一、三、四象限，?2 = ?? + ?经过一、二、四象限，故选项 B 符合题意；
当? < 0，? > 0时，?1 = ?? + ?经过一、二、四象限，?2 = ?? + ?经过一、三、四象限，没有选项符合题意；
故选：B．
命题点 02 根据一次函数解析式判断图象经过的象限
【典例】（2026·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线? = −3? + ?（b 为常数，? < 0）和直线? = ??
（k 为常数，? > 0）的交点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限．
【详解】解：∵直线? = −3? + ?（b 为常数，? < 0），−3 < 0,
∴直线? = −3? + ?经过第二、三、四象限，
∵直线? = ??（k 为常数，? > 0）,
∴其图象经过第一、三象限，
∵两个函数图象都经过第三象限，
∴交点在第三象限．故选：C．
【变式 1】（2026·陕西西安·三模）已知正比例函数? = −??的图象经过点(−2,3)，那么一次函数? = (?−1)
? + ?的图象不经过（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【答案】A
【分析】先根据正比例函数图象经过的点求出 m 的值，再根据 m 的值确定一次函数的表达式，最后根据一次函数的性质判断其图象不经过的象限．
【详解】解：∵点(−2,3)在正比例函数? = −??上，
∴3 = −? × (−2)，解得? = 2，
3
将? = 2代入一次函数? = (?−1)? + ?中，可得：? = 2 −1 ? + 2 = 2? + 2，
3
3
313
对于一次函数? = ?? + ?（k，b 为常数，? ≠ 0），当? > 0,? > 0时，函数图象经过一、二、三象限，
∵在一次函数? = ? + 中，? => 0，? => 0，
1
3
1
3
2222
∴该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
【变式 2】（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数? = ?? + ?（?、?为常数，且?? ≠ 0）的图象不经过第三象限，则一次函数? = ?? + ?的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】先根据已知一次函数的位置判断?和?的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数? = ?? + ?（?、?为常数，且?? ≠ 0）的图象不经过第三象限，
∴? < 0，? > 0，
∴一次函数? = ?? + ?的图象经过第一、三、四象限，
∴一次函数? = ?? + ?的图象不经过的象限是第二象限．
?
【变式 3】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数? = ?（?是常数，? ≠ 0）的图像经过第一、三象限，那
么一次函数? = ??−?的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限
【答案】B
【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可．
【详解】解：∵反比例函数? = ?的图像经过第一、三象限，
?
∴ ? > 0
∴一次函数? = ??−?的图像一定经过第一、三象限，且交?轴于负半轴，
∴一次函数? = ??−?的图像一定经过第一、三、四象限．故选：B．
命题点 03 已知图象经过的象限求参数的取值范围
【典例】（2025·四川广元·模拟预测）已知直线 ?1 ∶ ? = ? + 1与直线 ?2 ∶ ? = ??−2(? ≠ 0)在第二象限交于点 M，则 k 的取值范围是（）
A．? < −2B．−2 < ? < 0C．0 < ? < 2D．? > 2
【答案】A
【分析】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．根据一次函数的图象与系数的关系，求出?的取值范围即可．
【详解】解： ∵ 直线?1 ∶ ? = ? + 1与直线 ?2 ∶ ? = ??−2(? ≠ 0)在第二象限交于点?，
∴ 直线?2:? = ??−2(? ≠ 0)过二、三、四象限，
∴ ? < 0，
∵ 直线?1:? = ? + 1与?轴的交点为(−1,0)，把点为(−1,0)代入? = ??−2得，? = −2，
∴ 直线?1:? = ? + 1与直线?2:? = ??−2(? ≠ 0)在第二象限交于点?，则? < −2．
故选：A．
【变式 1】（2025·江苏南通·中考真题）已知直线? = ?? + ?经过第一、第二、第三象限，则?,?的取值范围是（ ）
A．? < 0,? < 0B．? < 0,? > 0C．? > 0,? < 0D．? > 0,? > 0
【答案】D
【分析】根据一次函数? = ?? + ?（?、?为常数，? ≠ 0 ）的图象性质，分析?、?取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数? = ?? + ?的图象与系数的关系，熟练掌握不同?、?取值对应直线经过的象限是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数? = ?? + ?的图象经过第一、二、三象限，
∴? > 0时， ? > 0时，故选：D ．
【变式 2】（2025·陕西咸阳·二模）已知一次函数? = (? + 2)? + ?（k、b 为常数，且? ≠ −2）的图象不经过第一象限，则 k、b 的值可能是（ ）
A．? = −1,? = −2B．? = −4,? = 2C．? = −1,? = 2 D．? = −4,? = −1
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出 k，b 的符号是解答此题的关键．
先根据一次函数的图象经过一、二、四象限判断出函数 k 及 b 的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可．
【详解】解：∵一次函数? = (? + 2)? + ?（k、b 为常数，且? ≠ −2）的图象不经过第一象限，
∴? + 2 < 0,? ≤ 0，
∴? < −2，
∴k、b 的值可能是? = −4,? = −1．
故选：D
【变式 3】（2025·陕西延安·三模）若一次函数? = (?−2)? + ? + 1（?为常数）的图象经过第一、二、四象限，则?的取值范围是（ ）
A．−1 < ? < 2B．? > −1C．? < 2D．? > 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与?、?的关系，根据一次函数图象所经过的象
?−2 < 0
限列出不等式组 ? + 1 > 0 ，然后解不等式组即可，解题的关键是理解直线? = ?? + ?所在的位置与?、?的
符号有直接的关系，? > 0时，直线必经过一、三象限；? < 0时，直线必经过二、四象限；? > 0时，直线与?轴正半轴相交；? = 0时，直线过原点；? < 0时，直线与?轴负半轴相交．
【详解】解：∵一次函数? = (?−2)? + ? + 1（?为常数）的图象经过第一、二、四象限，
?−2 < 0
∴ ? + 1 > 0 ，
解得：−1 < ? < 2，故选：A．
命题点 04 画一次函数的图像
【典例】（2025·江苏南京·三模）已知二次函数? = ?2−(? + 2)? + 3?−3．
求证：该函数的图象与?轴有公共点．
该函数的图象经过的定点的坐标是．
已知点? 4，2 ，? 7，8 ，若该函数的图象与线段??没有公共点，直接写出?的取值范围．
【答案】(1)见详解
(2)(3,0)
(3)? < 3或? > 6
【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合? = ?2−(? + 2)? + 3?−3，整理Δ = −(? + 2) −4 × 1 × (3?−3) = (?−4)2 ≥ 0，即可作答．
2
（2）结合? = ?2−(? + 2)? + 3?−3，且函数的图象经过的定点，故整理? = ?2 + (3−?)?−2?−3，令
3−? = 0，解得? = 3，再把? = 3代入? = 32−(? + 2) × 3 + 3?−3进行计算，即可作答．
（3）先求出线段??的解析式为? = 2?−6(4 ≤ ? ≤ 7)，依题意，得?2−(? + 4)? + 3? + 3 = 0，再分别把
? = 4，? = 7代入?2−(? + 4)? + 3? + 3 = 0，
−? + 3 > 0−? + 3 < 0
得−? + 3，−4? + 24，则 −4? + 24 > 0 或 −4? + 24 < 0 ，再解得?的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：∵? = ?2−(? + 2)? + 3?−3，
∴Δ = −(? + 2)
2
−4 × 1 × (3?−3)
= (? + 2)2−4(3?−3)
= ?2 + 4? + 4−12? + 12
= ?2−8? + 16
= (?−4)2 ≥ 0
即该函数的图象与?轴有公共点；
（2）解：? = ?2−(? + 2)? + 3?−3
= ?2−??−2? + 3?−3
= ?2 + (3−?)?−2?−3
∵该函数的图象经过的定点
即3−? = 0
∴? = 3
∴把? = 3代入? = ?2 + (3−?)?−2?−3，
得? = 32−(? + 2) × 3 + 3?−3 = 9−3?−6 + 3?−3 = 0
∴该函数的图象经过的定点为(3,0)．
（3）解：设线段??的解析式为? = ?? + ?(4 ≤ ? ≤ 7)，
把点? 4，2 ，? 7，8 分别代入? = ?? + ?
2 = 4? + ?
得 8 = 7? + ?
? = 2
解得 ? = −6
∴线段??的解析式为? = 2?−6(4 ≤ ? ≤ 7)，
∵该函数? = ?2−(? + 2)? + 3?−3的图象与线段??没有公共点，
∴2?−6 = ?2−(? + 2)? + 3?−3
整理得?2−(? + 4)? + 3? + 3 = 0
把? = 4代入?2−(? + 4)? + 3? + 3 = 0，
得42−(? + 4) × 4 + 3? + 3 = 16−4?−16 + 3? + 3 = −? + 3，
把? = 7代入?2−(? + 4)? + 3? + 3 = 0，
得72−(? + 4) × 7 + 3? + 3 = 49−7?−28 + 3? + 3 = −4? + 24，
则 −4? + 24 > 0 或 −4? + 24 < 0
−? + 3 > 0
−? + 3 < 0
解得 ? < 6 ，即? < 3；或解得 ? > 6 ，即? > 6
综上：? < 3或? > 6
3 > ?
? > 3
已种菜苗的天数?
0
2
4
6
8
．．．
甲种菜苗的高度
?1 cm
3
6
9
12
15
．．．
乙种菜苗的高度
?2 cm
9
11
13
15
17
．．．
【变式 1】（2025·辽宁·模拟预测）为了加强劳动教育，落实五育并举，某校在校园内建立了一处劳动教育基地．学校选定了基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，用来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据，数据记录如下表：
通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度?1，?2（单位：cm）与已种菜苗的天数?（单位：天）之间均满足一次函数关系．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出甲、乙两种菜苗的高度?1，?2关于已种菜苗的天数?(? ≥ 0)
的函数图象，并求出?1，?2关于?的函数解析式；（不需要写出自变量?的取值范围）
(2)根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到60cm时成熟，请问哪种菜苗先成熟？并说明理由．
【答案】(1)见解析，?1 = 3? + 3，?2 = ? + 9
2
(2)甲种菜苗先成熟，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
先描点再连线，利用待定系数法求其函数关系式即可；
（2）将当?1 = 60和?2 = 60分别代入对应函数解析式，求出对应 x 的值并比较大小即可．
【详解】（1）解：画出甲、乙两种菜苗的高度?1，?2关于已种菜苗的天数?(? ≥ 0)的函数图象如图所示．
设?1关于?的函数解析式为?1 = ?1? + ?1(?1 ≠ 0)．将点(0,3)，(2,6)代入，得
?1 = 3
2?1 + ?1 = 6 ，
3
解得 ?1 = 2 ，
?1 = 3
∴ ?1关于?的函数解析式为?1
3
= 2? + 3；
设?2关于?的函数解析式为?2 = ?2? + ?2(?2 ≠ 0)，将点(0,9)，(2,11)代入，得
?2 = 9
2?2 + ?2 = 11 ，
解得，
?2 = 1
?2 = 9
∴ ?2关于?的函数解析式为?2 = ? + 9；
解：甲种菜苗先成熟，理由如下：
当?
