2026年中考数学二轮复习 查漏补缺02 方程不等式含参与实际应用(专项训练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 查漏补缺02 方程不等式含参与实际应用(专项训练)，共7页。试卷主要包含了一元一次方程标准形式，根的判别式，韦达定理，方案问题，8𝑦 = 56 ，等内容，欢迎下载使用。

考点 01一次方程（组）含参问题
1.一元一次方程标准形式：?? = ?
a ≠ 0，唯一解；a = 0,b ≠ 0，无解；? = 0,? = 0，无数解。
含参核心：先看系数，再分类讨论。
二元一次方程组：同解、错解先联立无参方程，再代入求参。
题型一： 一元一次方程含参求解
先将方程化为ax = b的标准形式，根据一次项系数a是否为 0 分类讨论，确定解的情况；求解后检验解是否符合题意。
忽略一次项系数为 0 的特殊情况；解出参数后未回代检验；符号计算错误。
1．（2025·广东深圳·中考真题）若关于?的方程? + ? = 5的解为? = 1，则? = ．
【答案】4
【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于 a 的方程是解题关键．把? = 1代入关于 x 的方程，得到关于 a 的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于?的方程? + ? = 5的解为? = 1，
∴1 + ? = 5，解得：? = 4，故答案为：4．
2．（2025·四川遂宁·中考真题）已知? = 2是方程3?−2? = 2的解，则? = ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把? = 2代入3?−2? = 2，解得
? = 2，即可作答．
【详解】解：∵? = 2是方程3?−2? = 2的解，
∴把? = 2代入3?−2? = 2，得3?−2 × 2 = 2，
∴3? = 6，
∴? = 2，
故答案为：2
3．（2026·四川南充·一模）若 m，n 互为倒数，且满足?(? + 1) = 3，则 n 的值为（ ）
111
A．2B．4C．−2D．2
【答案】A
【分析】根据倒数的性质得到?? = 1，展开已知等式后代入1求出?的值，再根据倒数定义即可得到?的值．
【详解】解：∵?,?互为倒数，
∴?? = 1，
∵?(? + 1) = 3，
展开等式得?? + ? = 3， 把?? = 1代入得1 + ? = 3，
∴? = 2，
又∵?,?互为倒数，
11
∴ ? = ? = 2．
4．若方程3? + 1 = 4和方程2? + ? = 0的解相同，则? = （ ）
A．1B．2C．−1D．−2
【答案】D
【分析】先求出3? + 1 = 4的解，再代入到2? + ? = 0得到关于 a 的一元一次方程，即可求解．
【详解】解：解3? + 1 = 4得? = 1，将? = 1代入2? + ? = 0，
得2 + ? = 0，解得? = −2．故选 D．
【点睛】本题考查解一元一次方程与一元一次方程的解，正确理解一元一次方程的解是解题的关键．
5．若关于?的方程3? + 6 = 0的解是关于?的方程3? + 3? = 1的解的 2 倍，则? = （ ）
1334
A． 3B．4C．3D．−2
【答案】C
【分析】求出3? + 6 = 0的解为? = −2，即可得到方程3? + 3? = 1的解为? = −1，把? = −1代入方程 3? + 3? = 1中求出 k 的值即可．
【详解】解：3? + 6 = 0，移项得：3? = −6，
系数化为 1 得：? = −2，
∵关于?的方程3? + 6 = 0的解是关于?的方程3? + 3? = 1的解的 2 倍，
∴方程3? + 3? = 1的解为? = −1，
∴−3 + 3? = 1，
4
解得? = 3，
故选 C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，正确求出方程3? + 3? = 1的解为? = −1是解题的关键．
题型二：方程组同解 / 错解问题
同解问题：先联立不含参数的方程求?公共解，再将解代入含参方程求参数；错解问题：将错解代入未看错的方程构建等式求参。
方程代入错误；解与方程对应混乱；计算粗心导致结果错误。
3?−? = 4? + 1
1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于?,?的二元一次方程组 ? + ? = 2?−5 的解满足?−? = 4，则 m 的
值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到?−? = ? + 3，代入?−? = 4，即可解答． 3?−? = 4? + 1①
【详解】解： ? + ? = 2?−5② ，
①−②得2?−2? = 2? + 6，
∴ ?−? = ? + 3，
代入?−? = 4，可得? + 3 = 4，解得? = 1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
? = 2? = 1
2．（2025·贵州铜仁·三模）若关于 x，y 的方程组 ?? + ?? = 1 与 ?? + ?? = −7 有相同的解，则? + ?的
值为（ ）
A．−5B．−1C．3D．−2
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为? = 2和? = 1，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于?和?的方程组，通过加减消元法直接求解? + ?的值．
? = 2
【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为 ? = 1 ，
将? = 2,? = 1代入第一个方程组的?? + ?? = 1，得：2? + ? = 1①，代入第二个方程组的?? + ?? = −7，得：2? + ? = −7②，
将①和②相加：(2? + ?) + (2? + ?) = 1 + (−7)，整理得：3? + 3? = −6，
则? + ? = −2．故选：D．
? + 2? = ? + 1
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于 x、y 的方程组 2? + ? = 2? + 5 ，若? + ? = 4，则 m 的值为
（ ）
510
A．3B．2C．3D． 3
【答案】B
【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得? + ? = ? + 2，结合? + ? = 4，即可求解．
【详解】解：方程组的两个方程相加，得3? + 3? = 3? + 6，
∴? + ? = ? + 2，
∵? + ? = 4，
∴? + 2 = 4，
∴? = 2．故选：B．
3? + ? = 3? = ?
4．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组 2?−? = 2 的解为 ? = ? 则? + ?的值为．
【答案】1
【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．
3? + ? = 3①
【详解】解： 2?−? = 2②
① + ②得，5? = 5，解得? = 1，
将? = 1代入①得，3 + ? = 3，解得? = 0，
? = 1
∴ 该方程组的解为 ? = 0 ，
∴? = 1，? = 0，
∴ ? + ? = 1 + 0 = 1，故答案为：1．
?? + ?? = 2①
? = 1
甲、乙两人共同解方程组 ??−3? = 4② ，甲将①中的?看成了它的相反数解得 ? = −1 ，乙抄错②
? = 2
中的?解得 ? = 4 ，则?−? + ? = ．
【答案】5
【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键．
? = 1
【详解】解：甲将①中的?看成了它的相反数解得 ? = −1 ，则②是正确的，
∴? + ? = 2，且? + 3 = 4，解得? = 1；
? = 2
乙抄错②中的?解得 ? = 4 ，则①是正确的，
即2? + 4? = 2，
∴? + 2? = 1；
? + ? = 2? = 3
联立 ? + 2? = 1 ，解得 ? = −1 ，
∴ ?−? + ? = 3−(−1) +1 = 5，故答案为：5．
考点 02一元二次方程含参问题
一元二次方程定义：只含一个未知数，最高次数为 2，二次项系数≠0。
2.根的判别式：Δ = b2−4ac，用于判断实数根的个数。
c
3.韦达定理：x + x = −b，x x = 。
12a1 2a
含参热点：整数根、公共根、定根、有实根求参数范围。
题型三：一元二次方程含参问题
满足两个条件：①二次项系数≠0；②Δ ≥ 0，联立不等式组求解参数范围。
忘记二次项系数≠0；Δ计算错误；不等号方向写错。
1．（2025·四川雅安·中考真题）关于 x 的一元二次方程(?−3)?2 +6? + 3 = 0有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ）
? > 6B．? ≤ 6且? ≠ 3C．? ≥ 6D．? < 6且? ≠ 3
【答案】B
【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为 0，且根的判别式Δ ≥ 0，据此列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程(?−3)?2 +6? + 3 = 0有两个实数根，
Δ = 62−4 ⋅ (?−3) ⋅ 3 ≥ 0
∴?−3 ≠ 0，
∴? ≤ 6且? ≠ 3．
已知关于 x 的一元二次方程 mx2﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能为（）
A．1B．0C．﹣1D．2
【答案】C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果．
