2026年中考数学二轮复习 查漏补缺01 代数计算与式题易错专练(专项训练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 查漏补缺01 代数计算与式题易错专练(专项训练)，共7页。试卷主要包含了代数式求值常用方法，非负性应用等内容，欢迎下载使用。

考点 01 代数式化简与求值
考点一：整式相关
代数式：用运算符号连接数与字母的式子，单独一个数或字母也是代数式。
单项式：由数与字母的积组成；系数为数字因数，次数为所有字母指数和。
多项式：几个单项式的和；次数为最高次项的次数。
同类项：所含字母相同，相同字母指数也相同；合并时系数相加，字母与指数不变。
去括号法则：括号前是 “－”，括号内各项均变号；括号前是 “＋”，不变号。
整式乘除：同底数幂运算、乘法公式（平方差、完全平方）。
考点二：分式相关
分式概念：形如 ?（B 中含字母，且 B=0）的式子。
?
基本性质：分子分母同乘 / 除同一个不为 0 的整式，分式值不变。
运算法则：先因式分解→约分→通分→计算；结果化为最简分式。
核心约束：分母≠0。
考点三：二次根式相关
概念：形如 ?(? ≥ 0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
性质：
≥ 0； a≥0（双重非负性），（ ?）2=a（a≥0）．
= |a|（算术平方根的意义）．
?
?2
运算：化为最简二次根式后合并同类根式；分母有理化。
核心约束：被开方数≥0。
考点四、代数式求值常用方法
直接代入法：先化简，再代入数值计算。
整体代入法：不单独求字母，将已知式整体代入。
降次法：利用已知等式将高次式化为低次式。
赋值法：赋特殊值（0、1、－1）快速求值。
?
条件求值：结合非负性、分母、根式约束求解。
考点五、非负性应用
|?| ≥ 0，?2 ≥ 0，
≥ 0; 若|?|+b²+ ?=0，则 a=b=c．
题型一：整式化简与直接求值
点方法：先去括号、合并同类项化简，再代入数值，注意符号与运算顺序。
去括号漏变号、合并同类项错误、代入漏括号。
1．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：(?−3?)(? + 3?) + (?−3?)2，其中? = −3,? = 1．
3
【答案】2?2−6??，24
【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
【详解】(?−3?)(? + 3?) + (?−3?)2
= ?2−9?2 + ?2−6?? + 9?2
= 2?2−6??
1
当? = −3,? = 3时，
3
原式 = 2 × (−3)2−6 × (−3) × 1
= 24．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
2．（2026·广西钦州·模拟预测）化简求值： (1)化简：−5?−2? + 7? + 9?；
(2)先化简，再求值：2(4?2−2? + 1)−3(2?2−?)，其中? = −2．
【答案】(1)2? + 7?
(2)化简结果为2?2−? + 2，值为12
【分析】本题考查的是整式的加减化简以及代数式求值．
通过合并同类项对整式进行化简；
先去括号、合并同类项完成化简，再代入给定的?值计算结果．
【详解】（1）解：原式 = (−5? + 7?) + (−2? + 9?)
= 2? + 7?；
（2）解：原式 = 8?2−4? + 2−6?2 +3?
= 2?2−? + 2．
再代入? = −2求值：原式 = 2 × (−2)2−(−2) + 2 = 2 × 4 + 2 + 2 = 8 + 2 + 2 = 12．
3．（2026·陕西·一模）先化简，再求值：[(2?−?)2−?(?−4?)−4??] ÷ 4?，其中? = 2，? = 1．
【答案】?−?，1
【分析】按整式的混合运算法则进行化简，再将? = 2，? = 1代入求值即可．
【详解】解：原式 = [(2?−?)2−?(?−4?)−4??] ÷ 4?
= (4?2−4?? + ?2−?2 + 4??−4??) ÷ 4?
= (4?2−4??) ÷ 4?
= ?−?，
当? = 2，? = 1时，原式 = 2−1 = 1．
4．（2026·河北张家口·一模）已知(? + 2)(?−2) +? = ?(? + 1)，其中?是整式．
求整式?；
(2)当? = −6时，求?的值．
【答案】(1)? = ? + 4
−2
【分析】（1）将等式变形，然后展开，再合并同类项即可；
（2）将? = −6代入（1）中所得的代数式即可．
【详解】（1）解：∵(? + 2)(?−2) +? = ?(? + 1)，
∴? = ?(? + 1)−(? + 2)(?−2) = ?2 +?−(?2−4) = ?2 +?−?2 +4 = ? + 4；
（2）解：当? = −6时，? = ? + 4 = −6 + 4 = −2．
5．（2025·河北唐山·二模）已知? = ??3 + ?3?,? = 2??3
计算2?−3?；
(2)若?、?满足|?−1| + (? + 3)2 = 0，求2?−3?的值．
【答案】(1)−4??3 +3?3?
99
1
?3
−3?．
【分析】本题主要考查整式的加减运算和非负数的性质以及代数式求值，正确运用去括号法则进行化简是解答本题的关键．
原式去括号，合并同类项即可得到答案；
根据非负数的性质求出?,?的值，再代入（1）中结果进行计算即可．
【详解】（1）解：∵? = ??3 + ?3?,? = 2??3
∴2?−3?
1
?3
−3?
1
= 2(??3 + ?3?)−3 2??3−
3
?3?
= 2??3 + 2?3?−6??3 + ?3?
= −4??3 +3?3?．
（2）解：∵|?−1| + (? + 3)2 = 0，
∴?−1 = 0，? + 3 = 0．解得：? = 1，? = −3．
将? = 1，? = −3代入，
原式 = −4??3 +3?3? = −4 × 1 × (−3)3 +3 × 13 × (−3) = 99．
题型二：分式化简与求值
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式
tan45°．
+
?
1
?−3
先因式分解、约分，再通分计算；必须检验分母≠0。
忽略分母不为 0、符号错误、通分错误。
3
?2−6?+9
÷ ?−3的值，其中? = 2sin60° + 3
13
【答案】?−3， 3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．
先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出?的值，最后代入化简后的式子求值．
1
?−3
【详解】解：
+
?