= 60
3
? + 3 = 60，
1时，2
解得? = 38；
当?2 = 60时，? + 9 = 60，
解得? = 51．
∵ 38 < 51，
∴ 甲种菜苗先成熟．
时间?（秒）
0
10
20
30
40
50
60
量筒内水量?（毫升）
15
30
45
60
75
90
105
【变式 2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组用最大容量为 250 毫升的量筒接水，每隔 10秒钟观察量筒中水的体积，从某时刻起小明记录 1 分钟内量筒中水的体积如表：
在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．量筒内水量?（毫升）与时间?（秒）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是函数关系；（选填“一次”“二次”或“反比例”）
根据以上判断，求?关于?的函数表达式；
当这个水龙头漏水 90 秒时，量筒中接有多少毫升水？
【答案】(1)见解析；一次
(2)? = 3? + 15
2
(3)当这个水龙头漏水 90 秒时，量筒中接有 150 毫升水
【分析】（1）根据表格描点即可；根据描出的点进行判断函数类型即可；
（2）设 V 与 t 的函数关系式为：? = ?? + ?(? ≠ 0)，代入 0，15 ， 10，30 ，求出函数解析式即可；
（3）将? = 90代入函数解析式，求出 V 即可．
【详解】（1）解：描点如图所示：
量筒内水量?（毫升）与时间?（秒）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是一次函数关系；
（2）解：设一次函数的解析式为? = ?? + ?(? ≠ 0)，将(0,15)，(10,30)代入得，
? = 15
10? + ? = 30 ，
? = 15
解得：
? = 3 ，
2
∴ 一次函数的表达式为? = ? + 15；
3
2
（3）解：当? = 90时，? = 3 × 90 + 15 = 150，
2
∴ 当这个水龙头漏水 90 秒时，量筒中接有 150 毫升水．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，描点法画一次函数图象，待定系数法求一次函数解析式，理解题意并根据题意求出函数解析式是解题的关键．
【变式 3】（2025·浙江宁波·三模）为了吸引顾客，某市内游乐园推出了两种游玩活动方案，活动方案如下：方案一：不购买会员卡，每小时收费?元；
方案二：购买会员卡，售价为 160 元/张，每小时另收 10 元，有效期一个月．
设某个月内游玩时间为?（时），按照方案一所需费用为?1（元），其关系图象如图所示；按照方案二所需费用为?2（元）．
分别求出?1、?2与?之间的函数关系式；
在图中画出?2的函数图象；
你会如何向朋友推荐方案．
【答案】(1)?1 = 30?；?2 = 10? + 160
见解析
如果在一个月内，游玩时间为?小时，当0 < ? < 8时，推荐方案一；当? = 8时，两个方案都可以推荐；当? > 8时，推荐方案二
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
利用待定系数法解答即可；
求出?2的函数图象过点(0,160),(2,180)，即可；
求出两函数图象交点的横坐标，再结合函数图象，即可．
【详解】（1）解：（1）方案一：设?1 = ?1?，
∵图象过点(8,240)，
∴?1 = 30，
∴?1 = 30?；
方案二：由题意，得：?2 = 10? + 160；
（2）解：对于?2 = 10? + 160，
当? = 0时，?2 = 160，当? = 2时，?2 = 180，
∴?2的函数图象过点(0,160),(2,180)，
画出函数图象，如图所示：
（3）解：令30? = 10? + 160，解得? = 8，
∴?1与?2图象相交于点(8,240)，
观察函数得：如果在一个月内，游玩时间为?小时，当0 < ? < 8时，方案一更优惠，推荐方案一；
当? = 8时，两个方案费用一样，两个方案都可以推荐；
当? > 8时，方案二更优惠，推荐方案二．
命题点 05 一次函数图象的平移问题
【答案】? = 2?−8
【分析】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质设平移后的直线解析式为? = 2? + ?，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设平移后的直线解析式为：? = 2? + ?，把(1，−6)代入? = 2? + ?，
得：−6 = 2 × 1 + ?，
解得? = −8，
则平移后的直线解析式为? = 2?−8，故答案为：? = 2?−8．
【典例】（2024·广东·模拟预测）将直线? = 2? + 3平移，使平移后的直线经过点(1，−6)，所得直线的表达式是．
【答案】−2 < ? < 4
【分析】本题考查了求一次函数的图象平移后的解析式，解一元一次不等式组，两直线的交点问题，解题关键是求两直线的交点．
先求出直线? = −?平移后的表达式，再求出平移后的直线与直线? = 2?−4的交点坐标，根据交点在第四象限，得到不等式组求解．
【详解】解：把直线? = −?向下平移?个单位后可得：? = −?−?，
? = −?−?
? =
4−?
? = 2?−4 ，解得： ? = −2?−4 ，
3
3
所以直线与直线的交点坐标为
4−? −2?−4
33
,
，
因为它们的交点在第四象限，
【变式 1】（2025·辽宁大连·模拟预测）把直线? = −?向下平移 a 个单位后，与直线? = 2?−4的交点在第四象限，则 a 的取值范围是．
4−? > 0
所以
−2?−4 < 0
3
，解得：−2 < ? < 4，
3
故答案为：−2 < ? < 4．
【变式 2】（2025·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将直线
1向右平移 6 个单位长度得到
??:? = 2? + 2
直线??，则直线??与??间的距离为．
∴?(−4,0)，?(0,2)，则?? = 4，?? = 4，
∴?? =??2 + ??2 =42 + 22 = 2 5，
∵直线??:? = ? + 2向右平移 6 个单位长度得到直线??，
1
2
设点 A 的对应点为 C，点 B 的对应点为 D，
∴??∥??，?? = ?? = 6，
∴四边形????是平行四边形，设直线??与??间的距离为 h，
由?四边形???? = ?? ⋅ ℎ = ?? ⋅ ??得ℎ = 6×2 = 6 5，
2 5
5
即直线??与??间的距离为6 5，
5
故答案为：6 5．
5
2
当? = 0时，? = 2，当? = 0时，由0 = 1? + 2得? = −4，
2
【详解】解：设直线??:? = 1? + 2与 x、y 轴的交点分别为点 A、B，
而求得??，设点 A、B 对应点 C、D 坐标，再根据平移性质得到四边形????是平行四边形，设直线??与??
间的距离为 h，利用平行四边形的面积公式求解即可．
2
识，利用平行四边形的性质求解是解答的关键．先求得直线??:? = 1? + 2与 x、y 轴的交点坐标 A、B，进
【分析】本题考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、一次函数图象与坐标轴的交点、勾股定理等知
5 5
【答案】6 5/6 5
【变式 3】（2025·天津·二模）将一次函数? = −? + ?（b 为常数）的图象向下平移 3 个单位后，经过点
(2,0)，则 b 的值为．
【答案】5
【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键．
直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将(2,0)代入求出答案．
【详解】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为? = −? + ?−3，再将点(2,0)代入? = −? + ?−3，
得0 = −2 + ?−3，解得? = 5，
故答案为：5．
命题点 06 一次函数图象与对称问题
【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线? = ??−1与直线? = −7? + ?关于?轴对称，则一次函数? = ?? + ?的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出 k，b 的值，然后进行解答即可．
【详解】解：∵直线? = ??−1与直线? = −7? + ?关于?轴对称，
∴? = 7,? = −1
∴一次函数? = ?? + ?即?=7?−1，的图象不经过第二象限，故选：B．
【变式 1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线? = 2? + 1关于?轴对称，则此一次函数
的解析式为（ ）
A．? = −2? + 1 B．? = −2?−1C．1
D．1
? = 2? + 1? = 2?−1
【答案】A
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
首先求出直线? = 2? + 1与 x 轴和 y 轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵直线? = 2? + 1
∴当? = 0时，? = 2 × 0 + 1 = 1，
∴直线? = 2? + 1与 y 轴的交点为(0,1)；
∴当? = 0时，0 = 2? + 1，
解得? = −1
2
∴直线? = 2? + 1与 x 轴的交点为 − 2 ,0
∵一次函数的图象与直线? = 2? + 1关于?轴对称，
1
∴一次函数的图象与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 2 ,0
设一次函数的解析式为? = ?? + ?
? = 1
1
∴ 1 ? + ? = 0
2
∴ ? = −2
∴此一次函数的解析式为? = −2? + 1．
? = 1
故选：A．
【变式 2】（2026·陕西榆林·一模）若函数?1的图象上存在点 P，函数?2的图象上存在点 Q，且 P、Q 关于 y轴对称，则称点 P（或点 Q）的纵坐标为函数?1，与?2的“对偶值”．那么函数?1 = ? + 2与?2 = −2? + 1的“对偶值”为（ ）
A．1B．2C．3D．−1
【答案】C
【分析】设?(?,? + 2)，?(?,−2? + 1)，根据题意，得? = −?,? + 2 = −2? + 1，求解即可．
【详解】解：函数?1的图象上存在点 P，函数?2的图象上存在点 Q，且 P、Q 关于 y 轴对称，且?1 = ? + 2，
?2 = −2? + 1，
设?(?,? + 2)，?(?,−2? + 1)，
根据题意，得? = −?,? + 2 = −2? + 1，
∴ −? + 2 = −2? + 1，解得? = −1，
∴ −? + 2 = −(−1) +2 = 2 + 1 = 3．
【变式 3】（2023·福建福州·二模）如图，在平面直角坐标系???中，已知点?(2,0)，点?′(−2,4)．若点 A
与点 A′关于直线 l 成轴对称，则直线 l 的解析式是（）
A．? = 2B．? = ?C．? = ? + 2D．? = −? + 2
【答案】C
【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接??′，利用中点坐标公式求得线段??′的中点?(0,2)，再根据轴对称的性质得，直线 l 垂直平分??′，进而得直线 l 经过一、三象限，且经过点 B，即可求解．
【详解】解：如图，连接??′，
∵点?(2,0)，点?′(−2,4)，
∴线段??′的中点?(0,2)，
∵点 A 与点 A′关于直线 l 成轴对称，
∴直线 l 垂直平分??′，
∴直线 l 经过一、三象限，且经过点 B，
∴直线 l 的解析式是? = ? + 2，故选：C．
中考预测题
1．如图，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图像与?轴，?轴分别交于点?(1,0)和点?，并与正比例函数? = 2?的图像平行，下列说法不正确的是（ ）
A．点?的坐标是(0,−2) B．点(−1,4)在函数图像上
5
C． △ ???的周长是3 +
D．关于?的方程?? + ? = 0的解是? = 1
【答案】B
【分析】根据一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图像与正比例函数? = 2?的图像平行，一次函数? = ?? + ? (? ≠ 0)的图像与?轴交于点?(1,0)，求出一次函数解析式为? = 2?−2，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：∵一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图像与正比例函数? = 2?的图像平行，
∴? = 2，
∵一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图像与?轴交于点?(1,0)，
∴1 × 2 + ? = 0，解得：? = −2，
∴一次函数解析式为：? = 2?−2， 把? = 0代入? = 2?−2得：? = −2，
∴点?的坐标是(0,−2)，故 A 正确，不符合题意；
∵把? = −1代入? = 2?−2得：? = 2 × (−1)−2 = −4 ≠ 4，
∴点(−1,4)不在函数图像上，故 B 不正确，符合题意；
∵?? =12 + 22 = 5，
∴ △ ???的周长是1 + 2 + 5 = 3 + 5，故 C 正确，不符合题意；
∵一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图像与?轴交于点?(1,0)，
∴关于?的方程?? + ? = 0的解是? = 1，故 D 正确，不符合题意．
2．在平面直角坐标系中，正比例函数? = ??的图像经过点?(2, ?),?(?, 6)，且?, ?两点关于原点中心对称，若将该正比例函数的图像向下平移 2 个单位长度，则平移后的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到 A，B 的坐标，再求出正比例函数的解析式，结合函数图像平移规律得到平移后的解析式，最后根据一次函数的性质判断其不经过的象限即可.