【详解】解：由条件可知 m≠0 且Δ＞0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4•m•1＝4﹣4m，
∴4﹣4m＞0，解得：m＜1，综上，m＜1 且 m≠0，
只有 C 选项符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2024·江苏淮安·中考真题）若关于 x 的一元二次方程?2−4? + ? = 0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．? ≥ 4B．? > 4C．? ≤ 4D．? < 4
【答案】D
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到Δ > 0，进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程?2−4? + ? = 0有两个不相等的实数根，
∴Δ = (−4)2−4? > 0，解得：? < 4；
故选 D．
4．（2025·四川巴中·中考真题）关于 x 的一元二次方程?2−4? + ? = 0有两个相等的实根，则? = ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程?2−4? + ? = 0有两个相等的实根，可得Δ = 0，即可解答，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解： ∵ 关于 x 的一元二次方程?2−4? + ? = 0有两个相等的实根，
∴ Δ = ?2−4?? = (−4)2−4? = 0，解得? = 4，
故答案为：4．
5．（2025·江苏镇江·中考真题）关于?的一元二次方程?2 +?? + 1 = 0有两个相等的实数根，则? =
．
【答案】 ± 2
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的
Δ = 0，据此计算解答即可．
【详解】解：∵关于?的一元二次方程?2 +?? + 1 = 0有两个相等的实数根，
∴Δ = 0，
即?2−4 × 1 × 1 = 0，解得：? =± 2．
故答案为： ± 2．
题型四：根与系数的关系（韦达定理）含参
先保证方程是一元二次方程，满足二次项系数不为 0、有实数根优先算 Δ≥0；再直接套用韦达定理公式，表示?两根和、两根积；整体代入代数式变形求值，最后回代检验参数合规。
忘记先判 Δ≥0，直接乱用韦达定理；记错两根和、两根积符号；忽略二次项系数不为 0；代数式不会整体变形代入。
1．（2026·安徽淮南·一模）关于?的一元二次方程3?2 +2?−? = 0有两实数根，其中一根为? = 1，则这两根之积为（ ）
1252
−3B．−3C．−3D．3
【答案】C
【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，先将已知根代入方程求出参数?的值，再由根与系数的关系计算两根之积即可得到答案．
【详解】解：∵? = 1是一元二次方程3?2 +2?−? = 0的根，
∴将? = 1代入方程得3 × 12 +2 × 1−? = 0，解得? = 5，
∴ 关于?的一元二次方程为3?2 +2?−5 = 0，
?−55
∴两根之积为? = 3 = −3．
2．（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程?2 +?? + ?−1 = 0的两根之积为2? + 2，则?的值为
（ ）．
12
−2B．−3C．−3D．−3
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的表达式，结合题干给出的条件列方程求解?，再验证方程有实根即可得到结果．
【详解】解：?2 +?? + ?−1 = 0，
由一元二次方程根与系数的关系可得，?1?2 = ?−1，
∵两根之积为2? + 2，
∴?−1 = 2? + 2，解得? = −3，
∴原方程为?2−3?−4 = 0，
解得?1 = −1，?2 = 4，符合题意，
∴? = −3．
3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程?2−?−2 = 0的两个根是?1和?2，则?2? + ? ?2的值为（ ）
1 21 2
−1B．1C．−2D．2
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：
??
一元二次方程的两个根为?1和?2，则?1 + ?2 = −?，?1?2 = ?．
【详解】解：∵?1和?2是方程?2−?−2 = 0的两个根，
∴?1 + ?2 = 1，?1?2 = −2，
∴?2?2 + ?1?2 = ?1?2(?1 + ?2) = −2 × 1 = −2，
12
故选：C
4．（2026·江苏南京·模拟预测）设?1，?2是方程?2−4? + ? = 0的两个根，且?1−2?1?2 + ?2 = 0，则? =
．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系得出关于?的一元一次方程，即可求解．
【详解】解：∵?1，?2是方程?2−4? + ? = 0的两个根，则?1 + ?2 = 4，?1?2 = ?，
∴?1−2?1?2 + ?2 = 4−2? = 0，解得：? = 2．
5．（2026·四川南充·一模）已知关于 x 的一元二次方程?2−??−1 = 0．
求证：方程必有两个不相等的实数根；
已知实数 m，n 满足?2−?? = 1，4?2−2?? = 1，且? ≠ 2?，求??的值．
1
【答案】(1)证明见解析(2)?? = −2
【分析】（1）求出Δ = ?2 +4，根据判别式说明根的情况；
（2）得出 m 和2?是方程?2−??−1 = 0的两个根，且? ≠ 2?，根据根与系数关系得出结论．
【详解】（1）证明：由题意可得：Δ = (−?)2−4 × 1 × (−1) = ?2 +4，
∵ ?2 ≥ 0，
∴ ?2 +4 > 0，即Δ > 0．
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由?2−?? = 1得?2−??−1 = 0，由4?2−2?? = 1得，(2?)2−? ⋅ (2?)−1 = 0．
∴ m 和2?是方程?2−??−1 = 0的两个根，且? ≠ 2?．由根与系数的关系得? ⋅ (2?) = −1．
1
∴ ?? = −2．
考点 03分式方程含参问题
分式方程含参核心：先正常去分母化成整式方程，再讨论参数。
两大硬性条件：①整式方程解“不能让分母为 0”（不是增根）；②根据题意判断有解、无解、正数解。
常见考法：分式方程有解、无解、解为正数/负数、整数解含参求值。
隐形陷阱：参数算完，一定要回头检验会不会产生增根。
题型五：分式方程含参：有解、无解、正负解
第一步：去分母，把分式方程化成整式方程；第二步：分类讨论参数取值；第三步：强制排除增根，保证分母不为 0；第四步：结合题目要求（有解/无解/正数解）锁定参数范围，规范写答案。
只看整式方程，忘记排除增根；正负解题目漏掉不等号限制；参数算?来不回代检验；分母为 0 的情况直接忽略，中考直接扣分。
???
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于?的分式方程1−? + ?−1 = 2无解，那么实数?的值是（ ）
A．? = 1B．? = −1C．? = 1或? = −1D．? ≠ 1且? ≠ −1
【答案】C
【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的 m 值即可．
【详解】解：方程去分母，得：??−? = 2(1−?)，整理，得：(? + 1)? = 2；
∵原方程无解，
∴①整式方程无解，则：? + 1 = 0，解得：? = −1；
②分式方程有增根，则：?−1 = 0，解得：? = 1；
把? = 1代入(? + 1)? = 2，得：? + 1 = 2，解得：? = 1；综上：? = 1或? = −1
故选 C．
?+?2?
2．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于?的分式方程?−4−4−? = 3解为负数，则?的值为（ ）
44
A．? < −4B．? > −4C．? < −4且? ≠ −3D．? > −4且? ≠ −3
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于?的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定?的范围．
?+?2?
【详解】解：?−4−4−? = 3，
?+3?
得?−4 = 3，
得? + 3? = 3?−12，
解得：? =
3?+12
2 ，
3?+12
根据题意，解? =
2< 0，
即3? + 12 < 0，解得：? < −4，
∵ 分母?−4 ≠ 0，即? ≠ 4，
3?+12
即 2≠ 4，
4
解得：? ≠ −3，
∴ ? < −4，故选：A．
?+?
4?
3．（2026·四川达州·一模）关于 x 的方程?−2 + 2−? = 3解为非负数，则?的取值范围是（ ）
A．? ≤ 2B．? ≥ 2
22
C．? ≤ 2且? ≠ 3D．? ≥ 2且? ≠ −3
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到?关于?的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为0，列不等式求解得到?的取值范围．
?+?4?
【详解】解：原方程可变形为?−2−?−2 = 3，
方程两边同乘(?−2)去分母得：? + ?−4? = 3(?−2)，整理得，?−3? = 3?−6，
移项合并得，2? = 6−3?，
解得：? =
6−3?
2 ，
∵方程的解为非负数，且分式分母不为0，
6−3?
6−3?