3
?2−6?+9
÷ ?−3
?
= (?−3)2 ⋅
1
= ?−3．
?−3
?
2
当? = 2sin60° + 3tan45° = 2 × 3 +3 = 3 + 3时，
3
原式 = 3 ．
2
?2−2?+1
2
?+1
2．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值： 1−
÷?+1 ，其中? =
+1．
12
【答案】?−1， 2
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化
2
简，代入? =+1计算即可得解．
2
?+1
?2−2?+1
【详解】解： 1−
÷?+1
? + 1−2
=? + 1 ÷
(?−1)2
? + 1
?−1? + 1
= ? + 1 ⋅ (?−1)2
1
= ?−1，
当? =
1
2
2+1−1
= 2 ．
2
+1时，原式 =
3
?−1
3．（2026·重庆·一模）先化简，再求值：
?2−4
?(3?−1)−(3?−1)(? + 1) + ?2−2?+1 ÷
2
? −
，其中? = 2cs60°−|−2|．
−4?2+6?−111
【答案】
?−1； 2
【分析】根据分式的加减乘除运算法则和因式分解，化简即可，再根据特殊角的三角函数值，计算出?，代入计算即可．
【详解】解：原式 = (3?−1)(?−?−1) +
(?+2)(?−2) (?−1)2÷
2(?−1)−3?
?(?−1)
= −3? + 1 +
(? + 2) (?−2) (?−1)2⋅
?(?−1)
−?−2
= −3? + 1−
?(?−2)
?−1
−3?(?−1)?−1
=?−1+ ?−1 −
?(?−2)
?−1
−3?2 + 3? + ?−1−?2 + 2?
=?−1
−4?2+6?−1
=?−1，
1
∵ ? = 2cs60°−|−2| = 2 × 2−2 = −1，
∴ 原式 =
−4×(−1)2+6×(−1)−111
−1−1= 2 ．
4?−1
?+2
?2−1
4．（2026·福建莆田·模拟预测）先化简，再求值： ?−÷ ?+2 ，其中? = 3−1．
3−2 3
?−1
【答案】?+1， 3
【分析】首先根据分式混合运算的法则进行化简，然后将? = 3−1代入求值即可．
4?−1
?+2
?2−1
【详解】解： ?−
÷ ?+2
?(? + 2)
? + 2
4?−1
? + 2
? + 2
=−× (? + 1)(?−1)
?(? + 2)−(4?−1)? + 2
=? + 2× (? + 1)(?−1)
?2−2? + 1
? + 2
=? + 2× (? + 1)(?−1)
(?−1)2
? + 2
= ? + 2 × (? + 1)(?−1)
?−1
= ?+1，
当? = 3−1时，
3．
原式 = 3−1−1 = 3−2 = 3−2 3
3−1+13
2??−?2
?
22?−?
5．（2025·山东滨州·中考真题）已知? = ? + ?，? = ? −? ，? = ? ÷ ?−．
?1
(1)若? = 5，求 C 的值；
(2)当? = 1，且3?为整数时，求 x 的整数值．
1
【答案】(1)? = 5
(2)? =± 2或 4
【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键：
??11
（1）化简?，得到? = ?−?，根据混合运算法则求出? = ?−?，即可得出结果；
113
（2）根据? = ?−?，结合? = 1，得到? = ?−1，进而得到3? = ?−1，根据3?为整数得到?−1 =± 3, ± 1，且
? ≠ 0,? ≠ 1，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵? = ? + ?，? = ?2−?2，
??+?
?+?1
∴? = ?2−?2 = (?+?)(?−?) = ?−?．
?−?
?2−2??+?2
?−??
?−??1
? =
? ÷
?=
? ⋅ ?2−2??+?2 =
? ⋅ (?−?)2 = ?−?．
?
∴? = ?．
?1
∵? = 5，
1
∴? = 5．
1
（2）由（1），得：? = ?−?，
3
∴3? = ?−?，
3
当? = 1时，3? = ?−1．
∵3?与?均为整数，
∴?−1 =± 1或?−1 =± 3．
∴? = 0,2,4,−2，
又∵? ≠ 0且?−1 ≠ 0，
∴? ≠ 0且? ≠ 1．
∴? =± 2或 4．
题型三：二次根式化简与求值
先化为最简根式，合并同类根式后再代入；注意被开方数≥0。
未分母有理化、忽略定义域。
2
1．（2026·广东东莞·一模）计算：(π−6)0
+
−1
27
1
2
+2cs60° + |− 2| + −
3
【答案】3+
1
2
−1
27
0
【详解】解：(π−6) +
3
2
1
+2cs60° + |− 2| + −
= 1 + 3+ 2 × 2 +
3
= 1 + 3+ 1 + 2−2
+ (−2)
3
= 3+ 2．
2．（2025·山东济南·中考真题）计算：(π−3)
2
【答案】8−
−1
1
2
0
+
+ |−5| +2sin45°− 8．
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算．
2
2
【详解】解：原式 = 1 + 2 + 5 + 2 × 2−2
2
= 8 + 2−2
= 8− 2．
3
??2+?
3．（2026·福建泉州·一模）先化简，再求值：?2−1 ⋅
?2 ，其中? =
+1．
13
【答案】?−1， 3
【分析】利用分式的乘法进行计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
?
2
⋅
【详解】解：
? −1
?2+?
?2
?
= (?+1)(?−1) ⋅
?(?+1)
?2 ．
1
= ?−1．
3
当? =
+1时，
原式 =
113
3+1−1
3
== 3 ．
?− ?
?+ ?
4．已知：? + ? = 3，?? = 1，且? > ?，求
的值．
5
【答案】 5
【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得?−? = 5，再
对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵? + ? = 3，?? = 1，
∴(?−?)2 = (? + ?)2−4?? = 32−4 × 1 = 5，
∵? > ?，
∴?−? = 5，
?− ?
?+ ?