【详解】解：∵ A，B 两点关于原点中心对称，点 A 坐标为(2,?)，点 B 坐标为(?,6)，
∴ 由关于原点对称的点的坐标性质得? = −2，? = −6，即?(2,−6)，将?(2,−6)代入? = ??，得 −6 = 2?，解得：? = −3.
∴ 原正比例函数解析式为? = −3?.
将该函数图像向下平移2个单位长度，根据平移的“上加下减”规则，得平移后解析式为? = −3?−2.
对于一次函数? = −3?−2，
∵ ? = −3 < 0，? = −2 < 0，
∴ 函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限，.即选项 A 符合题意.
3．如图，直线? = −2? + 2与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，把△ ???绕着直线 AB 翻折后得到△ ??′?，则点?′的坐标是．
【答案】 5 , 5
【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图象和性质，翻折，两点间的距离公式，求点的坐标，熟记
8 4
两点间的距离公式是解题的关键．先求出点 A，B 的坐标，设?′(?,?)，根据??′ = 1，??′ = 2列方程求解
即可．
【详解】解： ∵ 直线? = −2? + 2与?轴交点?，与?轴交点?，令? = 0，得0 = −2? + 2，
解得? = 1，故?(1,0)，
令? = 0，得? = 2，故?(0,2)，
由翻折，得??′ = ?? = 1,??′ = ?? = 2，且??是??′的垂直平分线
设?′(?,?)，
由??′ = 1，得(?−1)2 + ?2 = 12;由??′ = 2，得?2 + (?−2)2 = 22;联立方程：
(?−1)2 + ?2 = 1
?2 + (?−2)2 = 4 ，
展开并化简得：? = 2?，代入其中一个方程，解得? = 8,? = 4．
5
5
故答案为： 5 , 5 ．
8 4
考点二 一次函数的性质
《解题指南》
判断增减性，只看 k 不看 b：看到一次函数，先抓 k 的符号，直接定增减。
比较函数值大小：先定 k 符号，再比 x
① k>0：x 大→y 大；② k0；②递减→k0；②图象从左到右下降→k0；②量随另一个量增大而减小→k 1时，下列函数?随?的增大而增大的是( )
A．? = −3?B．
1?2−1C．? = 3? + 1D．? = −(?−1)2−3
? = −
2
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，一次函数当?大于0时?随?增大而增大，二次函数当开口向下时在对称轴右侧?随?增大而减小．
【详解】A．? = −3?，? = −3 < 0， ∴ ?随?增大而减小；
B．? = −1?2−1，? = −
2
1
< 0，开口向下，对称轴为直线? = 0，当? > 1时， ∴ ?随?增大而减小；
2
C．? = 3? + 1，? = 3 > 0， ∴ ?随?增大而增大；
D．? = −(?−1)2−3，? = −1 < 0，开口向下，对称轴? = 1，当? > 1时， ∴ ?随?增大而减小．故选：C．
【变式 1】（2026·河南平顶山·一模）请写出一个经过点(0,4)，且?随?的增大而增大的一次函数表达式
．
【答案】? = ? + 4（答案不唯一）
【分析】根据一次函数经过点(0,4)可得截距? = 4，由?随?的增大而增大可得斜率? > 0，取满足条件的?即可得到符合要求的一次函数表达式．
【详解】解：设符合题意的一次函数表达式为? = ?? + ?(? ≠ 0).
∵函数图象经过点(0,4)，
∴4 = ? × 0 + ?，即? = 4.
又∵?随?的增大而增大，
∴? > 0.
∴当? = 1时满足题意，则函数表达式为? = ? + 4.
?
【变式 2】（2023·浙江宁波·模拟预测）给出下列函数：①? = −3? + 2；②? = 1；③? = −?2 +1．从中 任取一个函数，取出的函数符合条件“当? ??−? + 2，
整理得(?−?)? + ? + ?−1 > 0．
因为无论?取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数?−? = 0，即? = ?，
此时不等式变为? + ?−1 > 0，
2?−1 > 0，
2? > 1，
? > 2．
1
故答案为：? > 2．
1
? + ?
【变式 1】（2025·山东日照·二模）若点?(? ,? ),?(?2,?2)是一次函数? = 2 上的两点，对于任意?1 3
【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．根据
一次函数的性质知， > 0，进行解答即可．
2
?−3
【详解】解：∵点?(? ,? ),?(?2,?2)是一次函数? =? + ?上的两点，对于任意?1 < ?2，都有?1 < ?2，
2
1 1
?−3
∴ 该函数图象是?随?的增大而增大，
∴> 0，
?−3
2
解得? > 3．
故答案为：? > 3．
【变式 2】（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数? = ?? + ?（?，?为常数，? ≠ 0），当1 ≤ ? ≤ 4时，
?
3 ≤ ? ≤ 6，则?的值为．
【答案】2 或−7/−7或 2
【分析】由?与?的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出?与?的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【详解】解：当? > 0时，?随?的增大而增大，
∵当1 ≤ ? ≤ 4时，3 ≤ ? ≤ 6，
∴ 一次函数图象上的点坐标为(1,3)和(4,6)，
? + ? = 3①
代入得： 4? + ? = 6② ，
②−①得：3? = 3，解得：? = 1，
把? = 1代入①得：? = 2，
此时? = 2；
当? < 0时，?随?的增大而减小，
?
∴ 一次函数图象上的点坐标为(1,6)和(4,3)，
? + ? = 6
代入得： 4? + ? = 3 ，
? = −1
解得：
? = 7 ，
此时? = −7，
故答案为：2 或−7．
?
命题点 04 比较一次函数值的大小
【典例】（2026·陕西·一模）已知一次函数? = ?2? + 2（?为常数，且? ≠ 0）的图象经过点?(−4,?)和点? (2,?)，则?、?的大小关系为（ ）．
A．? > ?B．? < ?C．? = ?D．? ≥ ?
【答案】B
【分析】先根据条件判断一次函数的增减性，再根据 A、B 两点横坐标的大小关系比较?、?的大小．
【详解】解：∵? ≠ 0，
∴?2 > 0，
∴一次函数 ? = ?2? + 2 中，? 随 ? 的增大而增大，
∵−4 < 2，
∴? < ?．
【变式 1】（2026·安徽·一模）点?2 + 3,?1 ,(2?,?2)在一次函数1的图象上，其中?为实数，则?1与
?2的大小关系为（ ）
? = −? + ?
2
A．?1 > ?2B．?1 = ?2C．?1 < ?2D．无法确定
【答案】C
【分析】先根据一次函数的系数判断函数增减性，再作差比较两个点的横坐标大小，结合增减性即可得到?1与?2的大小关系．
【详解】解：∵一次函数? = −
1
? + ?中，? = −
2
1
< 0，
2
∴?随?的增大而减小，
对两个点的横坐标作差得，(?2 + 3)−2? = ?2−2? + 3 = (?−1)2 +2；
∵(?−1)2 ≥ 0，
∴(?−1)2 +2 > 0，即?2 +3 > 2?，
∵点 ?2 + 3,?1 ,(2?,?2)都在该一次函数图象上，且?2 +3 > 2?，?随?增大而减小，
∴?1 < ?2．
【答案】?1 < ?2
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，先判断出一次函数的增减性，再根据自变量的大小判断即可．
【详解】解：∵一次函数? = −7? + ?中? = −7 < 0，
∴y 随着 x 的增大而减小，
∵5 > 4，
∴?1 < ?2，
故答案为：?1 < ?2
【变式 2】（2025·山西吕梁·三模）已知点?(5, ?1)和?(4, ?2)都在直线? = −7? + ?上，则?1、?2的大小关系为．
【变式 3】（2025·吉林长春·二模）点?(1,?1)、?(2,?2)在一次函数1
的图象上，则?
?2（用
? = 2? + 11
“＜”、“＝”或“＞”填空）．
【答案】＜
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据? = 1 > 0，可知一次函数值 y 随着 x 的增大而增大，
2
再比较 x 值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数? = 1? + 1中，? = 1 > 0，
2
2
∴一次函数值 y 随着 x 的增大而增大．
∵1 < 2，
∴?1 < ?2．
故答案为：＜．
命题点 05 一次函数规律探索问题
【典例】（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线?的表达式为? = ?，点?1的坐
标为( 2,0)，以?为圆心，??1为半径画弧，交直线?于点?1，过点?1作直线?的垂线交?轴于点?2；以?为圆 心，??2为半径画弧，交直线?于点?2，过点?2作直线?的垂线交?轴于点?3；以?为圆心，??3为半径画弧，交直线?于点?3，过点?3作直线?的垂线交?轴于点?4；……按照这样的规律进行下去，点?2024的横坐标是
．
【答案】21012
【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作?1? ⊥ ?
轴于点 H，依次求出??2，??3，??4，找出规律即可解决．
【详解】解：作?1? ⊥ ?轴于点 H，
∵ ?1,?2,?3,?4,?5⋯均在直线? = ?上，
∴ ?? = ?1?，
∴ ∠?1?? = 45°，
∵ ?12，0 ，??1 = ??1，
∴ ??1 = ??1 = 2，
∵ ?1?2 ⊥ ?,∠?1?? = 45°，
∴ ??1 = ?1?2 = 2，
∴ ??2 = 2??1 = 2??1 = 2，
∴ ?2(2,0)，
同理，??2 = ??2 = ?2?3 = 2，
3
∴ ??3 = 2??2 = 2 2 =2 ，
4
同理，??4 =2
5
??5 =2 ⋯
2024
∴ ??2024 =
2
= 2
1012
，
即点?2024的横坐标是21012，
故答案为：21012．
【变式 1】（2026·四川内江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线?的解析式为? = 3? + 1，直线?的解
析式为? = 3?直线?交?轴于点?，以??为边作第一个等边三角形???，交直线?于点?，过点?作?轴的平行
3
线交直线?于点?1，以?1?为边作第二个等边三角形?1??1，交直线?于点?1，…顺次这样作下去，第 2026
个等边三角形的边长为（ ）
A．22026B．22025C．4050D．4052
【答案】B
【分析】延长?1?交 x 轴于 D，?2?1交 x 轴于 E，根据等边三角形的性质得?? = ??，?1? = ??1，?2?1 =
?2?1，直线 b 的解析式为? = 3?，得∠??? = 30°，由直线 a 的解析式? =
3
3? + 1得第一个等边三角形边
长为 1，解Rt △ ???得?? = 3，?? = 1，把? = 3代入? = 3? + 1求得? 的纵坐标，即可求得第二个等边
2
2
2
1
三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第 2026 个等边三角形的边长．
【详解】解：延长?1?交 x 轴于 D，?2?1交 x 轴于 E，
∵ △ ???， △ ??1?1， △ ?1?2?2均为等边三角形，
∴?? = ??，?1? = ??1，?2?1 = ?2?1，
∵直线 b 的解析式为：? = 3?，
3
∴∠??? = 30°，
对于直线 a，? = 3? + 1，当? = 0时，? = 1，
∴点 A 的坐标为(0,1)，
∴?? = ?? = 1，
在Rt △ ???中，?? = 1，∠??? = 30°，
113
∴?? = 2?? = 2，?? = 2 ，
∴点 B 的坐标为 3 , 1 ，
2 2
对于? = 3? + 1，当? = 3时，? = 5，
22
∴点? 的坐标为 3 , 5 ，
12 2
5
∴?1? = 2，
11
∴? ? = ?? = ??−?? = 2 = 21，
∴??1 = ?? + ??1 = 3，
在Rt △ ??1?中，??1 = 3，∠?1?? = 30°，
，
33 3
∴?1? = 2，?? = 2
∴点? 的坐标为 3 3 , 3 ，
122
对于? = 3? + 1，当? = 3 3时，? = 11
22 ，
11
∴?2? = 2 ，
∴?2?1 = ?2? = ?1? = 4 = 2 ，
同理得：?3?2 = 2 ，……，
以此类推，第 n 个等边三角形的边长为2?−1，
∴第 2026 个等边三角形的边长为22025．故选：B．
2
3
【变式 2】（2025·河南·一模）如图，分别过点?? ?，0?＝1、2、…、2024作 x 轴的垂线，交? = ?2的图
像于点? ，交直线? = −?于点? ，则 1
111
+++⋯ +
的值为（ ）
???1?1?2?2?3?3?2024?2024
2023202420222022
A．2024B．2025C．2024D．2025
2024
1111111
= 1− 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + ⋯ + 2024 − 2025
1
= 1− 2025
= 2025．
故选：B．
1111
= 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯ + 2024 × 2025
1
?2024?2024
+++⋯ +
?1?1?2?2?3?3
1
1
∴ 1
?+1
11
= −，
?(?+1)?