2
2
≥ 0
∴
≠ 2 ，
6−3?
解不等式 2≥ 0得，? ≤ 2，
6−3?2
解不等式 2≠ 2得，? ≠ 3，
2
∴?的取值范围是? ≤ 2且? ≠ 3．
??
4．（2025·陕西延安·一模）解关于 x 的分式方程5 + ?−2 = 2−?，若该分式方程产生增根，则 m 的值为（ ）
A．0B．−2C．2D．2 或−2
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解?的值．
先确定分式方程的分母为?−2和2−?，令分母为零得增根? = 2；再将分式方程两边同乘最简公分母?−2化为整式方程；最后把增根? = 2代入整式方程，计算得出?的值，进而判断选项．
??
【详解】解：分式方程5 + ?−2 = 2−?的分母为?−2和2−? = −(?−2)，
令分母为零，得增根? = 2．
方程两边同乘?−2去分母，得：5(?−2) + ? = −?．将增根? = 2代入整式方程：5 × (2−2) + 2 = −?，即0 + 2 = −?，解得? = −2．
故选：B．
12?
5．（2025·江苏南京·中考真题）已知? = 2是方程?−? + ?−? = 1的解，则?的值是．
【答案】−1
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把? = 2代入解得?的值即可．
【详解】解：原方程去分母得：1−2? = ?−?，
∵ ? = 2是该方程的解，
∴ 1−2? = 2−?，解得：? = −1，
当? = 2,? = −1时，原分式方程有意义，故答案为：−1．
考点 04不等式（组）含参问题
不等式性质：两边乘除负数，不等号方向必须改变。
不等式组解集：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。
热点考法：有解、无解、整数解求参数范围。
题型六：不等式含参问题
先化简不等式，未知数系数含参时，按正、负、0 三类讨论；注意乘除负数时不等号变向。
系数为负时未变号；分类讨论不全面；解集书写不规范。
3
1．（2025·广东广州·一模）关于?的不等式解集在数轴上表示如图，设? = ? +1，则?的取值范围是（ ）
A．0 < ? ≤ 4B．0 ≤ ? ≤ 4C．? < 0或? ≥ 4D．? ≤ 0或? ≥ 4
【答案】C
3
【分析】根据不等式的解集和分式有意义的条件分段讨论，分别求出? +1的取值范围即可．
【详解】解：由数轴可知关于?的不等式解集为−3 < ? ≤ 1，
3
∵?中? ≠ 0，
∴分段讨论：
11
①当−3 < ? < 0时，? < −3，
3
∴? < −1，
3
∴? +1 < 0，即? < 0；
1
②当0 < ? ≤ 1时，? ≥ 1，
3
∴? ≥ 3，
3
∴? +1 ≥ 4，即? ≥ 4，
综上，?的取值范围是? < 0或? ≥ 4．
1
2．（2024•河北二模）m 的 3 倍与−
2
m+1 的差不大于 13，则 m 的值可能为（）
A．9B．6C．5D．3
【答案】D
【分析】根据文字表述得到题中存在的关系为：3m﹣（
1
−? +
2
1）≤13，解不等式即可．
【详解】解：根据题意，得 3m﹣（解得 m≤4，
故选：D．
1
−? +
2
1）≤13，
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．
1
若关于 x 的不等式 mx﹣n＞0 的解集是 x＜
5
，则关于 x 的不等式（m+n）x＞n﹣m 的解集是（）
2
A．?＞−
3
2
B．?＜−
3
2
C．?＜
3
2
D．?＞
3
【答案】B
【分析】根据已知不等式的解集确定出 m 与 n 的关系式，代入所求不等式计算即可求出解集．
【详解】解：关于 x 的不等式 mx﹣n＞0，移项得：mx＞n，
由已知解集为 x＜1，得到 m＜0，
5
?
即 x＜ ，
?
∴ ? = 1，即 m＝5n（m≠0，n≠0），
?5
代入不等式（m+n）x＞n﹣m 得：
6nx＞﹣4n（n＜0），整理得：6x＜﹣4，
解得：x
2
＜− ．
3
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
若关于 x 的不等式 2﹣m﹣x＞0 的正整数解共有 3 个，则 m 的取值范围是（）
A．﹣1≤m＜0B．﹣1＜m≤0C．﹣2≤m＜﹣1D．﹣2＜m≤﹣1
【答案】C
【分析】首先解关于 x 的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有 3 个正整数解，即可得到一个关于 m 的不等式组解得 m 的范围．
【详解】解：解不等式 2﹣m﹣x＞0 得：x＜2﹣m，根据题意得：3＜2﹣m≤4，
解得：﹣2≤m＜﹣1．故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据 x 的取值范围正确确定 2﹣m 的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．
1
5．（2024·江苏无锡·三模）已知关于 x 的不等式(? + 2)? < 1的解集为? > ?+2，则 a 的取值范围为．
【答案】? < −2
1
【分析】根据不等式的基本性质，由不等式(? + 2)? < 1的解集为? > ?+2，可得：? + 2 < 0，据此求出 a
的取值范围即可．
?+2
【详解】解：∵不等式(? + 2)? < 1的解集为? > 1
∴? + 2 < 0
∴a 的取值范围为：? < −2
故答案为：? < −2．
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键．
题型七：不等式组含参问题
先解?已知不等式，再借助数轴判断参数范围，重点确定端点是否取等号，最后写?整数解。
端点等号判断错误；整数解漏找；数轴方向画反。
2?−1 < 5
1．（2024·四川南充·中考真题）若关于 x 的不等式组 ? < ? + 1 的解集为? < 3，则 m 的取值范围是（ ）
A．m>2B．? ≥ 2C．? < 2D．? ≤ 2
【答案】B
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．
2?−1 < 5? < 3
【详解】解：解 ? < ? + 1 ，得： ? < ? + 1 ，
∵不等式组的解集为：? < 3，
∴? + 1 ≥ 3，
∴? ≥ 2；故选 B．
若关于 x 的不等式组
− 1 (?−?) > 0
2
?−1 ≥ 2?+1
3
无解，则?的取值范围是（ ）
A．? ≥ 4B．? ≤ 4C．? > 4D．? < 4
【答案】B
【分析】此题主要考查不等式组无解的情况，解题的关键是熟知不等式组的解集．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解．
− 1 (?−?) > 0①
2
【详解】解：
?−1 ≥ 2?+1 ②
3
解不等式①得：? < ?
解不等式②得：? ≥ 4
∵该不等式组无解，
∴? ≤ 4，
故选：B．
? ≥ ?
若关于?的不等式组 ? < −3 有解，则（ ）
? ≥ −3B．? > −3C．? ≤ −3D．? < −3
【答案】D
【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解．
? ≥ ?
【详解】解：关于?的不等式组 ? < −3 有解，
∴? < −3，故选：D ．
2?−1 > 5
4．（2025·河北·一模）若关于 x 的不等式组 ? < ? + 1 的整数解是 4 和 5，则 m 的取值范围是（）
A．5 < ? ≤ 6B．3 < ? < 6C．4 ≤ ? < 5D．4 < ? ≤ 5
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次
2?−1 > 5
不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组 ? < ? + 1 的整数解是 4 和 5，即可
得到?的取值范围．
2?−1 > 5①
【详解】解： ? < ? + 1② ，
解不等式①，得：? > 3，
2?−1 > 5
∵不等式组 ? < ? + 1 的整数解是 4 和 5，
∴ 5 < ? + 1 ≤ 6，解得4 < ? ≤ 5，故选：D．
?−? > 3
5．若关于?的不等式组 ?−3? > 0
的解集为−1 < ? < 1，则(? + ?)2025 = ．
【答案】−1
【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，根据不等式组的解集求出?,?的值是解题的关键．
首先求出含有?和?的不等式组解集，再根据不等式组的解集为−1 < ? < 1，求出?和?的值，即可得解．
?−? > 3?
【详解】解：解关于?的不等式组 ?−3? > 0 得3 + ? < ? < 3，
?−? > 3
∵ 关于?的不等式组 ?−3? > 0 的解集为−1 < ? < 1，
?