2
( ?− ?)
( ?+ ?)( ?− ?)
∴=
?−2 ??+?
?−?
=，
?+?−2 ??
?−?
=
3−2×1
5
=
，
，
1
5
=，
5
= 5 ．
5．已知? = 2 + 3，? = 2− 3，分别求下列代数式的值：
(1)?2−?2；
(2)?2−3?? + ?2．
3
【答案】(1)8
(2)11
【分析】（1）由已知可得? + ? = 4，?−? = 2 3，再利用平方差公式计算即可；
（2）由已知可得?−? = 2 3，?? = 1，再把原式转化为(?−?)2−??，进而代入计算即可求解；
本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
3
3
【详解】（1）解：∵? = 2 + 3，? = 2− 3，
∴? + ? = 2 +
+2−
= 4，?−? = 2 + 3−(2− 3) = 2 3，
3
∴?2−?2 = (? + ?)(?−?) = 4 × 2
= 8 3；
（2）解：∵? = 2 + 3，? = 2− 3，
∴?−? = 2 + 3−(2− 3) = 2 3，?? = (2 + 3)(2− 3) = 4−3 = 1，
∴?2−3?? + ?2
= (?−?)2−??
= (2 3)2−1
= 12−1
= 11．
题型四：整体代入法求值
观察已知式与目标式的倍数关系，构造整体直接替换。
忽略分母不为 0、符号错误、通分错误。
1．（2024·广西·中考真题）如果? + ? = 3，?? = 1，那么?3? + 2?2?2 +??3的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵? + ? = 3，?? = 1，
∴?3? + 2?2?2 +??3 = ??(?2 + 2?? + ?2)
= ??(? + ?)2
= 1 × 32
= 9； 故选 D．
6?−3(?−?)
? +2??+?
2．（2026·北京通州·一模）已知? + ?−4 = 0，求代数式 22的值．
3
【答案】4
【分析】先对分式的分子分母进行因式分解，化为最简分式，再将? + ?−4 = 0变形，进行整体代入求值．
6?−3?+3?3(?+?)3
【详解】解：原式 =
∵? + ?−4 = 0，
∴? + ? = 4，
(?+?)2= (?+?)2 = ?+?，
3
∴原式 = 4．
3．（2025·北京·模拟预测）?−?−3 = 0，求代数式?−
【答案】6
?−?
2??−?2
?
÷ 2? 的值．
【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解．
2??−?2
?
?−?
【详解】解： ?−
?2−(2??−?2)
?
2?
÷ 2?
=
× ?−?，
?2−2??+?2
?
2?
=× ?−?，
(?−?)22?
=?× ?−?，
=2(?−?)，
∵?−?−3 = 0，
∴?−? = 3，
则原式=2(?−?) = 2 × 3 = 6．
2
?−3
4．（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：
−
?−3
1
?
⋅ ?2+6?+9
，其中 x 是方程?2 +3?−2 = 0的根．
11
【答案】?(?+3)；2
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再进行约分得到最简结果，最后将方程进行变化并将其整体代入计算即可求出值．
2
?−3
【详解】解：
2?
= ?(?−3) −
−
?−3
1
?
⋅ ?2+6?+9
?−3
?(?−3)
?−3
⋅ (? + 3)2
? + 3?−3
= ?(?−3) ⋅ (? + 3)2
1
= ?(?+3)，
由题意得，?2 +3?−2 = 0
?2 + 3? = 2
?(? + 3) = 2，
11
∴?(?+3) = 2．
1
?
?2−?2
5．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：?2+2?+1 ÷
?2
【答案】?+1；−4
?+1 −
，其中?满足?(? + 4) = −4．
【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出?2 = −4?−4，再整体代入求值即可．
?(?−1)
2
【详解】解：原式 =÷
(?+1)
2?−(?+1)
?(?+1)
?(?−1)
= (? + 1)2 ⋅
?2
= ?+1，
?(? + 1)
?−1
∵ ?(? + 4) = −4，
∴ ?2 = −4?−4，
∴原式 =
−4?−4
?+1
−4(? + 1)
=? + 1
= −4．
题型五：条件代数式求值（非负性）
先因式分解、约分，再通分计算；必须检验分母≠0。
忽略分母不为 0、符号错误、通分错误。
1．（2025·四川凉山·中考真题）若(3? + 2?−19)2 + |2? + ?−11| = 0，则? + ?的平方根是（ ）
2
A．8B． ± 8C． ± 2
【答案】C
D．2
2
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于?,?的二元一次方程组，两个方程相减后求出? + ?的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵(3? + 2?−19)2 + |2? + ?−11| = 0，
3? + 2?−19 = 0①
∴ 2? + ?−11 = 0② ，
8
①−②，得：? + ? = 8，
∴? + ?的平方根是±
?−8
??
故选：C．
=± 2 2；
8−?
2．（25−26 九年级下·广西南宁·月考）若?,?为实数，且? =
【答案】4
+
+2，则
= ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定?的值，再代入原式求出?的值，最后代入计算 ??即可得到结果．
8−? ≥ 0
【详解】解：由题意得 ?−8 ≥ 0 ，
8−?
?−8
解得? = 8，
8−8
8−8
把? = 8代入? =
+
+2，
得? =
+
+2 = 0 + 0 + 2 = 2，
??
? + ?
将? = 8，? = 2代入 ??，得
=
=
= 4．
8 × 2
16
?−5
3．（2026·湖北荆州·模拟预测）若|? + 1| +
= 0，则
= ．
【答案】2
?−5
【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性，根据几个非负数的和为0时，每个非负数均为0，求出?和?的值，再代入所求二次根式计算即可.
?−5
【详解】解： ∵ |? + 1| ≥ 0 ，
∴ ? + 1 = 0 ，?−5 = 0
解得? = −1，? = 5
将? = −1，? = 5代入 ? + ?得：
≥ 0，且|? + 1| += 0
? + ?
−1 + 5
4
?−1
1−?
=== 2
4．（2025·广东·模拟预测）已知? =
【答案】 ± 2
+
+4，则??的平方根为．
1−?