1
=
????
∴ 1
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．
根据??的纵坐标与??纵坐标的绝对值之和为????的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结
果．
【详解】解：根据题意得：???? = ?2−(−?) = ?2 +? = ?(? + 1)，
【答案】? = −? + 3（答案不唯一）
命题点 06 求一次函数的解析式
【典例】（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系???中，点?(4,0)，点 P 在过原点的直线?上，且
?? = ?? = 4，则直线?的解析式是．
【答案】? = 3?或? = − 3?
【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据?? = ?? = 4，结合?? = 4，得到△ ???为等边三角形，分点?在?点上方和点?在?点下方两种情况，求出点?的坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：∵?(4,0)，
∴?? = 4，
∵?? = ?? = 4，
∴?? = ?? = ?? = 4，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°，
过点?作?? ⊥ ?轴，则：?? = ?? ⋅ sin60° = 4 × 3 = 2 3，?? = ?? ⋅ cs60° = 4 × 1 = 2，
2
2
∴? 2,2 3 或? 2,−2 3 ，
设直线?的解析式为? = ??，
∴当? 2,2 3 时，2 3 = 2?，解得? = 3，此时? = 3?；
当? 2,−2 3 时，−2 3 = 2?，解得? = − 3，此时? = − 3?；综上：? = 3?或? = − 3?；
故答案为：? = 3?或? = − 3?．
【变式 1】（2026·江苏无锡·一模）写出一个函数表达式，使它的图像经过(3,0)，且? > 0时，y 随 x 的增大而减小，这个函数表达式可能是：．
【分析】设所求函数为一次函数，根据函数的增减性确定一次项系数的取值范围，再利用函数图象经过已知点求解未知参数，即可得到符合要求的函数表达式．
【详解】解：设所求函数为一次函数，表达式为? = ?? + ?，
∵ ? > 0时，?随?的增大而减小，
∴ ? < 0，
令? = −1，可得函数为? = −? + ?，
将点(3,0)代入? = −? + ?得0 = −3 + ?，解得? = 3，因此符合条件的函数表达式可以为? = −? + 3．
【答案】? = −3? + 5/? = 5−3?
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
根据题意得出一次函数? = ?? + ?的图象也经过点(1,2)，进而根据待定系数法即可求得．
【详解】解；由题意可知，一次函数? = ?? + ?的图象也经过点(0 + 1,5−3)，即(1,2)，
? = 5
∴ ? + ? = 2 ，
? = −3
解得：
? = 5 ，
∴此函数表达式是? = −3? + 5，
故答案为：? = −3? + 5．
【变式 2】（2025·广东广州·模拟预测）若一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象经过点?(0,5)，当 x 增加 1 个单位长度时，y 减少 3 个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是 ．
【变式 3】（2025·江苏泰州·三模）设一次函数? = 2? + 2的图象为?1，二次函数? = (?−2)2图象的对称轴为
l，则?1关于 l 对称的图形?2对应的函数关系式为．
【答案】? = −2? + 10
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的性质可得?1经过点(0,2)和(−1,0)，根据二次函数的性质得到 l 为直线? = 2，求出点(0,2)和(−1,0)关于 l 对称的点坐标分别为(4,2)和(5,0)，由对称性可得?2是一次函数，再利用待定系数法即可求出?2对应的函数关系式．
【详解】解：对于? = 2? + 2，
当? = 0时，? = 2；当? = 0时，则2? + 2 = 0，解得? = −1；
∴?1经过点(0,2)和(−1,0)，
∵二次函数? = (?−2)2图象的对称轴为 l，
∴l 为直线? = 2，
∴点(0,2)和(−1,0)关于 l 对称的点坐标分别为(4,2)和(5,0)，
∵?2是?1关于 l 对称的图形，
∴?2是一次函数，且经过点(4,2)和(5,0)，设?2的函数关系式为? = ?? + ?，
代入点(4,2)和(5,0)，得 5? + ? = 0 ，
? = −2
解得 ? = 10 ，
∴?2的函数关系式为? = −2? + 10，
4? + ? = 2
故答案为：? = −2? + 10．
中考预测题
点?(?,?1)，?(? + 3,?2)是函数? = ?? + ?的图象上的两点，若?1−?2 = 6，则? = ．
【答案】−2
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可用含?，?，?的代数式表示出?1，?2，结合?1−?2 = 6，可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可求出 k 值．
【详解】解：∵点?(?,?1)，?(? + 3,?2)是函数? = ?? + ?的图象上的两点，
∴?1 = ?? + ?，?2 = ?(? + 3) +?，
∵?1−?2 = 6，即?? + ?− ?(? + 3) + ? = 6，解得：? = −2．
对于实数?，?，我们定义符号max{?,?}的意义为：当? ≥ ?时，max{?,?} = ?．当? < ?时，max{?,?}
= ?；如：max{5,5} = 5，max{−3,2} = 2，若关于?的函数为? = max{? + 3,−? + 1}．则该函数的最小值为
．
【答案】2
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据新定义得到? + 3 ≥ −? + 1时，? = ? + 3，当? + 3 < −? + 1
时，? = −? + 1，分别求出两种情况下的函数的最小值，进行判断即可．
【详解】解：当? + 3 ≥ −? + 1，即：? ≥ −1时，? = ? + 3，
∵1 > 0，
∴?随着?的增大而增大，
∴当? = −1时，?有最小值为：−1 + 3 = 2；
当? + 3 < −? + 1，即：? < −1时，? = −? + 1，
∴?随着?的增大而减小，
∵当? = −1时，? = −(−1) +1 = 2，
∴当? < −1时，? > 2，故该函数的最小值为 2；故答案为：2．
正方形?1?1?1?,?2?2?2?1,?3?3?3?2,⋯按照如图的方式摆放，点?1,?2,?3,⋯在直线? = −? + 1上，点?1,
?2,?3,⋯在?轴上，则点?2025的坐标为．
【答案】 −22025 + 1,22024 / 1−22025,22024
【分析】本题考查了一次函数上点的特征，正方形的性质和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键．首先利用一次函数解析式结合正方形的性质求出?1,?2,?3,⋯的坐标，可以得到规律：?? −2? + 1,2?−1 ，据此即可求解．
【详解】解：∵点?1,?2,?3,⋯在直线? = −? + 1上，点?1,?2,?3,⋯在?轴上，且?1?1?1?,?2?2?2?1,?3?3?3?2
,⋯为正方形，
当? = 0时，? = 1，
∴?1(0,1)，?1(−1,1)，?1(−1,0)；当? = −1时，? = 2，
∴?2(−1,2)，?2(−3,2)，?1(−3,0)；当? = −3时，? = 4，
∴?3(−3,4)，?3(−7,4)，?1(−7,0)；
⋯；
∴?? −2? + 1,2?−1 ，
∴?2025 −22025 + 1,22024 ，
故答案为： −22025 + 1,22024 ．
考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）
《解题指南》
1.一次函数? = ?? + ?与一元一次万程的关系：方程?? + ? = 0的解⟺直线与轴交点的横坐标
一次函数与二元一次方程组的关系：方程组的解⟺两条直线的交点坐标
一次函数与一元一次不等式的关系：
?? + ? > 0⟺直线在?轴上方的部分对应的?范围
?? + ?＜0⟺直线在?轴下方的部分对应的?范围
两个函数值大小比较：
?1 > ?2⟺直线?1在?2上方对应的?范围
命题点 01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解
【典例】（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象分别与?轴、?轴交于?，?两点，若?? = 4，?? = 2，则关于?的方程?? + ? = 0的解为．
【答案】? = −4
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．根据一次函数与?轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵?? = 4，
∴?(−4,0)，即一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象?轴交点坐标为(−4,0)，
∴关于?的方程?? + ? = 0的解为? = −4，故答案为：? = −4．
【变式 1】（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数? = ?? + ?的图象，则关于?的方程?? + ? = 0
的解是．
【答案】? = −2
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系；理解一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据图象即可求解．
【详解】解：关于?的方程?? + ? = 0的解，就是一次函数? = ?? + ?的图象与 x 轴交点的横坐标，观察图象知，? = −2；
故答案为：? = −2．
【变式 2】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象分别与 x、y 轴交于
A、B 两点，若?? = 2，?? = 1，则关于 x 的方程?? + ? = 0的解为．
【答案】? = −2
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．根据一次函数与?轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵?? = 2，
∴?(−2,0)，
∵一次函数? = ?? + ?的图象与?轴交于点?(−2,0)，
∴当? = 0时，? = −2，即?? + ? = 0时，? = −2，
∴关于?的方程?? + ? = 0的解是? = −2．故答案为：? = −2．
【变式 3】（2025·江苏扬州·二模）如图，已知一次函数? = ?? + ?的图象与 x 轴、y 轴分别交于点(2,0)、点
(0,3)．则关于 x 的方程?? + ? = 3的解为．
【答案】? = 0
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，利用一次函数的图象解一元一次方程时，关键是找准方程的解是相应的一次函数 y 为何值时对应的 x 的值．
方程?? + ? = 3的解即为当? = 3时方程的解，而一次函数? = ?? + ?的图象与 y 轴交于点(0,3)，则当? = 3
时，? = 0，即可求解．
【详解】解：方程?? + ? = 3的解即为当? = 3时方程的解，
∵一次函数? = ?? + ?的图象与 y 轴交于点(0,3)，
∴当? = 3时，? = 0，故答案为：? = 0．
命题点 02 直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【典例】（2025·江苏盐城·三模）如图，已知一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图像分别与?、?轴交于?、?两点，若?? = 2，?? = 1，则关于?的不等式?? + ? ≥ 0的解集为
【答案】? ≥ −2
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据一次函数与?轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵?? = 2，
∴?(−2,0)，
∵一次函数? = ?? + ?的图象与?轴交于点?(−2,0)，
∴关于?的不等式?? + ? ≥ 0的解集为? ≥ −2．故答案为：? ≥ −2．
【变式 1】（2026·山东滨州·一模）已知函数? = 3−|?−2|的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．点 A 的坐标为(4,0)B．直线??的解析式为? = −? + 5
C．不等式3−|?−2| > 0的解集为−1 < ? < 4 D．当? > 1时，y 随 x 的增大而减小
【答案】B
【分析】去绝对值化简得当? ≥ 2时，? = −? + 5，?(2,3)，当? < 2时，? = ? + 1，结合图象逐项判断即可求解．
【详解】解：当? ≥ 2时，? = 3−(?−2) = −? + 5，令? > 0，则−? + 5 > 0，解得：? < 5；当? = 2时，? = −2 + 5 = 3，则?(2,3)；
当? < 2时，? = 3 + ?−2 = ? + 1，令? > 0，则? + 1 > 0，解得? > −1；
当? ≥ 2时，? = 0，则−? + 5 = 0，解得? = 5，则?(5,0)，故此项错误，不符合题意；
当? ≥ 2时，? = −? + 5，即直线??的解析式为? = −? + 5，故此项正确，符合题意；
不等式3−|?−2| > 0的解集为−1 < ? < 5，故此项错误，不符合题意；
当? > 2时，y 随 x 的增大而减小，故此项错误，不符合题意．
【变式 2】（2025·山西吕梁·三模）如图，若一次函数? = ?? + ?的图象与?轴交于点(2,0)，与?轴交于点 (0,3)．则关于?的不等式?? + ? ≥ 0的解集为（ ）
A．? ≥ 3B．? ≤ 2C．? ≥ 2D．0 ≤ ? ≤ 2
【答案】B
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键在于从函数的角度看，就是寻求使一次函数? = ?? + ?的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线? = ?? + ?在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．据此结合图象即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数? = ?? + ?的图象与?轴相交于点(2,0)，
∴当? ≤ 2时，一次函数? = ?? + ?的图象在 x 轴上方，
∴关于?的不等式?? + ? ≥ 0的解集为? ≤ 2．故选：B．
【变式 3】（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数? = ?? + ?（k、b 是常数，
? ≠ 0）的图象与 x 轴交于点?(2,0)，与 y 轴交于点?(0,6)，根据图象可知0 < ?? + ? < 6的解集为（ ）
A．? < 0B．0 < ? < 2C．? > 2D．? < 0或? > 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是正确解答此题的关键．
根据图象即可确定不等式的解集．
【详解】解：∵一次函数? = ?? + ?（k、b 是常数，? ≠ 0）的图象与 x 轴交于点?(2,0)，与 y 轴交于点?(0,6)，
∴0 < ?? + ? < 6的解集为0 < ? < 2，故选：B．
【变式 4】（20-21 八年级上·江苏南京·期末）如图，若函数? = ?? + ?的图象经过点?(−3,2)，则关于 x 的不等式?? + ? < 2的解集为（ ）．
A．? > −3B．? < −3C．? > 2D．? < 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数
? = ?? + ?的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线? = ?? + ?