∴ 3 + ? = −1,3 = 1，
∴ ? = −4,? = 3，
∴ (? + ?)2025 = (−4 + 3)2025 = −1，
故答案为：−1．
考点 04方程不等式实际应用问题
方程应用：找等量关系列式，注意检验合理性。
不等式应用：找至少、至多、不超过、不少于等不等关系。
3.分式方程必须双重检验（增根 + 实际意义）。
4.方案问题：先求范围，再取整数方案，确定最优。
题型八：方程（组）实际应用问题
认真审题圈画关键词，根据和、差、倍、分、配套、总和相等等等量关系设未知数，列二元一次方程组；求解后验证是否符合实际，规范作答。
单位不统一；设未知数不写文字；结果为负、小数等不合实际；作答不完整。
1．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若 2
个人共用 1 个盘子，则少 2 个盘子；若 3 个人共用 1 个盘子，则多出来 3 个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
【答案】客人共有 30 位，盘子共有 13 个．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有 x 位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设共有 x 位客人．
11
依题意，得2?−2 = 3? + 3，解得? = 30，
11
所以2?−2 = 2 × 30−2 = 13．
答：客人共有 30 位，盘子共有 13 个．
2．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图 1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图 2 为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长∶榫头长 = 7∶3，榫头长∶榫头宽 = 3∶1，榫身宽∶榫头宽 = 3∶1，榫身长与榫头长之和为20cm，求此面的表面积．
【答案】96cm2
【分析】设榫头长为?cm，则榫身长为
7
3 ? cm，根据榫身长与榫头长之和为20cm求出?的值，进而根据比
例关系求出各边长，再利用长方形的面积公式求解即可．
【详解】解：设榫头长为?cm，
∵ 榫身长∶榫头长 = 7∶3，
∴ 榫身长为
7
3 ? cm，
∵ 榫身长与榫头长之和为20cm，
7
∴ 3? + ? = 20，
解得? = 6，
∴ 榫头长为6cm，则榫身长为14cm，
∵ 榫头长∶榫头宽 = 3∶1，
6
∴ 榫头宽为3 = 2cm，
∵ 榫身宽∶榫头宽 = 3∶1，
∴ 榫身宽为2 × 3 = 6cm，
∴ 此面的表面积为：14 × 6 + 6 × 2 = 96cm2．
3．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A 饮料“满三免一”（即每买 3 杯只需付 2 杯的钱）， B 饮料满 5 杯按 8 折销售．小丽买了 A，B 饮料各 1 杯，用了20元；小明买了 3 杯 A 饮料和 5 杯 B 饮料，用了56元．A，B 两种饮料每杯分别是多少元？
【答案】A 饮料每杯12元，B 饮料每杯 8 元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯?饮料?元，每杯?饮料?元，根据“小丽买了?，?饮料各 1 杯，用了20元；小明买了 3 杯?饮料和 5 杯
?饮料，用了56元”，可列出关于?，?的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每杯?饮料?元，每杯?饮料?元，
? + ? = 20
根据题意得： 2? + 5 × 0.8? = 56 ，
? = 12
解得： ? = 8 ．
答：每杯?饮料12元，每杯?饮料 8 元．
4．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人
2? + ? = 11
用算筹表示一次方程组．例如，算筹图 1 表示的方程组为 3? + 2? = 7 ，图中省略了未知数 x 和 y，各行
从左到右用算筹依次表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项．请写出算筹图 2 所表示的方程组，并求出该方程组的解．
2? + 3? = 13? = 2
【答案】 ? + 2? = 8 ， ? = 3
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图 2 所表示的方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得方程组
2? + 3? = 13,①
? + 2? = 8.②
② × 2，得2? + 4? = 16③
③−①，得? = 3．把? = 3代入②，得
? + 6 = 8，
? = 2．
? = 2,
∴这个方程组的解是 ? = 3.
5．（2026·吉林白山·模拟预测）列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二 问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷 7 捆，若从总实重中减去 1 斗，再加上 2 捆下等禾
谷，则总重为 10 斗；另有下等禾谷 8 捆，若从总实重中加上 1 斗，再加上 2 捆上等禾谷，则总重也为 10
斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？
3541
【答案】上等禾谷每捆重26斗，下等禾谷每捆重52斗
【详解】解：设：上等禾谷每捆重 x 斗，下等禾谷每捆重 y 斗．
(7?−1) + 2? = 10
根据题意得： 2? +(8? + 1) = 10 ，
? = 35
26
解得：
? = 41
52
3541
答：上等禾谷每捆重26斗，下等禾谷每捆重52斗．
题型九：分式方程实际应用问题
精准梳理工程效率、行程速度、商品单价数量三类核心等量关系，规范列?分式方程；严格按照解题步骤求解，做完必须执行双重检验，先检验是不是增根，再检验数值是否贴合生活实际场景，确认无误后规范写全答句。
中考头号扣分点：解题结束**直接忘检验增根**；忽略分式天然限制条件分母不能为 0；算?负数、小数等不符合实际场景的结果不舍去；题目前后单位不统一直接列式计算。
1．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含 a 的代数式表示）
(2)若要采摘 4000 千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比 4 个工人同时采摘所需的天数还少 1 天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的 5 倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】(1)0.7?元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．
【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；
根据人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%，再列代数式即可；
设一个工人每天采摘该种水果?千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5?千克；根据要采摘 4000
千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比 4 个工人同时采摘所需的天数还少 1 天，再建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为 a 元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．
∴用智能机器人采摘的成本是(1−30%)? = 0.7?（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果?千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5?千克；
4000
∴ 5? =
4000
4? −1，
解得：? = 200，
经检验? = 200是原方程的解且符合题意；
∴5? = 1000（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．
2．（2025·云南·中考真题）某化工厂采用机器人?，机器人?搬运化工原料，机器人?比机器人?每小时少搬运 20 千克，机器人?搬运 800 千克所用时间与机器人?搬运 1000 千克所用时间相等．求机器人?，机器人
?每小时分别搬运多少千克化工原料．
【答案】机器人 A 每小时搬运 80 千克化工原料，机器人 B 每小时搬运 100 千克化工原料
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人 A 每小时搬运 x 千克化工原料，则机器人 B 每小时搬运(? + 20)千克化工原料，根据机器人?搬运 800 千克所用时间与机器人?搬运 1000 千克所用时间相等建立方程求解即可．
【详解】解；设机器人 A 每小时搬运 x 千克化工原料，则机器人 B 每小时搬运(? + 20)千克化工原料，
8001000
由题意得， ? = ?+20，
解得? = 80，
经检验，? = 80是原方程的解，且符合题意，
∴? + 20 = 100，
答；机器人 A 每小时搬运 80 千克化工原料，机器人 B 每小时搬运 100 千克化工原料．
3．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某景区美术实践基地写生．已知共有 200 名师生参加了最近一次活动．
一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的 1.25 倍，求大巴车的速度；
该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人 10 元，成人每人 30 元．如果购买门票的费用共计
2200 元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
【答案】(1)80 (2)190
【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程．
设大巴车的速度为?千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解；
设参加本次活动的学生人数是 y 人，根据门票费用的等量关系列出方程求解．
【详解】（1）设大巴车的速度为?千米/小时，则中巴车速度为1.25?千米/小时．
240240
根据题意，可列方程： ? −1.25? = 0.6，
解得? = 80．
经检验，? = 80是原方程的解，且符合题意．答：大巴车的速度是 80 千米/小时．
（2）设参加本次活动的学生人数是?人，则成人人数为(200−?)人，根据题意，可列方程：10? + 30(200−?) = 2200，
解得? = 190．
答：参加本次活动的学生人数是 190 人． 4．（2026·重庆·模拟预测）列方程解下列问题：
重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的 7 倍多 14 项，比大项目数量的 8 倍少 10 项．
(1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？
(2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有 120 人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了 56 人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了 4 支，平均每支队伍的人数增了10%，求第十五届有多少支参赛队伍？
【答案】(1)大项目有 24 个，小项目有 182 个．
(2)第十五届有 16 支参赛队伍．
【分析】（1）设大项目的数量为?个根据题意列方程求解即可；
（2）设第十四届有?支参赛队伍，根据题意列分式方程求解即可，注意要验根．
【详解】（1）解：设大项目的数量为?个，根据题意得7? + 14 = 8?−10，
解得? = 24，
则7? + 14 = 7 × 24 + 14 = 182，
答：大项目有 24 个，小项目有 182 个．
（2）解：设第十四届有?支参赛队伍．
(1 + 10%)
176120
根据题意得=×，
?+4?