【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定?的取值范围，从而求出?和 y 的值，再计算??的值，最后求其平方根，即可作答．
?−1
【详解】解：∵? =
∴1−? ≥ 0,?−1 ≥ 0,
1−1
1−1
故? = 1，
+
+4，
∴? =
+
+4 = 4，
∴?? = 1 × 4 = 4，
?
?2−?2
∴4 的平方根为± 2，故答案为： ± 2．
5．（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：
?
1
?+?
+÷．其中 x、y 满足(? + 2)2 + |?−1|
1
【答案】?+?，−1
?−?
= 0
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
?
?2−?2
【详解】解：
?
(? + ?) (?−?)
=
?
+
+
?−?
(? + ?) (?−?)
?
?
1
?+?
÷ ?−?
?
÷ ?−?
= (? + ?) (?−?) ÷ ?−?
?
= (? + ?) (?−?) ⋅
1
= ?+?，
?−?
?
∵(? + 2)2 + |?−1| = 0，(? + 2)2 ≥ 0，|?−1| ≥ 0，
∴(? + 2)2 = |?−1| = 0，
∴? + 2 = 0，?−1 = 0，
∴? = −2，? = 1，
1
∴原式 = −2+1 = −1．
考点 02规律探究
核心步骤：观察特例→分析结构→归纳通项→验证结论。
数字规律：等差、等比、周期、平方 / 立方关联、递推规律。
图形规律：数前 3−4 项数量→转为数列→写出含 n 通项。
算式规律：拆分不变部分与变化部分，归纳通用表达式。
题型六：数字规律探究
·1.列举前 3～4 项，观察增减变化；
区分类型：等差、等比、周期、平方 / 立方、正负交替；
抓住不变量，变化部分用含 n 式子表示；
写出通项，代入前两项验证。
项数出错，通项多 1、少 1；
公差、公比计算失误，指数写错；
周期数错，余数为 0 不会判定；
正负交替符号；
不验证通项，规律归纳错误。
1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第 5～7 个数可能为（ ）
A．48、58、68B．58、78、98C．76、156、316D．78、158、318
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵3 × 2 + 2 = 8， 8 × 2 + 2 = 18，
18 × 2 + 2 = 38，
∴第 5 个数为38 × 2 + 2 = 78，
第 6 个数为78 × 2 + 2 = 158，
第 7 个数为158 × 2 + 2 = 318，
故选：D．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）1202 年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，
5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前 2024 个数中，奇数的个数为（ ）
A．676B．674C．1348D．1350
【答案】D
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每 3 个数为一组，每一组前 2 个数为奇数，第 3 个数为偶数．由于2024 ÷ 3 = 674⋯2，
即前 2024 个数共有 674 组，且余 2 个数，
∴奇数有674 × 2 + 2 = 1350个．故选：D
3．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗 士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
【答案】11,60,61
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第 1 个数为 11，设第 2 个数为?，则第 3 个数为? + 1，根据勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第 1 个数为 11，设第 2 个数为?，则第 3 个数为? + 1，由勾股定理，得：112 + ?2 = (? + 1)2，
解得：? = 60，
∴? + 1 = 61；
∴第⑤组勾股数为11,60,61；故答案为：11,60,61．
222
4．（2026·山东聊城·一模）已知?1 = 2，?2 = 1−? +1，?3 = 1−? +1，…，?? = 1−?+1，则?2026的值为
12?−1
．
1
【答案】3
【分析】根据题意，计算前面几个式子的化简结果，得到规律即可求?2026．
【详解】解：?2
2
2
1
= 1−? +1
2
2
= 1−2+1
1
1
= 3，
?3 = 1−? +1 = 1−1= −2，
2
2
3
?4 = 1−? +1 = 1−
2
3 +1
2
1
− 2 +1
2
= −3，
4
?5 = 1−? +1 = 1−−3+1 = 2，
又2026 = 506 × 4 + 2，
1
∴ ?2026 = ?2 = 3．
5．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1 ∼ ?这?个自然数中，任取两数之和大于?的取法种数?进行了探究．发现：当? = 2时，只有{1,2}一种取法，即? = 1；当? = 3时，有{1,3}和
{2,3}两种取法，即? = 2；当? = 4时，可得? = 4；……．若? = 6，则?的值为；若? = 24，则?的值为．
【答案】9144
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当 n 为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个 n 值所对应 k 值，找到变化规律求解即可．
【详解】解：当? = 2时，只有{1,2}一种取法，则? = 1；当? = 3时，有{1,3}和{2,3}两种取法，则? = 2；
42
当? = 4时，有{1,4}，{2,4}，{3,4}，{2,3}四种取法，则? = 3 + 1 = 4 = 4 ；
故当? = 5时，有{1,5}，{2,5}，{3,5}，{4,5}，{2,4}，{3,4}六种取法，则? = 4 + 2 = 6； 当? = 6时，有{1,6}，{2,6}，{3,6}，{4,6}，{5,6}，{2,5}，{3,5}，{4,5}，{3,4}九种取法，则
62
? = 5 + 3 + 1 = 9 = 4 ；
依次类推，
当 n 为偶数时，? = (?−1) + (?−3) +⋯ + 5 + 3 + 1 =
?2
4 ，
故当? = 24时，? = 23 + 21 + 19 + ⋯ + 5 + 3 + 1 =
故答案为：9，144．
242
4 = 144，
题型七：图形规律探究
把图形个数转化为数列，按数字规律归纳通项。
数错数量、规律归纳不完整。
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（ ）个小正方形．
A．30B．40C．49D．56
【答案】C
【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解．
【详解】解：拼第一个正方形需要4 = (1 + 1)2个小正方形；
拼第二个正方形需要9 = (2 + 1)2个小正方形；拼第三个正方形需要16 = (3 + 1)2个小正方形；
．．．．．．
按照这样的方法拼成的第?个正方形需要(? + 1)2个小正方形；
∴ 第六个正方形需要(6 + 1)2 = 49个小正方形，故选：C．