在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．直接根据函数图象写出不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可得：当? > −3时函数? = ?? + ?的函数值小于 2，故不等式?? + ? < 2的解集为? > −3．
故选：A．
命题点 03 由两条直线的交点求不等式的解集
【典例】（2024·河南开封·二模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数?=−?−1与? = ?? + ?（?，?为常数，? ≠ 0）的图象相交于点(1,−2)，则不等式−?−1 < ?? + ?的解集在数轴上表示为（ ）
【答案】A
A．B．C．D．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出?的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当? > 1时，一次函数?=−?−1的图象在一次函数? = ?? + ?的图象下方，
∴不等式−?−1 < ?? + ?的解集是? > 1，在数轴上表示的解集为
，
故选：A．
【变式 1】（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数?1 = ? + 1与?2 = ?? + ?（a、b
均为常数，且? ≠ 0）的图象相交于点?(1,2)，则关于 x 的不等式?? + ?−? ≤ 1的解集是（ ）
A．? ≥ 4B．? ≤ 4C．? ≥ 1D．? ≤ 1
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键．根据图象即可求得．
【详解】解：由图象可知，关于 x 的不等式?? + ? ≤ ? + 1的解集是? ≥ 1，
∴关于 x 的不等式?? + ?−? ≤ 1的解集是? ≥ 1，故选：C．
【变式 2】（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数? = ?? + ?与? = ?? + ?的图象交于点(2,−1)，且? = ?? + ?
经过点(1,0)，则关于?的一元一次不等式?? + ? > ?? + ?的解集是（ ）
A．? < 2B．? > 2C．? < −1D．? > 1
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，运用数形结合思想，且结合一次函数? = ?? + ?与? = ?? + ?的图象交于点(2,−1)，且? = ?? + ?经过点(1,0)，即可得出
?? + ? > ?? + ?的解集．
【详解】解：∵一次函数? = ?? + ?与? = ?? + ?的图象交于点(2,−1)，且? = ?? + ?经过点(1,0)，
∴当?? + ? > ?? + ?时，则? > 2，故选：B
命题点 04 两直线的交点与二元一次方程组的解
【典例】（2026·陕西西安·一模）已知一次函数? = ?? + ?（?、?为常数，? ≠ 0）与? = ?? + ?（?、?为常
?−?? = ?
数，? ≠ 0）的图象交于点?(1,3)，则关于?、?的方程组 ?−?? = ? 的解是（ ）
? = 1
? = −1
? = 3
? = 1
A． ? = 3B．
? = 3C． ? = 1D． ? = −3
【答案】A
【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解，进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数? = ?? + ?与? = ?? + ?的图象交于点?(1,3)，
∴该点的坐标(1,3)同时满足两个函数的方程，
∴关于?、?的方程组 ? = ?? + ? ，即 ?−?? = ? 的解为 ? = 3 ．
? = ?? + ?
?−?? = ?
? = 1
? = ? + 2? = 3
【变式 1】（2026·陕西西安·一模）已知关于?，?的二元一次方程组 ? = ?? + ? 的解为 ? = ? ，如图，若
直线? = ?? + ?（?，?为常数，且? ≠ 0）与直线? = ? + 2相交于点?，则点?的坐标为（ ）
A．(3,5)B．(5,3)C．(5,2)D．(2,5)
【答案】A
【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解．
【详解】解：∵关于?，?的二元一次方程组 ? = ?? + ? 的解为 ? = ? ，
? = ? + 2
? = 3
∴? = 3 + 2，
∴? = 5，
∴?，?的二元一次方程组 ? = ?? + ? 的解为 ? = 5 ，
二元一次方程组的解就是两个一次函数? = ?? + ?和? = ? + 2图象的交点坐标，
? = ? + 2
? = 3
∴点?的坐标为：(3,5)．
故选：A．
【变式 2】（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数?1 = ?? + ?(? ≠ 0)与?2
= ?? + ?(? ≠ 0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．?1随?的增大而减小
B．? > ?
C．当? > 2时，?1 > ?2
??−? = −?
? = 2
D．关于 x,y 的方程组 ??−? = −? 的解为 ? = 3
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等 式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、?1随?的增大而减小，故选项 A 正确，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数?1 = ?? + ?(? ≠ 0)的图象与?轴的交点在?2 = ?? + ?(? ≠ 0)的图象与?轴的交点的上方，即? > ?，故选项 B 正确，不符合题意；
由图象可知：当? > 2时，?1 < ?2，故选项 C 错误，符合题意；
由图象可知，两条直线的交点为(2,3)，
∴关于?，?的方程组 ??−? = −? 的解为 ? = 3 ，故选项 D 正确，不符合题意．
故选：C．
??−? = −?
? = 2
命题点 05 求直线与坐标轴围成的面积
【典例】（2026·陕西西安·一模）将直线? = 2? + 1向上平移3个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
1
A．2B．2C．8D．4
【答案】D
【分析】灵活运用“上加下减”的平移规律求出平移后的直线解析式是解题的关键．根据平移规律得到平移后直线的解析式，进而求出该直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求出与坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】解： ∵ 将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为? = 2? + 1，向上平移 3个单位长度，
∴ 平移后直线解析式为? = 2? + 1 + 3 = 2? + 4，
当? = 0时，? = 4，即平移后直线与?轴交点为(0,4)；
当? = 0时，2? + 4 = 0，解得? = −2，即平移后直线与?轴交点为(−2,0)，
∴ 直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为|−2| = 2和4，
∴ 三角形面积为2 × 2 × 4 = 4．
1
【变式 1】（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线?1 ∶ ? = 3?与直线?2 ∶ ? = ?? + 1(? ≠ 0)在第一象限交于
2
点?(?,3)，直线?2与?轴交于点?，则△ ???的面积为（ ）
31
A．2B．2C．1D．2
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键．根据题意求出?点坐标?的值，进而求出直线?2的解析式，继而求出点?的坐标，即可得解．
【详解】解： ∵ ?(?,3)在直线?1 ∶ ? = 3?上，
2
∴ 3 = ?，
3
2
∴ ? = 2，
∴ ?(2,3)，
将?(2,3)代入?2 ∶ ? = ?? + 1，
得3 = 2? + 1，解得? = 1，故?2 ∶ ? = ? + 1，
∵ 直线?2与?轴交于点?，
∴ 0 = ? + 1，
∴ ? = −1，
∴ ?(−1,0)，
∴ ?? = 1，
∴△ ??? = 2 × 1 × 3 = 2．
故选：B．
1
3
【变式 2】（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线?1 = ?，?2 = −? + 2，?3
面积为．
1
= 3? + 2
围成三角形的
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组以及三角形的面积，通过解方程组，
求出三条直线的交点坐标是解题的关键．
设直线?1 = ?，?2 = −? + 2交于点?，直线?1 = ?，?3
1
= 3? + 2
交于点?，直线?2 = −? + 2，?3
1
= 3? + 2交
于点?，通过解方程组，可求出点?，?，?的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论．
【详解】解：设直线?1 = ?，?2 = −? + 2交于点?，直线?1 = ?，?3
1
= 3? + 2
交于点?，直线?2 = −? + 2，
?3 =
? + 2交于点?，
1
3
? = ?
联立直线?1，?2的解析式组成方程组得： ? = −? + 2 ，
? = 1
解得： ? = 1 ，
∴ 点?的坐标为(1,1)，
同理：点?的坐标为(3,3)，点?的坐标为(0,2)．
过点?作?? ⊥ ?轴于点?，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，则?? = 3，?? = 1，如图所示，
∴ ?△??? = ?△???−?△???，
= 2 ?? ⋅ ??− 2 ?? ⋅ ??