176
化简得?+4 =
132
? ，
176? = 132? + 528，移项并求解?： 176?−132? = 528，
44? = 528，
? =
528
44 ，
? = 12，
经检验，? = 12是分式方程的根，
? + 4 = 12 + 4 = 16，
答：第十五届有 16 支参赛队伍．
5．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为 2100
件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的 1.5 倍．先由甲、乙两个车间共同完成 1500 件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用 10 天完成这批订单．
(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
(2)首批订单完成后，公司将继续生产 30 天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的
天数不多于乙车间的 2 倍，要使这 30 天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
【答案】(1)甲车间每天能生产180件产品乙车；间每天能生产120件产品
(2)安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设乙车间每天能生产?件产品，则甲车间每天能生产1.5?件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用 10 天完成这批订单”建立分式方程求解；
设安排甲车间生产?天，则乙车间生产(30−?)天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的 2倍”得到关于?的一元一次不等式，再设生产总量为?，建立?关于?的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设乙车间每天能生产?件产品，则甲车间每天能生产1.5?件产品，
1500
由题意得：?+1.5? +
解得：? = 120，
2100−1500
?= 10，
经检验：? = 120是原方程的解，且符合题意，则1.5 × 120 = 180（件），
答：甲车间每天能生产180件产品，乙车间每天能生产120件产品
（2）解：设安排甲车间生产?天，则乙车间生产(30−?)天，由题意得：? ≤ 2(30−?)，
解得：? ≤ 20，
设生产总量为?，由题意得：
? = 180? + 120(30−?) = 60? + 3600，
∵? > 0，
∴?随着?的增大而增大，
∴当? = 20时，?最大，即这 30 天的生产总量最大，
∴30−? = 30−20 = 10，
∴安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天．
题型十：一元二次方程实际应用问题
识别增长率、面积、利润、传染等模型，套用公式列方程；解方程后对根合理取舍，舍去负数、超范围等不符合题意的根，按要求作答。
增长率公式用反；根的取舍错误；面积问题边长为负不舍去；计算错误。
1．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司 2023 年机器人项目营业收入为 4800 万元，经过连续两年的增长，2025 年机器人项目营业收入达到 8112 万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率．
【答案】30%
【分析】由平均增长率问题列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为?，根据题意得4800(1 + ?)2 = 8112，
解得?1 = 0.3，?2 = −2.3（负值，舍去），
∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为0.3 = 30%，答：该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为30%．
2．（2026·辽宁·一模）2025 年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化 IP 便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话
题．随着“哪吒”IP 的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为 10 元/个的哪吒钥匙扣以 20 元/个的售价出售，平均每天能售出 50 个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售
价每上涨 2 元，其每天的销售量就减少 4 个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为 600 元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？
【答案】这种钥匙扣的售价应定为 30 元/个或 25 元/个
【分析】通过设钥匙扣的售价应定为 x 元/个，建立利润与销售量的一元二次方程，求解符合条件的售价．
?−20
2
【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为 x 元/个，
根据题意，得：(?−10)50−4 ×
解得：?1 = 30，?2 = 25，
= 600，
∴这种钥匙扣的售价应定为 30 元/个或 25 元/个．
3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25 m）．
(1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？
(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？
【答案】(1)三边长分别为10m,15m,15m
(2)三边长分别为20m,10m,10m
【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键．
设垂直于墙的一边长?m，根据矩形围栏的面积为150m2列出方程，解方程并选取合适的解即可；
设矩形围栏的面积为?．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长?m，则?(40−2?) = 150
解得：?1 = 5、?2 = 15，
当? = 5时，40−2? = 30 > 25（不符合题意，舍去）当? = 15时，40−2? = 10 < 25（符合题意）
∴ 三边长分别为：10m、15m、15m．
（2）解：设矩形围栏的面积为?．
则有? = ?(40−2?) = −2(?−10)2 +200
当? = 10时．?有最大值? = 200
当? = 10时，40−2? = 20 < 25（符合题意）
∴ 三边长分别为：20m、10m、10m．
4．（2026·湖南娄底·一模）2026 年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业 2023 年总产值约为 256 亿元，2025 年总产值约为 400 亿元．
(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；
(2)该市 2026 年机器人产业总产值的目标是 600 亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？
【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为25%；
(2)不能实现目标．
【分析】（1）设年平均增长率为 x，根据 2023 年总产值约为 256 亿元，2025 年总产值约为 400 亿元．列
出方程求解，并取符合实际的值即可；
（2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市 2026 年机器人产业总产值，比较即可解答．
【详解】（1）解：设年平均增长率为 x，根据题意得，256(1 + ?)2 = 400，
19
解得? = 4 = 25%或? = −4（舍去），
答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为25%；
（2）解：按照这个年平均增长率增长，该市 2026 年机器人产业总产值为400 × (1 + 25%) = 500（亿元）
< 600亿元，
答：不能实现目标．
5．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022 年甲、乙两种商品每件的进价均为 125
元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降 25 元，乙种商品 2024 年每件的进价为 80
元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024 年该超市用不超过 7800 元的资金一次购进甲、乙两种商品共 100 件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为20%
(2)最少购进甲种商品 40 件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
设乙种商品每件进价的年平均下降率为 x，根据乙商品 2022 年的进价为 125 元，经过两次降价后， 2024 年的进价为 80 元列出方程求解即可；
设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品(100−?)件，根据购买资金不超过 7800 元列出不等式求出
m 的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为 x，由题意得，125(1−?)2 = 80，
解得? = 0.2 = 20%或? = 1.8（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）解：设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品(100−?)件，由题意得，(125−25 × 2)? + 80(100−?) ≤ 7800，
∴75? + 8000−80? ≤ 7800，解得? ≥ 40，
∴m 的最小值为 40，即最少购进甲种商品 40 件，答：最少购进甲种商品 40 件．
题型十一： 不等式（组）实际应用与方案选择
找准 “至少、至多、不超过、不少于” 等不等关系列不等式（组）；解?解集后取整数解确定方案，逐一列举并比较最优方案。