2．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第 1 种如图 1 有 4 个氢原子，第 2 种如图 2 有 6 个氢原子，第 3 种如图 3 有 8 个氢原子，第 4 种如图 4 有 10 个氢原子，……按照这
一规律，第 9 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．18B．20C．22D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第 1 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：4 = 1 × 2 + 2；
第 2 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：6 = 2 × 2 + 2；
第 3 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：8 = 3 × 2 + 2；
⋯⋯
所以第 n 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(2? + 2)个．当? = 9时，2? + 2 = 2 × 9 + 2 = 20（个），
即第 9 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 20 个．故选：B．
3．（2026·重庆·模拟预测）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有 3 个正方形，第二代勾股树中有 7 个正方形，第三代勾股树
中有 15 个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（）
A．15B．31C．63D．127
【答案】D
【分析】由已知图形观察规律，结合有理数的乘方运算即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有22−1 = 3（个），第二代勾股树中正方形有23−1 = 7（个），
第三代勾股树中正方形有24−1 = 15（个），
∴第四代勾股树图形中正方形的个数有25−1 = 31（个）；
∴第五代勾股树图形中正方形的个数有26−1 = 63（个）；
∴第六代勾股树图形中正方形的个数有27−1 = 127（个）．
4．（2026·山东淄博·一模）将形状、大小完全相同的小圆点“．”按如图所示的规律拼成图案，其中第 1 个
图案中有 6 个小圆点，第 2 个图案中有 11 个小圆点，第 3 个图案中有 16 个小圆点，…，按此规律排列下去，则第 133 个图案中小圆点的个数为．
【答案】666
【分析】观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加 5 个小圆点，因此可得出第 n
个图案的小圆点的数量为(5? + 1)，再将? = 133代入求解即可．
【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“．”的个数为6 = 5 × 1 + 1，第②个图案中“．”的个数为11 = 5 × 2 + 1，
第③个图案中“．”的个数为16 = 5 × 3 + 1，
⋮，
∴第 n（n 为正整数）个图案中“．”的个数为(5? + 1)，
∴第 133 个图案中“．”的个数为5 × 133 + 1 = 666．
5．（2026·陕西咸阳·一模）我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角
垛”．如图，第 1 个图形的最底层有 2 颗弹珠，第 2 个图形的最底层有 3 颗弹珠，第 3 个图形的最底层有
4 颗弹珠，…，依照此规律，第 209 个图形的最底层有颗弹珠．
【答案】210
【分析】找到规律：第?个图形的最底层有? + 1颗弹珠，根据规律求解即可．
【详解】解：第 1 个图形的最底层有 2 颗弹珠，
第 2 个图形的最底层有 3 颗弹珠，
第 3 个图形的最底层有 4 颗弹珠，
…，
所以得到规律：第?个图形的最底层有? + 1颗弹珠，依照此规律，第 209 个图形的最底层有210颗弹珠．
题型八：算式规律
抓结构、符号、数字变化，写出第 n 个算式。
辨易错：遗漏变化项、通式书写错误。
1．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：第 1 个：1 × 2−2 = 22 × 0
第 2 个：4 × 3−3 = 32 × 1
第 3 个：9 × 4−4 = 42 × 2
第 4 个：16 × 5−5 = 52 × 3
按照以上规律，第?个等式为．
【答案】?2(? + 1)−(? + 1) = (? + 1)2(?−1)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加 1 减去序号加 1 的结果等于序号加 1 的平方乘以序号减 1，据此可得答案．
【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加 1 减去序号加 1 的结果等于序号加 1 的平方乘以序号减 1，
所以第?个等式为：?2(? + 1)−(? + 1) = (? + 1)2(?−1)，
故答案为：?2(? + 1)−(? + 1) = (? + 1)2(?−1)．
2．（2025·宁夏银川·一模）观察以下等式：
1
第一个等式：2 × (1 + 1) = 3−2，
1
2
4
第二个等式：3 × 1 +
1
3
7
第三个等式：4 × 1 +
10
第四个等式： 5 × 1 +
13
第五个等式： 6 × 1 +
……
= 3−1，
2
= 3−3，
1
4
2
= 3−4，
1
5
2
= 3−5，
按照以上规律，第 n 个等式为．
3?−2
【答案】 ?+1 × 1 +
2
1
?
= 3−?
【分析】本题考查数字类规律探究，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律．根据前几个等式左右式子的变化，进而可得结论．
1
【详解】解：第一个等式：2 × (1 + 1) = 3−2，
1
2
4
第二个等式：3 × 1 +
7
第三个等式：4 × 1 +
= 3−1，
1
3
2
= 3−3，
10
第四个等式： 5 × 1 +
13
第五个等式： 6 × 1 +
……
2
1
4
= 3−4，
1
5
2
= 3−5，
1
?
3?−22
按照以上规律，第 n 个等式为?+1 × 1 += 3−?，
3?−2
2 + 3
2
故答案为： ?+1 × 1 +
3．观察下列各式
2
1
?
= 3−?
3 + 8
3
2
= 2 3；
3
4 + 15
4
= 3 8；
4
= 4 15．
根据以上规律猜想
5
5 + ?
5
= 5 ?，a 为正整数，则? = ．
你从以上各式发现什么规律？请用含有 n 的式子将规律表示出来．并注明 n 的取值范围．
证明你在（2）中写出的等式是正确的．
?
?2−1
【答案】(1)24
? +
?2−1
?
(2)
= ?
（? ≥ 2，n 为整数）
(3)见解析
【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减 1 的差，由分子写出 a 值即可；
归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可；
利用二次根式的性质及化简公式证明即可．
?
?2−1
【详解】（1）解：根据前 3 个式子，可得故 a 为 24．
5
5 + 24
5
= 5 24：
?
? +
?2−1
解：①由前面式子得出：
= ?
（? ≥ 2，且 n 为整数）．
? +
?2−1
?
证明：
?(?2−1) + ?
?2−1
=
?3−? + ?