11
= 2 × 2 × 3− 2 × 2 × 1
= 3−1
11
= 2，
∴ 直线?1 = ?，?2 = −? + 2，?3 = 1? + 2围成三角形的面积为2．
3
故答案为：2．
中考预测题
1．如图，在平面直角坐标系中， △ ???与 △ ?′?′?′是位似图形，其中对应点 A 和?′坐标分别是(1,2)，
(7,−4)，则位似中心 C 的坐标是．
【答案】(3,0)
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线??′的解析式为：
? = −? + 3，再求出直线与 x 轴的交点坐标，即可得出答案．
【详解】解：∵A 与?′是对应点，?与?′为对应点，
∴??′与??′的交点 C 为位似中心，
∵?与?′都在 x 轴上，
∴点 C 在 x 轴上，
设直线??′的解析式为：? = ?? + ?(? ≠ 0)，把(1,2),(7,−4)代入得：
【答案】? = −? + 6或? = −?− 6
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式．
解得：
? + ? = 2
7? + ? = −4 ，
? = −1
? = 3 ，
∴直线??′的解析式为：? = −? + 3，
把? = 0代入得：−? + 3 = 0，解得：? = 3
∴位似中心坐标是(3,0)，
故答案为：(3,0)．
2．如图，直线??的函数关系式为? = ?? + ?，直线??的函数关系式为? = ?−2，两直线交点的纵坐标为 2，当?−2 ≥ ?? + ?时，x 的取值范围是．
【答案】? ≥ 4
【分析】本题考查了求一次函数的自变量的值，根据两条直线的交点求不等式的解集，先结合两直线交点的纵坐标为 2，把? = 2代入? = ?−2，求出? = 4，再运用数形结合思想得出当?−2 ≥ ?? + ?时，x 的取值范围是? ≥ 4，即可作答．
【详解】解：∵两直线交点的纵坐标为 2，
∴把? = 2代入? = ?−2，得2 = ?−2，解得? = 4，
观察函数图象，得当?−2 ≥ ?? + ?时，x 的取值范围是? ≥ 4，
故答案为：? ≥ 4
3．定义：在平面直角坐标系中，若?−? ≠ −2，称点(?,?)与点(?−2,? + 2)互为友好点．若直线 l 上存在友好点，且与 x 轴，y 轴围成的三角形的面积是 3，则直线 l 的表达式为．
【详解】设点(?,?)在直线上，其友好点(?−2,? + 2)也在直线 l 上，
设直线 l 的解析式为? = ?? + ?，将点(?,?)和(?−2,? + 2)代入解析式得：
? = ?? + ?
? + 2 = (?−2)? + ? ，解得? = −1，
∴直线 l 的表达式为? = −? + ?，
当? = 0时，? = ?，即直线 l 与 y 轴交点为(0,?)，
当? = 0时，0 = −? + ? ，解得? = ?，即直线 l 与 x 轴交点为(?,0)，
∴? = × |?| × |?| = 3，
1
2
∴? =± 6，
∴直线的表达式? = −? + 6或? = −?− 6．故答案为：? = −? + 6或? = −?− 6．
考点四 一次函数与几何综合
《解题指南》
第 1 步：求函数解析式（必考第一步），方法：待定系数法
1.设：? = ?? + ?；2.代：代入题目给的两个点坐标；3.解：联立二元一次万程组，求 k，b；4.写：写出完整解析式，并检验 k≠0
第 2 步：求天键点坐标（所自压轴的基础）
1.与坐标轴交点：令? = 0,? = 0
两自线交点：联立两个解析式解万程
儿何图形顶点：结合儿何性质求坐标第 3 步：根据问题选择模型
题型 1：面积问题（最常考）
求出所有交点坐标
确定底和高（用横坐标差、纵坐标差）
3.公式：? = 1 ×底×高
2
4.含绝对值，面积一定为止
题型 2：动点问题（高频压轴）
设动点坐标：
①在?轴上：(t,0)；②在直线上：（t，kt 十 b）
表示线段长度：
①水平：|?1−?2|；②竖直：|?1−?2|
命题点 01 一次函数与几何综合之面积问题
【典例】（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数? = ?−1的图象与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于
?
点?(?,1)、?(−1,?)．
求?、?的值和反比例函数的表达式；
若在?轴上存在点?(?,0)，使得 △ ???的面积为 6，求?的值．
，
【答案】(1)? = 2? = −2，? = 2
?
(2)? = 5或? = −3
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点的问题，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比函数的相关知识是解题的关键．
分别把点 A 和点 B 的坐标代入一次函数解析式中求出 m、n 的值，进而得到点 A 和点 B 的坐标，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）设直线? = ?−1交 x 轴于 C，则?(1,0)，根据?
= ?
+ ?
11
= 6可得，
△???
△???
△???
2 × 1 ⋅ ?? + 2 × 2?? = 6
据此列式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数? = ?−1的图象与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于点?(?,1)、?(−1,?)，
?
∴?−1 = 1，−1−1 = ?，
∴? = 2，? = −2，
∴?(2,1)，?(−1,−2)，
?
∴1 = 2，
∴? = 2，
2
∴反比例函数解析式为? = ?；
（2）解：如图所示，设直线? = ?−1交 x 轴于 C，
在? = ?−1中，当? = ?−1 = 0时，? = 1，
∴?(1,0)，
∵?△??? = ?△??? + ?△??? = 6，
1
∴ ?? ⋅
1
?
+ ?? ⋅
) = 6，
(−?
2?2?
∴1 × 1 ⋅ ?? +
2
1 × 2?? = 6，
2
∴?? = 4，
∴|?−1| = 4，
∴? = 5或? = −3．
?
【变式 1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数? = ?的图象与一次函数
? = ?? + ?的图象交于点?(−1,6)，?(?,−2)．
求反比例函数、一次函数的表达式；
求 △ ???的面积．
6
【答案】(1)反比例函数的表达式为? = −?，一次函数的表达式为? = −2? + 4
(2)8
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键．
将点?(−1,6)代入可得反比例函数的解析式，再求出点?的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；
设一次函数的图象与?轴的交点为点?，先求出点?的坐标，再根据 △ ???的面积等于 △ ???与 △ ???
的面积之和即可得．
【详解】（1）解：由题意得：将点?(−1,6)代入? = ?
? = −1 × 6 = −6，
?得：
6
所以反比例函数的表达式为? = −?；
? = −
将点?(?,−2)代入? = −6可得： 6 = 3，
?−2
∴?(3,−2)，
−? + ? = 6
将点?(−1,6)，?(3,−2)代入? = ?? + ?得： 3? + ? = −2 ，解得
? = −2
? = 4 ，
所以一次函数的表达式为? = −2? + 4．
（2）解：如图，设一次函数的图象与?轴的交点为点?，
将? = 0代入一次函数? = −2? + 4得：−2? + 4 = 0，解得? = 2，
∴?(2,0)，
∴?? = 2，
由（1）已得：?(−1,6)，?(3,−2)，
∴ △ ???的??边上的高为|6| = 6， △ ???的??边上的高为|−2| = 2，
∴ △ ???的面积为?△??? + ?△???
11
= × 2 × 6 + × 2 × 2 = 8．
2
2
【变式 2】（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系???中，一次函数? = ?? + 4(? ≠ 0)与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于 A，B 两点．已知点 A 和 B 的横坐标分别为 6 和 2．
?
求 a 与 k 的值；
设直线??与 x 轴、y 轴的交点分别为 C，D，求△ ???的面积．
【答案】(1)? = −2，? = 6
(2)16
1
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出 a、k 的值解题的关
键．
（1）把 A、B 横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组
求解即可；
（2）根据（1）所求可得直线??的解析式，则可求出点 C 和点 D 的坐标，坐标可得??，??的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
6? + 4 = ?
6 ，
2? + 4 = ?
2
解得? = −2，? = 6．
1
（2）解：由（1）知直线??对应的一次函数表达式为? = −1? + 4．
2
在? = −1? + 4中，令? = 0，得? = 8，令? = 0，得? = 4，
2
∴?(8,0)，?(0,4)，
∴?? = 8．?? = 4．
∴ △ ???的面积为2?? ⋅ ?? = 2 × 8 × 4 = 16．
1
1
命题点 02 一次函数与几何综合之其他问题
【典例】（2025·山东德州·中考真题）如图，?(−6,0),?(0,8)，点 M 在线段??上，将 △ ???沿直线??折叠，点 B 恰好落在点?′(?,0)处．
求 a 的值；
求直线??的解析式；
(3)若直线? = −? + ?与直线??的交点在直线? = ?的左侧，请直接写出 t 的取值范围．
【答案】(1)? = 4
(2)? = 1? + 3
2
(3)? < 9
【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意得出?? = 6,?? = 8，再由勾股定理及折叠的性质求解即可；
（2）设?? = ?，根据折叠的性质，得?? = ?′? = 8−?，??′ = 4，根据勾股定理确定点 M 的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可．
根据题意作出相应草图，结合图象得出?(4,5)，代入一次函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵?(−6,0),?(0,8)，
∴?? = 6,?? = 8，
∵∠??? = 90°，
∴?? =??2 + ??2 = 10，
∵将△ ???沿直线??折叠，点 B 恰好落在点?′(?,0)处，
∴??′ = ?? = 10，
∴??′ = 10−6 = 4，
∴?′(4,0)，
∴? = 4；
（2）设?? = ?，
根据折叠的性质，得?? = ?′? = 8−?，?? = ??′，由（1）得??′ = 4，
∵?′?2 = ??2 +??′2，
∴(8−?)2 = 42 + ?2，解得? = 3，
故?(0,3)，
设直线??的解析式为? = ?? + 3，
∴−6? + 3 = 0，
1
解得? = 2，
故直线??的解析式为1．
? = 2? + 3
（3）由（1）得：? = 4，
∴直线? = −? + ?与直线??的交点在直线? = 4的左侧，
如图所示：
当? = 4时，? = 1? + 3 = 1 × 4 + 3 = 5，
2
2
∴?(4,5)，
∵直线? = −? + ?与直线??的交点在直线? = ?的左侧，
∴直线? = −? + ?经过点 N 时恰好是临界点，
∴5 = −4 + ?，解得：? = 9，
∴t 的取值范围为? < 9．
【变式 1】（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数?1 = ?? + ?的图象与反比例函数?2 = ?(? > 0)的图
?
象交于点?(6,1)，?(2,?)．
求反比例函数和一次函数的解析式；
?
(2)利用图像，直接写出不等式?? + ? > ?的解集为；
在 x 轴上找一点 C，使△ ???的周长最小，并求出最小值．
【答案】(1)?2
6
= (? > 0)；?1 =
?
−
1
? + 4
2
(2)2 < ? < 6
(3)当点 C 的坐标为(5,0)时， △ ???的周长有最小值，最小值为4 2 +2 5
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）把点 A 坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点 B 坐标代入反比例函数解析式中
求出点 B 坐标，最后把点 A 和点 B 坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；
作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接??，??，??，??，则?(2,−3)，由轴对称的性质可得?? = ??； 由两点距离计算公式可得?? = 2 5，则可推出 △ ???的周长 = ?? + ?? + 2 5，根据?? + ?? ≥ ??，可推 出当 A、C、D 三点共线时，?? + ??有最小值，即此时△ ???的周长有最小值，最小值为?? + 2 5，利用 两点距离计算公式可得?? = 4 2，则△ ???的周长的最小值为4 2 +2 5；求出直线??解析式为? = ?−5，在? = ?−5中，当? = ?−5 = 0时，? = 5，则?(5,0)．
【详解】（1）解：∵反比例函数?2 = ?(? > 0)的图象经过?(6,1)，
?
?
∴1 = 6，
解得? = 6，
∴反比例函数的解析式为?2 = 6(? > 0)；
6
?
在?2 = 6(? > 0)中，当? = 2时，?2
?
∴?(2,3)，
= 2 = 3，
∵一次函数?1 = ?? + ?的图象与反比例函数?2 = ?(? > 0)的图象交于点?(6,1)，?(2,3)，
?
6? + ? = 1
∴ 2? + ? = 3 ，
? = − 1
解得2 ，
? = 4
∴一次函数解析式为?1
= − ? + 4；
1
2
（2）解：由函数图象可知，当一次函数?1 = −1? + 4的图象在反比例函数?2 = 6(? > 0)的 图象上方时自变
2?
量的取值范围为2 < ? < 6，
?