不等号方向错误；端点值是否取等判断失误；整数解漏找；方案列举不全。
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买 4 盏甲型
节能灯和 5 盏乙型节能灯需要 64 元；若购买 6 盏甲型节能灯和 2 盏乙型节能灯需要 52 元．
(1)求 1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共 50 盏，总费用不超过 360 元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【答案】(1)甲型 6 元，乙型 8 元
(2)20 盏
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设 1 盏甲型节能灯的售价是 x 元，1 盏乙型节能灯的售价是 y 元，根据购买 4 盏甲型节能灯和 5 盏乙型节能灯，共花费 64 元；购买 6 盏甲型节能灯和 2 盏乙型节能灯，共花费 52 元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
设这个工厂要购买甲型节能灯 m 盏，则购买乙型节能灯(50−?)盏，根据购买资金不超过 360 元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设 1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯的售价分别为?元、?元，由题意，得
4? + 5? = 64
6? + 2? = 52 ，
? = 6
解得 ? = 8 ，
答：1 盏甲型节能灯和 1 盏乙型节能灯的售价分别为 6 元和 8 元．
（2）解：设购买?盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯(50−?)盏，由题意，得
6? + 8(50−?) ≤ 360
解得，? ≥ 20，
答：该工厂最少可以购买 20 盏甲型节能灯．
2．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用 A，B 两款材料包，购买 3 份 A
款材料包和 2 份 B 款材料包需 84 元，购买 2 份 A 款材料包和 3 份 B 款材料包需 86 元．
(1)问购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各需多少元？
(2)该社团打算购买 A，B 两款材料包共 50 份，总费用不超过 830 元，则至少购买 A 款材料包多少份？
【答案】(1)购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各需16元和18元
(2)至少购买 A 款材料包35份
【分析】（1）设购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各是?元和?元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设购买 A 款材料包?份，根据题意列出不等式求解即可．
本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式．
【详解】（1）解：设购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各需?元和?元，
3? + 2? = 84? = 16
则 2? + 3? = 86 ，解得 ? = 18 ，
答：购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各需16元和18元．
（2）解：设购买 A 款材料包?份，
16? + 18(50−?) ≤ 830，解得? ≥ 35，
∵a 为整数，
∴a 最小为35，
答：至少购买 A 款材料包35份．
3．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买?、?两款机器人．已知?款机器人的单价比?款机器人的单价多 1 万元，用 25 万元购买?款机器人的数量与用 20 万元购买?款机器人的数量相同．
(1)求?、?两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买?、?两款机器人共 12 台，且购买?款机器人的数量不少于?款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
【答案】(1)?款机器人的单价为 5 万元，?款机器人的单价为 4 万元
(2)购买成本最少的方案是购买?款机器人 4 台，?款机器人 8 台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
设?款机器人的单价为?万元，则?款机器人的单价为(?−1)万元，根据用 25 万元购买?款机器人的数
量与用 20 万元购买?款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
设购买?款机器人?台，则购买?款机器人(12−?)台，根据购买?款机器人的数量不少于?款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得? ≥ 4，再设购买成本为?万元，根据题意列出?关于?的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设?款机器人的单价为?万元，则?款机器人的单价为(?−1)万元，
2520
根据题意得： ? = ?−1，
解得：? = 5，
经检验，? = 5是原方程的解，且符合题意，
∴ ?−1 = 4，
答：?款机器人的单价为 5 万元，则?款机器人的单价为 4 万元；
（2）解：设购买?款机器人?台，则购买?款机器人(12−?)台，
1
根据题意得：? ≥ 2(12−?)，
解得：? ≥ 4，
设购买成本为?万元，
根据题意得：? = 5? + 4(12−?) = ? + 48，
∵ 1 > 0，
∴ ?随?的增大而增大，
∴ 当? = 4时，?有最小值，此时，12−? = 8，
答：购买成本最少的方案是购买?款机器人 4 台，?款机器人 8 台．
4．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的?型、?型两种智能机器人，购买?型机器人的总费用为 90 万元，购买?型机器人的总费用为 60 万元，?型机器人单价比?型机器人单价
低 3 万元．
求?型、?型两种机器人的单价；
该企业计划从采购的这批机器人中选择 10 台配备到某生产线，要求?、?两种型号的机器人各至少配备
1 台，且购买这 10 台机器人的总费用不超过 70 万元．求出所有配备方案．
【答案】(1)?型机器人单价为 9 万元，?型机器人单价为 6 万元
(2)方案一：?型机器人 1 台，?型机器人 9 台；方案二：?型机器人 2 台，?型机器人 8 台；方案三：?型机
器人 3 台，?型机器人 7 台
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键：
设?型机器人单价为?万元，则?型机器人单价为(?−3)万元，根据采购了相同数量的?型、?型两种智能机器人，购买?型机器人的总费用为 90 万元，购买?型机器人的总费用为 60 万元，列出方程进行求解即可；
设配备?型机器人?台，则配备?型机器人(10−?)台，根据购买这 10 台机器人的总费用不超过 70 万元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设?型机器人单价为?万元，则?型机器人单价为(?−3)万元，
9060
根据题意，得? = ?−3，
解得? = 9，
经检验，? = 9是原分式方程的根，且符合题意，所以，?−3 = 6．
所以，?型机器人单价为 9 万元，?型机器人单价为 6 万元．
（2）设配备?型机器人?台，则配备?型机器人(10−?)台，根据题意，得9? + 6(10−?) ≤ 70，
10
解得? ≤ 3 ，
∵要求?、?两种型号的机器人各至少配备 1 台，且 y 为正整数
∴?的取值为 1，2，3，共有 3 种方案：
方案一：?型机器人 1 台，?型机器人 9 台；
方案二：?型机器人 2 台，?型机器人 8 台；
方案三：?型机器人 3 台，?型机器人 7 台．
5．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒 2 魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进 A 款哪吒玩偶的金额是2400元，购进 B 款哪吒玩偶的金额是1600元，购进 A 款哪吒玩偶的数量比 B 款哪吒玩偶少50
个，A 款哪吒玩偶单价是 B 款哪吒玩偶的 2 倍．
(1)A、B 两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在 A、B 两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进 A、B 两款玩偶共100 个，B 款哪吒玩偶的数量不多于 A 款哪吒玩偶数量的 2 倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进货方案？
【答案】(1)A 款哪吒玩偶的单价是16元，B 款哪吒玩偶的单价是 8 元
(2)4 种
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
设 B 款哪吒玩偶的单价是 x 元，则 A 款哪吒玩偶的单价是2?元，利用数量 = 总价÷ 单价，结合用 2400元购进 A 款哪吒玩偶的数量比用1600元购进 B 款哪吒玩偶少50个，可列出关于 x 的分式方程，解之经检验后，可得出 x 的值（即 B 款哪吒玩偶的单价），再将其代入2?中，即可求出 A 款哪吒玩偶的单价；
设再次购进 m 个 A 款哪吒玩偶，则再次购进(100−?)个 B 款哪吒玩偶，根据“购进 B 款哪吒玩偶的数量不多于 A 款哪吒玩偶数量的 2 倍，且总金额不超过 1100 元”，可列出关于 m 的一元一次不等式组，解之可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数，即可得出共有 4 种进货方案．
【详解】（1）解：设 B 款哪吒玩偶的单价是 x 元，则 A 款哪吒玩偶的单价是2?元，
1600 2400
根据题意得： ? − 2? = 50，
解得：? = 8，
经检验，? = 8是所列方程的解，且符合题意，
∴2? = 2 × 8 = 16（元）．
答：A 款哪吒玩偶的单价是16元，B 款哪吒玩偶的单价是 8 元；
（2）解：设再次购进 m 个 A 款哪吒玩偶，则再次购进(100−?)个 B 款哪吒玩偶，
100−? ≤ 2?