?2−1
=
?3
?2−1
=
?
?2−1
= ?
（? ≥ 2，且 n 为整数）．
4．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式：
111
第 1 个等式：1−1×2 + 2 = 1，
112
第 2 个等式：2−2×3 + 3 = 1，
113
第 3 个等式：3−3×4 + 4 = 1，
114
第 4 个等式：4−4×5 + 5 = 1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
写出第 6 个等式；
写出你猜想的第 n（n 为正整数）个等式：（用含 n 的等式表示），并证明．
116
【答案】(1)6−6×7 + 7 = 1
11?
(2)?−?(?+1) + ?+1 = 1，证明见解析
111
【详解】（1）解：第 1 个等式：1−1×2 + 2 = 1，
112
第 2 个等式：2−2×3 + 3 = 1，
113
第 3 个等式：3−3×4 + 4 = 1，
114
第 4 个等式：4−4×5 + 5 = 1，
115
第 5 个等式：5−5×6 + 6 = 1，
116
第 6 个等式：6−6×7 + 7 = 1；
11?
（2）解：根据前面的式子规律可得第 n（n 为正整数）个等式：?−?(?+1) + ?+1 = 1，证明如下：
11?
? − ?(? + 1) + ? + 1
? + 11
?2
= ?(? + 1) − ?(? + 1) + ?(? + 1)
?2 + ? + 1−1
=?(? + 1)
?2 + ?
= ?2 + ?
= 1
5．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式：
42
第 1 个等式：3−1 = 1−3；
164
第 2 个等式： 5 −3 = 1−5；
366
第 3 个等式： 7 −5 = 1−7；
648
第 4 个等式： 9 −7 = 1−9；…
按照以上规律，解决下列问题：
写出第 5 个等式：；
写出你猜想的第?个等式：（用含?的等式表示），并证明．
10010
【答案】(1) 11 −9 = 1−11
4?2
2?
(2)2?+1−(2?−1) = 1−2?+1；见解析
【分析】（1）根据前 4 个等式即可写出第 5 个等式；
4?2
2?
（2）由（1）中规律得：第?个等式：2?+1−(2?−1) = 1−2?+1，根据分式的加减运算分别计算左右两边，
即可．
42
【详解】（1）解：第 1 个等式：3−1 = 1−3；
164
第 2 个等式： 5 −3 = 1−5；
366
第 3 个等式： 7 −5 = 1−7；
648
第 4 个等式： 9 −7 = 1−9；
10010
第 5 个等式： 11 −9 = 1−11
4?2
2?
（2）解：由（1）中规律得：第?个等式：2?+1−(2?−1) = 1−2?+1，证明如下：
4?2
左边 = 2?+1−(2?−1)
4?2−(4?2−1)
=2? + 1
1
= 2? + 1
2?
右边 = 1−2?+1
2? + 1−2?
=2? + 1
1
= 2?+1，
∴左边 = 右边．
考点 03代数计算易错专练
高频易错：符号错误、去括号漏乘、运算顺序颠倒。
整式乘除、乘法公式、因式分解基础。
隐含条件：分母≠0、被开方数≥0、二次项系数不为 0。
含参计算：分类讨论、恒成立 / 有解问题处理。
题型九：基础计算易错专练
计算： ? + 2 +
【答案】−2?−6
2?−4
5
2−?
步步核对符号、去括号、运算顺序，先定号再定值。
去括号变号不全、乘方与乘法混淆。
⋅ 3−?
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的加减乘除混合运算是关键．先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可．
【详解】解：? + 2 +
5
?−2
2?−4
2?−4
5
2−?
⋅ 3−?
= ? + 2−
⋅ 3−?
5
?−2
2?−4
?2−4
?−2
=
?2−9
= ?−2 ⋅
−
2?−4
3−?
⋅ 3−?
(?−3) (? + 3) 2(?−2)
=?−2⋅ −(?−3)
= −2(? + 3)
= −2?−6．
2．（2025·江苏常州·模拟预测）（1）计算：|−2|−(1 + π)0 +4sin30°；
（2）化简：2(? + 1)−(? + 1)2．
【答案】（1）3；（2）1−?2
【分析】本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、含特殊角三角函数的混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先利用绝对值的性质、零指数幂、特殊锐角三角函数值化简，然后再计算即可；
利用去括号法则、完全平方公式计算，然后再合并同类项即可．
【详解】解：（1）|−2|−(1 + π)0 +4sin30°
1
= 2−1 + 4 × 2
= 2−1 + 2
= 3；
（2）2(? + 1)−(? + 1)2
= 2? + 2−(?2 + 2? + 1)
= 2? + 2−?2−2?−1
= 1−?2．
28
3．（2025·青海西宁·中考真题）（1）计算：3 −8−
（2）化简：(2? + ?)2−(2? + ?)(2?−?)．
【答案】（1）− 7−4；（2）4?? + 2?2．
+ |2− 7|．
【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，二次根式的加减，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键．
先计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行二次根式的加减即可；
先计算完全平方公式，平方差公式，再进行合并同类项即可．
7
【详解】解：（1）原式 = −2−2+ 7−2
= − 7−4．
（2）原式 = (4?2 + 4?? + ?2)−(4?2−?2)
= 4?2 + 4?? + ?2−4?2 + ?2
= 4?? + 2?2．
4．（2025·河南驻马店·模拟预测）（1）计算：2−1 + 4−(−2026)0
1
?
?2−1
（2）化简： 1 +
3
【答案】（1）2；
1
（2）?−1
÷ ? ．
【分析】本题考查的知识点是整数指数幂、求一个数的算术平方根、有理数的加减混合运算、分式的混合运算、平方差公式，解题关键是熟练掌握相关计算法则．
先根据整数指数幂、求一个数的算术平方根计算，再根据有理数的加减混合运算即可得解；
结合平方差公式，根据分式的混合运算即可化简．
【详解】（1）解：2−1 + 4−(−2026)0，
1
= 2 +2−1，
3
= 2；
（2）解： 1 +
?2−1
1
?