∴不等式?? + ? > ?的解集为2 < ? < 6；
（3）解；如图所示，作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接??，??，??，??，则?(2,−3)，
由轴对称的性质可得?? = ??；
∵?(6,1)，?(2,3)，
∴?? =(2−6)2 + (3−1)2 = 2 5，
∴ △ ???的周长 = ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + 2 5，
∴当?? + ??有最小值时， △ ???的周长有最小值，
∵?? + ?? = ?? + ??，
∴当?? + ??有最小值时， △ ???的周长有最小值，
∵?? + ?? ≥ ??，
∴当 A、C、D 三点共线时，?? + ??有最小值，即此时△ ???的周长有最小值，最小值为?? + 2 5，
∵?(6,1)，?(2,−3)，
∴?? =(2−6)2 + (−3−1)2 = 4 2，
∴ △ ???的周长的最小值为4 2 +2 5；
6? + ? = 1
设直线??解析式为? = ?1? + ?1，则 2? + ? = −3 ，
? = 1
∴ ? = −5 ，
∴直线??解析式为? = ?−5，
在? = ?−5中，当? = ?−5 = 0时，? = 5，
∴?(5,0)；
综上所述，当点 C 的坐标为(5,0)时， △ ???的周长有最小值，最小值为4 2 +2 5．
【变式 2】（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段??的端点为?(2，5)和?(4，1)，直线?：? = ?? + 2−?(? ≠ 0)恒过定点?．
求定点?的坐标；
当直线?和线段??有交点时，求?的取值范围；
若直线?和线段??所在直线交于点?，点?的横坐标为?，请用含?的代数式表示?，并求出当?是正整数时，整数 k 的所有值．
【答案】(1)(1,2)
−
?的取值范围是 1
3
≤ ? ≤ 3
且? ≠ 0
?+7
(3)? = ?+2，整数 k 的值为−1，3
【分析】（1）将函数解析式变形为? = ?(?−1) +2，可得当? = 1时，? = 2，不管?取任何不为 0 的值，均
成立，即可得到定点?的坐标；
（2）将?(2，5)，?(4，1)分别代入直线?，解得? = 3，
11
，即可得到?的取值范围是
且? ≠ 0；
? = −3
− ≤ ? ≤ 3
3
（3）先利用待定系数法求出线段??所在直线的函数解析式为? = −2? + 9，再由点?是直线?和直线??的交
5
点，得到−2? + 9 = ?? + 2−?，整理得到? = 1 + ?+2，进而推出当?是正整数时，? + 2的值可以是 1，5，
即可求解整数 k 的所有值．
【详解】（1）解：∵? = ?? + 2−? = ?(?−1) +2，
当? = 1时，? = 2，不管?取任何不为 0 的值，均成立，
∴定点?的坐标为(1,2)；
（2）解：当直线?经过点?(2，5)时，将?(2，5)代入，得2? + 2−? = 5，解得? = 3，
1
当直线?经过点?(4，1)时，将?(4，1)代入，得4? + 2−? = 1，解得? = −3，
1
∴?的取值范围是−
3
≤ ? ≤ 3且? ≠ 0；
（3）解：设??所在直线的函数解析式为? = ?1? + ?，
将?(2，5)，?(4，1)代入，得 2?1 + ? = 5 ，解得 ?1 = −2 ，
4?1 + ? = 1? = 9
∴线段??所在直线的函数解析式为? = −2? + 9，
∵点?是直线?和直线??的交点，
∴−2? + 9 = ?? + 2−?，
∴? = ?+2 = 1 + ?+2，
当?是正整数时，? + 2的值可以是 1，5，
?+7
5
∴整数 k 的值为−1，3．
命题点 03 一次函数与圆综合
【典例】（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系???中，对于图?上或内部有一点?（不与原点?重合），及平面内一点?，给出如下定义：若点?关于直线??的对称点?′在图?上或内部，则称点?是图?的“映射点”．
如图 1，已知图?1：线段??，?(−1,−1)，?(1,−1)．在?1(−1,0)，?2(1,2)中，是图?1的“映射点”；
如图 2，已知图?2：正方形????，?(−1,−1)，?(1,−1)，?(1,1)，?(−1,1)．若直线：?:? = ? + ?上存在点?是图?2的“映射点”，求?的最大值；
如图 3，已知图?3： ⊙ ?，圆心为?(0,?)，半径为1．若?轴上存在点?是图?3的“映射点”，请直接写出?
的取值范围．
【答案】(1)?1(−1,0)
(2)2
(3)−2 ≤ ? ≤ 2
【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键；
根据定义，观察?1(−1,0)，?2(1,2)，经过??对称后，判断对称点是否在??上，即可求解；
根据正方形的顶点到?的距离为 2，则对称之前的点到原点的距离为 2，进而求得?的最大值，将?
(−1,1)代入? = ? + ?得，1 = −1 + ?，即可求解；
（3）根据新定义，找到临界值，即??′为⊙ ?的切线时的情形，求得?的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图，当?,?重合时，?1关于??的对称点为(0,−1)，在线段??上
∴?1(−1,0)是图?1的“映射点”；
而?2(1,2)关于??的对称点不在??上，则?2(1,2)不是图?1的“映射点”；故答案为：?1(−1,0)．
解：依题意，正方形的顶点到?的距离为 12 + 12 = 2，
∴当?:? = ? + ?上存在点?是图?2的“映射点”，则点?到? = ? + ?的距离为 2
∴当? = ? + ?经过点?时，?的值最大，将?(−1,1)代入? = ? + ?得，1 = −1 + ?
解得：? = 2，
∴?的最大值2；
解：如图，??,??′分别为 ⊙ ?的切线，
当?′为?3的“映射点”，
∴∠?′?? = ∠???，
又∵∠?′?? = ∠??? = 90°−∠???，
设∠??? = ?，则∠??? = 90°−?
∴∠?′?? = ∠??? = 2∠??? = 180°−2?
∴180°−2? = ?
解得：? = 60°
∴∠??? = 60°，∠??? = 30°
∵?? = 1，
∴?? = 2,
当?减小时，?关于?3的“映射点”，在?3即⊙ ?的内部，符合题意，
∴? ≤ 2
当? < 0时，根据对称性可得? ≥ −2
综上所述，−2 ≤ ? ≤ 2．
【变式 1】（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系???中，给出如下定义：点 P 是图形 W 外一点，
??1
点 Q 在??的延长线上，使得?? = 2，如果点 Q 在图形 W 上，则称点 P 是图形 W 的“延长 2 分点”，例如：
3
2
??1
如图 1，?(2,4),?(2,2),? −1,−是线段??外一点，?(2,3)在??的延长线上，且= ，因为点 Q 在线段??
上，所以点 P 是线段??的“延长 2 分点”．
??2
?(2,4)
(2,2)
?5
(−1,−2)
如图 1，已知图形 1：线段??，?
，?
，在 1 − 2 ,−1 ,?2(−1,−1),?3
中，是图
形?1的“延长 2 分点”；
如图 2，已知图形?2：线段??，?(2,2)，?(5,2)，若直线??:? = −? + ?上存在点 P 是图形?2的“延长 2
分点”，求 b 的最小值：
【答案】(1)?2,?3
如图 3，已知图形?3：以?(?,1)为圆心，半径为 1 的⊙ ?，若以?(−1,−2)，?(−1,1)，?(2,1)为顶点的等腰直角三角形???上存在点 P，使得点 P 是图形?3的“延长 2 分点”．请直接写出 t 的取值范围．
−
(2) 7
2
(3)1 ≤ ? ≤ 3或−1− 2 ≤ ? ≤ 2−1
【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；
作??以原点为位似中心，位似比为2∶1的位似图形?′?′，根据直线??:? = −? + ?上存在点 P 是图形?2 的“延长 2 分点”，得到直线??:? = −? + ?与?′?′有交点，进而得到当??:? = −? + ?过点?′时，?值最小，进行求解即可；
作△ ???以原点为位似中心，位似比为1∶2的位似△ ?′?′?′，得到?3与△ ?′?′?′有交点，求出⊙ ?
与?′?′相切以及⊙ ?与?′?′相切，两种情况求出?的临近值，即可得出结果．
【详解】（1）解：作线段??以原点为位似中心，位似比为2∶1的位似图形?′?′，
∵?(2,4)，?(2,2)，
∴?′(−1,−2)，?′(−1,−1)，
∵点?是图形?1的“延长 2 分点”，
∴点?在线段?′?′上，
∵?2(−1,−1),?3(−1,−2)在线段?′?′上，
∴?2,?3是图形?1的“延长 2 分点”；故答案为：?2,?3；
作??以原点为位似中心，位似比为2∶1的位似图形?′?′，如图，
∵?(2,2)，?(5,2)，
2
∴?′(−1,−1)，? − 5 ,−1 ，
∵直线??:? = −? + ?上存在点 P 是图形?2的“延长 2 分点”，
∴直线??:? = −? + ?与?′?′有交点，
∴当??:? = −? + ?过点?′时，?值最小，
57
把? − 2 ,−1 ，代入? = −? + ?，得：? = −2，
7
∴?的最小值为−2；
作△ ???以原点为位似中心，位似比为1∶2的位似△ ?′?′?′，
∵?(−1,−2)，?(−1,1)，?(2,1)，
∴?′(2,4)，?′(2,−2)，?′(−4,−2)，
∵等腰直角三角形???上存在点 P，使得点 P 是图形?3的“延长 2 分点”，
∴当?3与△ ?′?′?′有交点时，满足题意，
当⊙ ?与?′?′相切时，如图，则：? = 1或? = 3，
∴1 ≤ ? ≤ 3时，满足题意；
当⊙ ?与?′?′相切时，且切点为?，连接??，则：∠??? = 90°，
∵ △ ???为等腰直角三角形，
∴ △ ?′?′?′为等腰直角三角形，
∵?(−1,1),?(2,1)，?′(2,−2)，?′(−4,−2)，
∴?? ∥ ?′?′ ∥ ?轴，
∴∠?′?′?′ = 45°，
∵以?(?,1)为圆心，半径为 1 的⊙ ?，
∴?点在直线??上，?? = 1，
∴∠??? = ∠?′?′?′ = 45°，
∴?? = 2?? = 2，
∴? = −1− 2或? = 2−1，
∴−1− 2 ≤ ? ≤ 2−1；
综上：1 ≤ ? ≤ 3或−1− 2 ≤ ? ≤ 2−1．
【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性
强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【变式 3】（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系???中，对于点?，直线?（点?不在?上）和 ⊙ ?，给出如下定义：若点?关于直线?的对称点?′在⊙ ?上，则称点?是⊙ ?关于直线?的映像点，称线段??′的长度为点?与⊙ ?的映像距离．
如图， ⊙ ?的半径为 1，直线?1：? = ? + 2．
3
2
①在点? (−2,2)，?−1,，? (−2,1)中，点是⊙ ?关于直线? 的映像点，该点与 ⊙ ?的映像距离为
1231
；
②点?是⊙ ?关于直线?1的映像点，当点?与⊙ ?的映像距离最大时，点?的坐标为；
已知点?(−2,−1)，?(2,−1)，点?在?轴的正半轴上且 △ ???为等边三角形．点?(?,2)， ⊙ ?的半径为
2
1．若△ ???上存在⊙ ?关于过定点(2,2)的某一条直线的映像点，直接写出?的取值范围．
【答案】(1)①? (−2,1)， 2；②? −2− 2 ,2 +
3
2
2
2
(2)− ≤ ? ≤ 1或3 ≤ ? ≤
7
2
15
2
【分析】（1）①根据新定义，计算判定求解即可；
②根据直径是圆中最大弦，故当点?，?′，?，?′四点共线，且点 B 是直线与⊙ ?′交点中靠近外侧的点，点?与⊙ ?的映像距离最大，求解即可；
（2）根据题意，得?点在以?(2,2)为圆心，以??−2为半径的内圆上或?? + 2为半径的外圆上，当外圆 G 与??