根据题意得： 16? + 8(100−?) ≤ 1100 ，
10075
解得： 3 ≤ ? ≤ 2 ，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为34，35，36，37，
∴共有 4 种进货方案．
答：该超市共有 4 种进货方案．
1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里，慢马先走 12 天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ）
A．5 天B．10 天C．15 天D．20 天
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键．设快马追上慢马的天数为 x 天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可．
【详解】解：设快马追上慢马的天数为 x 天，则追上时慢马走了(? + 12)天，由题意，得240? = 150(? + 12)，
解得? = 20，
故快马追上慢马的天数为 20 天，故选：D．
2．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至 2025 年 初，全市公共充电桩数量已从 2023 年初的 10 万个增长至 16.9 万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）
A．10(1 + 2?) = 16.9B．10(1 + ?)2 = 16.9
C．10(1 + ?2) = 16.9D．10(1 + ?) = 16.9
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从 2023 年初到 2025 年初是两年时间，设年平均增长率为 x，则两年后的数量为初始数量乘以(1 + ?)的平方．
【详解】解：∵ 初始数量为 10 万个，两年后数量为 16.9 万个，年平均增长率为 x，
∴ 一年后数量为10(1 + ?)，两年后数量为10(1 + ?)(1 + ?) = 10(1 + ?)2，
∴ 可列方程：10(1 + ?)2 = 16.9，故选：B．
3?−? = 4? + 1
3．（23−24 七年级下·河南南阳·期中）已知关于?,?的二元一次方程组 ? + ? = 2?−5 的解满足?−? = 4，
则?的值为（ ）
A．－1B．7C．1D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键．
首先通过将方程组的两个方程相减，得到?−? = ? + 3，再代入已知条件?−? = 4求解?的值即可．
3?−? = 4? + 1 ①
【详解】解：令方程组 ? + ? = 2?−5 ② ，
①－②，得：2?−2? = 2? + 6，
∴?−? = ? + 3，
∵?−? = 4，
∴? + 3 = 4，解得：? = 1，故选：C．
2? + ? = ? + 1
4．（2025·四川宜宾·模拟预测）若方程组? + 2? = 3的解?，?满足0 < ? + ? < 1，则?的取值范围是
（ ）
A．−1 < ? < 0B．−4 < ? < −1C．0 < ? < 1D．? > −4
【答案】B
【分析】先将方程组中的两个方程相加，求出? + ?关于?的表达式，再根据0 < ? + ? < 1列出不等式组，求解得出?的取值范围．本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出? + ?的表达式，再利用不等式组求解是解题的关键．
【详解】解：
2? + ? = ? + 1
? + 2? = 3
∴(2? + ?) + (? + 2?) = (? + 1) + 3
3? + 3? = ? + 4
? + 4
? + ? =3
∵0 < ? + ? < 1，
∴0 0，即? > −4；
?+4
解不等式 3 < 1，得? + 4 < 3，即? < −1．
综上，−4 < ? < −1
故选：B ．
5．（2025·山东东营·中考真题）若?1，?2是关于 x 的一元二次方程?2−25?−1 = 0的两个实数根，则代数式
?12−24?1 + ?2的值为（ ）
A．0B．25C．26D．−1
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出?12−25?1−1 = 0，?1 + ?2 = 25，将?12−25?1−1 = 0，?1 + ?2 = 25代入变形后的式子求解即可．
【详解】解：∵?1，?2是关于 x 的一元二次方程?2−25?−1 = 0的两个实数根，
∴?12−25?1−1 = 0，?1 + ?2 = 25，
∴?12−25?1 = 1，
∴?12−24?1 + ?2
= ?12−25?1 + ?1 + ?2
= (?12−25?1) + (?1 + ?2)
= 1 + 25
= 26，
故选：C．
?+?1
6．（2026·安徽合肥·一模）已知关于?的分式方程?+1−1+? = 2的解为负数，则?的值为（ ）
A．? < 3B．? > 3C．? < 3且? ≠ 2D．? > 3且? ≠ 4
【答案】C
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解出?，再结合解为负数、分式分母不为0的条件，确定?的取值范围即可．
?+?1
【详解】解：?+1−1+? = 2，
去分母得? + ?−1 = 2(? + 1)，解得? = ?−3，
∵分式方程的解为负数，
∴? < 0，且分母? + 1 ≠ 0，即?−3 < 0，且?−3 ≠ −1，解得? < 3，且? ≠ 2．
【点睛】对于此类告知分式方程解的情况的题型，要注意分式方程有解必须满足分式分母不为0这个隐含要求，否则极容易造成漏解．
7．（2025·四川眉山·中考真题）若关于 x 的不等式组
3?−1 ≤ ? + 2
2
? + 1 ≥ −? + ?
至少有两个正整数解，且关于 x 的分
?−13
式方程?−1 = 2−1−?的解为正整数，则所有满足条件的整数 a 的值之和为（ ）
A．8B．14C．18D．38
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出 a 的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出 a 的值，最后求和即可．
3?−1 ≤ ? + 2①
【详解】解：
2
? + 1 ≥ −? + ?②
解①得：? ≤ 5
解②得：? ≥
?−1
2 ，
3?−1 ≤ ? + 2
∵关于 x 的不等式组
2
? + 1 ≥ −? + ?
至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为
?−1
2 ≤ ? ≤ 5．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
?−1
当 2 ≤ 4时，解集包含? = 4,5，
此时? ≤ 9．
?−13
?−1
2?+1
分式方程?−1 = 2−1−?化简为：?−1 = ?−1 ，
解得? =
?−2
2 ．
?−2
要求解为正整数且? ≠ 1，则
即?为大于等于 6 的偶数．
∵? ≤ 9，
∴? = 6或 8，
2 为大于等于 2 的整数，
当? = 6时，不等式组的解集为2.5 ≤ ? ≤ 5，整数解为3,4,5，满足条件．当? = 8时，不等式组的解集为3.5 ≤ ? ≤ 5，整数解为4,5，满足条件．则所有满足条件的整数?之和为6 + 8 = 14，
故选：B．
7．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织 200 名学生参
加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的 2 倍还多 20
人，则参加“深海探秘”的人数为．
【答案】60
【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设参加“深海探秘”的人数为?人，则参加“太空遨游”的人数为(2? + 20)人，根据总人数列出方程求解即可．
【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为?人，则参加“太空遨游”的人数为(2? + 20)人，根据题意得，
? + 2? + 20 = 200，解得? = 60，
∴参加“深海探秘”的人数为 60 人，故答案为：60．
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知 a、b 是方程?2 +2?−3 = 0的两根，则1 + 1的值为．
??
2
【答案】3
【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到 a、b 的值为 1，−3，代入计算即可．
【详解】解：?2 +2?−3 = 0，
(?−1)(? + 3) = 0，
?1 = 1,?2 = −3，
∴a、b 的值为 1，−3，
1112
∴? + ? = 1−3 = 3，
2
故答案为：3．
9．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程?2−2024?−2025 = 0的两个根分别是?、?，则(?2−2023?−2026) (?2−2023?−2026) =
【答案】−4048
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程?
?2 +?? + ? = 0的两根为? ，? ，则?
+ ?
??
? ? = ．
121
2 = −?, 1 2?
根据根与系数的关系和方程的解得到?2−2024?−2025 = 0，?2−2024?−2025 = 0，
? + ? = 2024,?? = −2025，代入，并再将原式化简为??−(? + ?) +1，即可求解．
【详解】解：∵方程?2−2024?−2025 = 0的两个根分别是?、?，
∴?2−2024?−2025 = 0，?2−2024?−2025 = 0，? + ? = 2024,?? = −2025
∴?2 = 2024? + 2025，?2 = 2024? + 2025，
∴(?2−2023?−2026)(?2−2023?−2026)
= (2024? + 2025−2023?−2026) (2024? + 2025−2023?−2026)
= (?−1) (?−1)
= ??−(? + ?) + 1
= −2025−2024 + 1 = −4048，
故答案为：−4048．
10．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸 3 天时间制作的陶艺碗的数量比自己 4 天时间制作的数量多 100 个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多 50 个．
求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？
小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了 72 个．若每周的增长率相同，求这个增长率；
小明家接到了 3600 个陶艺碗的订单，而小明家目前库存 3084 个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单．
【答案】(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是 100 个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是 50 个
这个增长率为20%
还需 3 天就可交货完成此订单
【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是 x 个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是(?−50)个，根据爸爸 3 天时间制作的陶艺碗的数量比自己 4 天时间制作的数量多 100 个，列出方程，解方程即 可；
设小明每周的增长率为 m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了 72 个，列出方程，解方程即可；
设还需 n 天就可交货完成此订单，根据需要完成 3600 个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是 x 个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是
(?−50)个，
根据题意得：3?−4(?−50) = 100，解得：? = 100，
∴?−50 = 100−50 = 50（个）．
答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是 100 个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是 50 个．
解：设小明每周的增长率为 m，根据题意得：
50(1 + ?)2 = 72，
解得?1 = 0.2，?2 = −2.2（舍去）．答：这个增长率为20%；
解：设还需 n 天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作 100 个，小明每天制作 72 个，则：
(100 + 72)? + 3084 = 3600，
解得：? = 3，
答：还需 3 天就可交货完成此订单．
11．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买 A，B 两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买?型相册不超过 20 本，按照零售价销售；超过 20 本时，超过部分每本的价格比零售价低 6
元销售．
②一次性购买?型相册不超过 15 本，按照零售价销售；超过 15 本时，超过部分每本的价格比零售价低 4
元销售．
若购买 30 本?型相册和 10 本?型相册，共需支付 2240 元；若购买 20 本?型相册和 40 本?型相册，共需支付 3100 元．
(1)这家商场 A，B 型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买?型和?型相册共 15 本，要求?型相册数量大于或等于?型相册数量的 2 倍，且总费用不超过 870 元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【答案】(1)A 型相册每本零售价 60 元，B 型相册每本零售价 50 元
(2)该社团共有 3 种购买方案，方案 1：购买 10 本?型相册，5 本?型相册；方案 2：购买 11 本?型相册，4本?型相册；方案 3：购买 12 本?型相册，3 本?型相册，方案 1 所需费用最少，为 850 元
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
设这家商场?型相册每本的零售价是?元，?型相册每本的零售价是?元，根据“购买 30 本?型相册和
10 本?型相册，共需支付 2240 元；购买 20 本?型相册和 40 本?型相册，共需支付 3100 元”，可列出关于
?,?的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买?本?型相册，则购买(15−?)本?型相册，根据“购买?型相册数量大于或等于?型相册数量的 2 倍，且总费用不超过 870 元”，可列出关于?的一元一次不等式组，解之可得出?的取值范围，结合?为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设这家商场?型相册每本的零售价是?元，B 型相册每本的零售价是?元，
20? +(30−20)(?−6) + 10? = 2240
根据题意得： 20? + 15? +(40−15)(?−4) = 3100 ，
? = 60
解得： ? = 50 ．
答：这家商场?型相册每本的零售价是 60 元，?型相册每本的零售价是 50 元；
（2）解：设购买?本?型相册，则购买(15−?)本?型相册，
? ≥ 2(15−?)