÷ ? ，
?+1?
= ? × (?+1)(?−1)， 1
= ?−1．
5．（2025·江苏徐州·中考真题）计算：
(1)(−1)2025 + 20260−
1
?−1
?
−1
1
3
3
+ 27；
(2) 1 +÷ 2．
? −1
【答案】(1)0
(2)? + 1
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，立方根的含义，分式的混合运算；
先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，立方根，再合并即可；
先计算括号内分式的加法运算，再计算除法运算即可．
【详解】（1）解：(−1)
= −1 + 1−3 + 3
= 0；
2025
+ 20260
−1
1
3
3
27
−+
（2）解：1 +
?−1 + 1?
?
1
?−1
÷ ?2−1
=?−1÷ ?2−1
?
= ?−1 ⋅
(? + 1) (?−1)
?
= ? + 1．
题型十：乘法公式与因式分解
熟记公式结构，先判断类型再套用；因式分解要彻底。
公式结构记错、分解不彻底。
1．（2024·云南·中考真题）分解因式：?3−9? = （ ）
A．?(?−3)(? + 3)B．?(?2 + 9)C．(?−3)(? + 3)D．?2(?−9)
【答案】A
【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
将?3−9?先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：?3−9? = ?(?2−9) = ?(? + 3)(?−3)，故选：A．
2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当? + ? = 3时，代数式2(? + 2?)−(3? + 5?) + 5的值为 ．
【答案】2
【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得−?−? + 5，再把前两项提取−1，然后把? + ? = 3的值代入可得结果.
【详解】解：2(? + 2?)−(3? + 5?) + 5
= 2? + 4?−3?−5? + 5
= −?−? + 5
= −(? + ?) + 5
当? + ? = 3时，原式 = −3 + 5 = 2，故答案为：2．
【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键.
3．（2024·福建泉州·二模）分解因式： (1)?2−36；
(2)??2−10?? + 25?．
【答案】(1)(? + 6)(?−6)
(2)?(?−5)2
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
利用平方差公式分解因式即可；
先提取公因式 m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：?2−36 = (? + 6)(?−6)；
（2）解：??2−10?? + 25?
= ?(?2−10? + 25)
= ?(?−5)2．
4．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：| 3−2| + (π−3.14)0−
（2）因式分解：9?2(?−?) +4?2(?−?)．
【答案】（1）0；（2）(?−?)(3? + 2?)(3?−2?)
−1
1
3
+3tan30°；
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，因式分解．
分别计算绝对值，零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算；
先将原式变形为9?2(?−?)−4?2(?−?)，然后提取公因式(?−?)，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：（1）| 3−2| + (π−3.14)0−
3
3
−1
1
3
+3tan30°
= 2−
3
= 2−
= 0；
+ 1−3 + 3 × 3
3
+ 1−3 +
（2）9?2(?−?) +4?2(?−?)
= 9?2(?−?)−4?2(?−?)
= (?−?) (9?2−4?2)
= (?−?) (3? + 2?) (3?−2?)
1
6
−1
01
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（1）计算：(−2025) −
（2）因式分解：2?(? + 2?)−(? + 2?)2．
【答案】（1）−5
（2）(? + 2?)(?−2?)
+2cs60° + |1− 3|−3 × 27；
【分析】（1）按照先分别计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式乘法，再进行加减运算的思路求解．
（2）通过提取公因式(? + 2?)来进行因式分解．
【详解】（1）解：(−2025)0−
−11
1
6
27
+2cs60° + |1− 3|−3 ×
3
11
= 1−6 + 2 × 2 + 3−1− 3 × 3
3
= 1−6 + 1 + 3−1−
=−5；
（2）解：2?(? + 2?)−(? + 2?)2
= (? + 2?) (2?−?−2?)
= (? + 2?)(?−2?)．
【点睛】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式运算以及因式分解，熟练掌握相关运算法则和因式分解方法是解题的关键．
题型十一：含参计算与分类讨论
先确定参数约束条件，再分情况计算。
漏看参数限制、分类讨论不全、忽略分母 / 根式有意义条件
若−??2?|?−1|是关于 x、y 的 10 次单项式，且系数是 8，则? + ? = ．
【答案】1 或−15/−15或 1
【分析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的定义是解题关键．利用单项式的定义得出 m 的值，进而利用单项式次数的定义得出 n 的值，进而得出答案．
【详解】∵−??2?|?−1|是关于 x、y 的 10 次单项式，且系数是 8，
∴−? = 8，2 + |?−1| = 10，
∴? = −8,?−1 =± 8，
∴? = 9或−7，
当? = −8,? = 9时，? + ? = −8 + 9 = 1；
当? = −8,? = −7时，? + ? = −8−7 = −15；综上，? + ?的值为 1 或−15，
故答案为：1 或−15．
已知关于?和?的整式(2−?)?−??|?|−1 +5是一个二次三项式，则? = ．
【答案】−2
【分析】本题考查多项式定义，熟记多项式定义是解决问题的关键．
根据二次三项式的定义，整式需包含三项且最高次项的次数为 2，从而列出式子求解即可得到答案．
【详解】解： ∵ 关于?和?的整式(2−?)?−??|?|−1 +5是一个二次三项式，
∴ 2−? ≠ 0，且1 + (|?|−1) = 2，解得? =± 2，且? ≠ 2，
∴ ? = −2，
故答案为：−2．
已知 a 是正整数，且 31−?的值是整数，则正整数 a 所有可能的值的和为（ ）
A．136B．131C．100D．94
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据
31−?是整数，求出 a 的取值范围，再根据 a 是正整数，即可得出答案．
【详解】解：∵a 是正整数， 31−?的值是整数，
∴0 < ? ≤ 31
当31−? = 0时，即? = 31，当31−? = 1时，即? = 30，
当31−? = 4时，即? = 27，当31−? = 9时，即? = 22，当31−? = 16时，即? = 15，当31−? = 25时，即? = 6，
综上所述，正整数 a 的值可以是 31，30，27，22，15，6，
∴所有可能的 a 之和为31 + 30 + 27 + 22 + 15 + 6 = 131．
6
4．（2024•云南模拟）若
2?+3
表示一个整数，则整数 x 可取值的个数是（）
A．2 个B．3 个C．4 个D．8 个
【答案】C．
6
【分析】由表示一个整数且 x 为整数，则 2x+3＝±1 或 2x+3＝±2 或 2x+3＝±3 或 2x+3＝±6，进而
2?+3
求出 x 的值．
6
【详解】解：∵表示一个整数且 x 是整数，
2?+3
∴2x+3＝±1 或 2x+3＝±2 或 2x+3＝±3 或 2x+3＝±6．当 2x+3＝1，则 x＝﹣1．
当 2x+3＝﹣1，则 x＝﹣2．
当 2x+3＝2，则 x
1
= − （不合题意，故舍去）．
2
当 2x+3＝﹣2，则 x
5
= − （不合题意，故舍去）．
2
当 2x+3＝3，则 x＝0．
当 2x+3＝﹣3，则 x＝﹣3．
当 2x+3＝6，则 x = 3（不合题意，故舍去）．
2
当 2x+3＝﹣6，则 x
9
= − （不合题意，故舍去）．
2
综上，整数 x 的取值有﹣1、﹣2、0、﹣3．故选：C．
【点睛】本题主要考查分式，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
5．（2025·青海·中考真题）先化简 1−
2
?