相切时， ⊙ ?最小，此时?? = |?−2|最小，设此时的切点为 H，连接??,??， 解得?? = 1．当内圆 G 过点
1
1
E 时， ⊙ ?最大，此时?? = |?−2|最大，解得?? = 2 ，继而得到1 ≤ ?? ≤ 2 ，继而得到1 ≤ |?−2| ≤ 2 ，然
11
11
11
后分类化简取点绝对值，当?−2 ≥ 0时即? ≥ 2时，得1 ≤ ?−2 ≤ 2 ，解得3 ≤ ? ≤ 2 ；当?−2 1
解得：? > −1，
∴−1 < ? ≤ 2，且? ≠ 0．
?
7．（2026·江西吉安·一模）如图，反比例函数? =
? ≠ 0）的图象经过点?(2,?)和点?(5,?)，直线? = ? + ?
?（
经过点?,?(−1,2)．
求一次函数和反比例函数的表达式．
连接??，??，求 △ ???的面积．
【答案】(1)? = ? + 3，? = 10
?
(2)9
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式；
（1）将点?(−1,2)代入直线解析式可求出?，把?(2,?)代入直线解析式可求出?，再代入? = ?即可求出?；
（2）过点?作?? ⊥ ?轴于点?，交??于点?，利用反比例函数解析式先求出?点坐标，再由?、?、?三点坐
?
标可求出△ ???的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积．
【详解】（1）解：将点?(−1,2)代入直线? = ? + ?，得−1 + ? = 2，
∴ ? = 3，
∴ 一次函数的表达式为? = ? + 3，把?(2,?)代入? = ? + 3，得? = 5，
∴ ?(2,5)，
把?(2,5)代入? = ?，得2 = 5，
∴ ? = 10，
??
∴ 反比例函数的表达式为? = ? ．
10
综上所述：一次函数的表达式为? = ? + 3，反比例函数的表达式为? = ? ．
（2）解：如图，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，交??于点?，
10
∵ 点?(5,?)在反比例函数? = ? 的图象上，
10
∴ ?(5,2)，
∵ ?(−1,2)，
∴ ?? ∥ ?轴，?? = 5−(−1) = 6，
∴ AE ⊥ BC，
∴ ?? = 2，即?? = 3，
∴ ?△??? = 2 × 6 × 3 = 9.
1
中考闯关
1
如图，直线?1:? = ? + 3与直线?2:? = ?? + ?相交于点?(1,?)，则关于 x，y 的方程组
直线?2的表达式分别为（ ）
? = ? + 1
3
? = ?? + ?
的解与
? = 1
A． ? = 2 ；? = −? + 2B．
? = 1
3
? = 4 ；? = −? + 8 3
4
8
33
3
D． ? = 4 ；? = − ? +
3
3
4
? = 1
【答案】D
【分析】求出点?的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
C． ? = 4 ；? = − ? + 2
? = 1
4
∴点? 1, 3 ，
14
1
【详解】解：把点?(1,?)代入?1:? = ? + 3得：? = 1 + 3 = 3，
3
3
48
? + ．
2
故直线? 的表达式为? = −
? = 8 ，
3
3
，解得：
? = − 4
4 = ? + ?
3
0 = 2? + ?
4
将? 1, 3 ，(2,0)代入? = ?? + ?可得
3
? = 1
3
+ ?
? = ? + 1
∴关于 x，y 的方程组 ? = ??的解为 ? = 4 ．
1
∵直线?1:? = ? + 3与直线?2:? = ?? + ?相交于点?(1,?)，
已知?(2,?1),?(5,?2),?(?,?3)是抛物线? = ?2−2??上不同的三个点．若对于0 < ? ≤ 1，都有?1 < ?3 ?，
2
即? < 2 ，
∵? > 0，
5+?
∴5+? > 5，
2
2
∴? ≤ 2；
∵?1 < ?3，如图：
5
∴?+2 < ?，
2
即? > 2 ，
∵? ≤ 1，
?+2
∴?+2 ≤ 3，
2
2
∴? > 2，
3
综上：2 < ? ≤ 2．
3
5
3．在平面直角坐标系中，点?在直线? = −? + 1上运动，将点?绕原点顺时针旋转90°，得到点?′，连接?
2
2
?′，则??′的最小值为（ ）
1
A．2
B． 2
C．
D．1
【答案】D
【分析】利用旋转的性质和勾股定理可得??′ =??2 + ??′2 = 2??，即知要求??′的最小值，即求??的最小值，又由垂线段最短可知??的最小值是原点?到该直线的垂线段长度，最后利用三角形的面积解答即可求解．
【详解】解：如图，
∵点?绕原点?顺时针旋转90°得到点?′，
∴?? = ??′，∠???′ = 90°，
2
∴??′的最小值为 2 × 2 = 1．
2
即??的最小值为 2 ，
2
解得ℎ = 2，
1
1
设斜边上的高（即垂线段长度）为ℎ，由三角形面积公式得2 × 1 × 1 = 2 × 2 × ℎ，
∴??′ =??2 + ??′2 = 2??，
要求??′的最小值，即求??的最小值，
∵点?在直线? = −? + 1上，??的最小值是原点?到该直线的垂线段长度，
∵? = 0时? = 1，? = 0时? = 1，
∴直线? = −? + 1与?轴交于(1,0)，与?轴交于(0,1)，
∴直线与坐标轴围成的直角三角形斜边长为 12 + 12 = 2，
在平面直角坐标系中，△ ???的顶点坐标分别为：?(1,1),?(0,2),?(−2,0)，若直线?:? = ?? + 2?(? ≠ 0)
把△ ???分成面积相等的两部分，则?的值为．
【答案】0.6
【分析】首先，将直线?:? = ?? + 2?，变形得出? = ?(? + 2)，知直线?恒过定点?(−2,0)，然后根据题意得直线?过点(0.5,1.5)，再将此点代入? = ?? + 2?即可得出?的值．
【详解】解：∵直线?:? = ?? + 2?，
∴? = ?(? + 2)，
∴直线?恒过定点?(−2,0)．
∵直线?:? = ?? + 2?，把 △ ???分成面积相等的两部分，
∴直线?过线段??的中点．
∵?(1,1),?(0,2)，
∴直线?过点(0.5,1.5)．
把点(0.5,1.5)代入? = ?? + 2?，得0.5? + 2? = 1.5，解得? = 0.6．
如图，在平面直角坐标系中，点?(−2,3)，点?(1,1)，若将直线1 向上平移 c 个单位长度后与线段??
? = 2?
有交点，则 c 的取值范围是．
【答案】2 ≤ ? ≤ 4
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解
1
题的关键．
先求出平移后的解析式为? = 1? + ?，分别代入 A、B 的坐标，求得对应的 c 的值， 根据函数图象即可解答．
2
【详解】解：把直线? = 1?向上平移 c 个单位长度后得到? = 1? + ?，
2
2
若直线过?(−2,3)，则2 × (−2) +? = 3，解得：? = 4，
1
若直线过?(1,1)，则2 × 1 + ? = 1，解得? = 2，
1
1
∴将直线? = ?向上平移 c 个单位长度后与线段??有交点，则 ≤ ? ≤ 4．
1
1
22
故答案为：2 ≤ ? ≤ 4．
1
如图，一次函数?1
= ?? + ?的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A 和点 B，与反比例函数?2
?
= ? 的图象交于
点 C 和点 D，其中点 A 的坐标为(−2,0)，点 C 的坐标为(1,3)．
分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
求点 D 的坐标，并直接写出当?1 > ?2时 x 的取值范围．
【答案】(1)? = ? + 2，?2 = 3
1
?
(2)?(−3,−1)；−3 < ? < 0或? > 1
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式即可；
（2）由（1）得：反比例函数解析式为?2 = ?，一次函数解析式为?1 = ? + 2，令?1 = ?2求出点 D 的坐标，
结合一次函数和反比例函数的性质求出?1 > ?2时 x 的取值范围．
3
【详解】（1）解： ∵ 反比例函数?2 = ? 过点(1,3)，
∴ ? = 1 × 3 = 3，
?
∴ 反比例函数解析式为?2 = ?；
∵ 一次函数?1 = ?? + ?过点 A，C，点 A 的坐标为(−2,0)，点 C 的坐标为(1,3)，
3
∴
−2?+? = 0
?+? = 3
，
? = 1
解得 ? = 2 ，
∴ 一次函数解析式为?1 = ? + 2；
（2）解：由（1）得：反比例函数解析式为?2 = ?，一次函数解析式为?1 = ? + 2，
3
令? + 2 = ?，
解得：?1 = 1，?2 = −3，
3
∴ ?(−3,−1)，
∴ 当?1 > ?2时，自变量 x 的取值范围是−3 < ? < 0或? > 1．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于?,?
?
两点，与?轴、?轴分别交于点?,?，已知点?的坐标为(−2,4)，点?的坐标为(8,?)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
?
(2)点?是直线??下方反比例函数? = ?图象上一点，当△???的面积为 24 时，求点?的坐标．
【答案】(1)? = −1? + 3；? = −
?
8
2
(2)(2,−4)或(−8,1)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合；
（1）把点?(−2,4)代入? = ?
?，把(8,?)代入反比例函数解析式求出点?的坐标，再将把?和点?的
?即可求出
坐标代入? = ?? + ?即可求出一次函数解析式；
?
（2）设点?的坐标为 ?,− 8
，分类讨论：①当点?在第四象限时，?
△???
= ?
矩形????
−?
△???
−?
△???−
?△???；②当点?在第二象限时，?△??? = ?梯形???? + ?△???−?△???；分别建立方程即可求出点?的坐标．
【详解】（1）解：把点?(−2,4)代入? = ?(? ≠ 0)得4 = ? ，
?−2
∴ ? = −8，
8
∴ 反比例函数的解析式为? = −?，
?
把(8,?)代入? = −8得? = −1，
∴ 点?的坐标为(8,−1)，
−2? + ? = 4
? = − 1
把?(−2,4)和点?(8,−1)代入? = ?? + ?得 8? + ? = −1 ，解得
2
? = 3
1
∴ 一次函数的解析式为? = − ? + 3．
2
综上所述： ∴ 反比例函数的解析式为
81
，一次函数的解析式为．
?
（2）解：设点?的坐标为 ?,− 8 ，
? = −?
? = −2? + 3
∵ ?(−2,4),?(6,0)，
当点?在第四象限时，如图所示：
∵?△??? = ?矩形????−?△???−?△???−?△???
∴?
= 6−(−2) × 4− − 81
1 4 + 8
(? + 2) 18
(6−?) = 24，
2
△???
? −
× 8 × 4−2?
− × ? ×
2
解得：?1 = 2,?2 = −8（不合题意舍去），当点?在第二象限时，如图所示：
∵?△??? = ?梯形???? + ?△???−?△???
∴?△??? = 2 × 4− ? (−?−2) + 2 × 8 × 4−2 × − ? (6−?) = 24，
解得：?3 = −8,?4 = 2（不合题意舍去），
1
8
1
1
8
综上所述，点?的坐标为(2,−4)或(−8,1)．