根据题意得： 60? + 50(15−?) ≤ 870 ，
解得：10 ≤ ? ≤ 12，又∵m 为正整数，
∴m 可以为 10，11，12，
∴该社团共有 3 种购买方案，
方案 1：购买 10 本?型相册，5 本?型相册；方案 2：购买 11 本?型相册，4 本?型相册；方案 3：购买 12 本?型相册，3 本?型相册．
选择购买方案 1 所需费用为60 × 10 + 50 × 5 = 850（元）；
选择购买方案 2 所需费用为60 × 11 + 50 × 4 = 860（元）；
选择购买方案 3 所需费用为60 × 12 + 50 × 3 = 870（元），
∵ 850 < 860 < 870，
∴方案 1 所需费用最少．
答：该社团共有 3 种购买方案，方案 1：购买 10 本?型相册，5 本?型相册；方案 2：购买 11 本?型相册，
4 本?型相册；方案 3：购买 12 本?型相册，3 本?型相册，方案 1 所需费用最少，为 850 元．
12．（2026·河南周口·模拟预测）
背景
校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买 A、B 两种款式的运动徽章作为奖品．
素材 1
某商店在无促销活动时，若买 15 枚 A 款徽章、10 枚 B 款徽章，共需 230 元；若买 25
枚 A 款徽章、25 枚 B 款徽章，共需 450 元．
问题解决：
某商店在无促销活动时，求 A 款徽章和 B 款徽章的销售单价各是多少元？
小艾计划在促销期间购买 A、B 两款徽章共 40 枚，其中 A 款徽章 t 枚（0 < ? < 40），若在线下商店购买，共需要元；若在线上淘宝店购买，共需要元．（均用含 t 的代数式表示）
请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？
【答案】(1)A 款徽章和 B 款徽章的销售单价分别是 10 元、8 元
(2)(1.6? + 291)，(1.8? + 288)
(3)当购买 A 款徽章的数量超过 15 个且少于 40 个时，线下购买方式更合算；当购买 A 款徽章的数量少于
15 个，线上购买方式更合算；当购买 A 款徽章的数量为 15 个时，线上、线下购买方式一样合算
【分析】（1）设 A 款徽章和 B 款徽章的销售单价分别是 x 元、y 元，根据买 15 枚 A 款徽章、10 枚 B 款徽章，共需 230 元；买 25 枚 A 款徽章、25 枚 B 款徽章，共需 450 元，列出方程组，即可求解；
根据线下商店购买和线上购买的优惠方法列代数式即可；
再根据两种购买方式所需费用，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设 A 款徽章和 B 款徽章的销售单价分别是 x 元、y 元，
15? + 10? = 230
由题意，得 25? + 25? = 450 ，
? = 10
解得 ? = 8 ，
答：A 款徽章和 B 款徽章的销售单价分别是 10 元、8 元；
（2）解：当小艾在线下商店购买时，需要：0.8 × 10? + 8(40−?) +35 = (1.6? + 291)元；当小艾采用线上购买时，需要：0.9 × 10? + 8(40−?) = (1.8? + 288)元；
（3）解：当选线下时，1.6? + 291 < 1.8? + 288，解得? > 15；又∵0 < ? < 40，
∴15 < ? < 40；
当选线上时：1.6? + 291 > 1.8? + 288，解得? < 15，又∵0 < ? < 40，
∴0 < ? < 15；
答：当购买 A 款徽章的数量超过 15 个且少于 40 个时，线下购买方式更合算；当购买 A 款徽章的数量少于
15 个，线上购买方式更合算；当购买 A 款徽章的数量为 15 个时，线上、线下购买方式一样合算．
13．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
素材 2
该商店搞促销活动：用 35 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮．
材料一：租车公司有 A，B 两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用 2 辆 A 型客车和 3 辆 B
型客车共载客 220 人；租用 4 辆 A 型客车和 1 辆 B 型客车共载客 240 人． 材料二：A 型客车租车费用为 2400 元/辆；B 型客车租车费用为 2000 元/辆．
材料三：优惠方案：租用 A 型客车 m 辆，每辆车的费用减少100m元；租用 B 型客车，租车费用打七折．材料四：租车公司最多提供 6 辆 A 型客车；学校参加研学活动师生共有 430 人，租用 A，B 两种型号客车共 10 辆．
任务一：A，B 两种型号的客车每辆载客量分别是多少?任务二：求 m 的取值范围；
任务三：若本次研学活动学校的租车费用为 w 元，求 w 与 m 之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少?
【答案】任务一：A 型号的客车每辆载客量是 50 人，B 型号的客车每辆载客量是 40 人任务二：m 的取值范围是3 ≤ ? ≤ 6，且 m 为整数
任务三：w 与 m 之间的函数表达式是? = −100?2 +1000? + 14000，本次研学活动学校的最少租车费用是 16100 元
【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键．
任务一：设 A，B 两种型号的客车每辆载客量分别是 x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答；
任务二：根据租用 A 型客车 m 辆，则租用 B 型客车(10−?)辆，学校参加研学活动师生共有 430 人，列不等式50? + 40(10−?) ≥ 430求解，结合租车公司最多提供 6 辆 A 型客车，即可解答；
任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可．
【详解】解：任务一：设：A，B 两种型号的客车每辆载客量分别是 x，y．
2? + 3? = 220
根据题意得
? = 50
解得 ? = 40
4? + ? = 240
答：A 型号的客车每辆载客量是 50 人，B 型号的客车每辆载客量是 40 人
任务二：租用 A 型客车 m 辆，则租用 B 型客车(10−?)辆，学校参加研学活动师生共有 430 人，则50? + 40(10−?) ≥ 430即10? ≥ 30
解得? ≥ 3
因为租车公司最多提供 6 辆 A 型客车，
所以 m 的取值范围是3 ≤ ? ≤ 6，且 m 为整数；
任务三：根据题意得? = 2400?−100? ⋅ ? + 2000(10−?) × 70％即? = −100?2 +1000? + 14000
1000
函数图像开口向下，关于? = −2×(−100) = 5对称，
因为3 ≤ ? ≤ 6
所以当? = 3时? = −100?2 +1000? + 14000取最小值
−100?2 + 1000? + 14000
= −100 × 32 + 1000 × 3 + 14000
= −900 + 3000 + 14000
= 16100
答：w 与 m 之间的函数表达式是? = −100?2 +1000? + 14000，本次研学活动学校的最少租车费用是
16100 元．