?+2
÷ 2，再从−2，0，1中选一个合适的数代入求值．
? −4
【答案】?−2，? = 0时，值为−2，? = 1时，值为−1
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可．
【详解】解： 1−
2
?
?+2
÷ ?2−4
? + 2
= ? + 2 −
2
?
? + 2
÷ ?2−4
22
= ?+2 ÷ ?2−4
2
= ? + 2 ×
?2−4
2
2
= ?+2 ×
= ?−2
(?+2)(?−2) 2
由于? + 2 ≠ 0,?−2 ≠ 0，
∴? ≠± 2
把? = 0代入原式 = 0−2
= −2；
把? = 1代入原式 = 1−2
= −1．
1．（2025·河北·中考真题）计算：( 10 + 6)( 10− 6) = （ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
22
【详解】解：( 10 + 6)( 10− 6) = ( 10) −( 6) = 10−6 = 4
故选：B．
41
2．（2026·天津红桥·一模）计算?2−4 + 2−?的结果等于（ ）
1111
A．?−2B．?+2C．2−?D．−?+2
【答案】D
4
【详解】解： 2
1
+ 2−?
? −4
4
? + 2
= (?−2) (? + 2) − (?−2) (? + 2)
4−?−2
= (?−2) (? + 2)
2−?
= (?−2) (? + 2)
1
= −?+2．
3．（2026·重庆·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有 5 朵太阳花，第②个图中有 9
朵太阳花，第③个图中有 13 朵太阳花，第④个图中有 17 朵太阳花…按照这一规律，则第⑧个图中太阳花的个数是（ ）
A．21B．25C．29D．33
【答案】D
【分析】观察图形得出第?个图中太阳花的个数是4? + 1，再代入? = 8，计算即可得出结果．
【详解】解：由所给图形可知：
第①个图中太阳花的个数是：1 × 4 + 1 = 5；第②个图中太阳花的个数是：2 × 4 + 1 = 9；第③个图中太阳花的个数是：3 × 4 + 1 = 13；
…，
∴第?个图中太阳花的个数是：4? + 1，
∴第⑧个图中太阳花的个数是4 × 8 + 1 = 33．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式3?2−12分解因式的结果是．
【答案】3(? + 2)(?−2)
【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式．
【详解】解：3?2−12
= 3(?2−4)
= 3(? + 2)(?−2)．
故答案为：3(? + 2)(?−2)．
5．（2026·黑龙江绥化·二模）因式分解：−3?2 +12??−12?2 = ．
【答案】−3(?−2?)2
【详解】解：−3?2 +12??−12?2
= −3(?2−4?? + 4?2)
= −3(?−2?)2．
6．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：( 5−2)
2025
(
+ 2)
2026
的结果是．
5
5
【答案】+2
【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果．
5
2025
【详解】解：( 5−2)(
2026
+ 2)
= ( 5−2)2025(
5
= [( 5−2) (
+ 2)2025(
5
5
+ 2)]2025(
+ 2)
5
+ 2)
5
= [( 5)2−22]2025(
+ 2)
= (5−4)2025(
5
= 12025 × (
+ 2)
5
+ 2)
5
=+2，
5
2025
∴( 5−2)(
2026
5
+ 2)的结果是
+2．
7．（2026·浙江·一模）化简求值：(2? + 3?)(2?−3?)−(?−2?)2，其中? = 3，? = −2．
【答案】化简为3?2 +4??−13?2，值为−49
【详解】解：(2? + 3?)(2?−3?)−(?−2?)2，
= 4?2−9?2−(?2−4?? + 4?2)，
= 4?2−9?2−?2 +4??−4?2，
= 3?2 +4??−13?2，
当? = 3，? = −2，原式 = 3 × 32 +4 × 3 × (−2)−13 × (−2)2 = 27−24−52 = −49．
8．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：2sin60° + (3.14−π)0−
5
2−?
?2−6?+9
?−1
−1
3
27
1
2
+
（2）先化简，再求值：
?−2÷ ? + 2 +
，其中?是使不等式
2 ≤ 1成立的正整数．
?−31
【答案】（1） 3；（2）?+3，−2
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可；
先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数?的值，再代入数据计算即可．
2
【详解】解：（1）原式 = 2 × 3 +1−3 + 2
3
=+ 1−3 + 2
= 3；
?2−6?+95
（2） ?−2÷ (? + 2 + 2−?)
(?−3)2
=?−2 ÷
(?−3)2
(? + 2)(?−2)−5
?−2
?2−9
=?−2 ÷ ?−2
(?−3)2?−2
=?−2 ⋅ ?2−9
(?−3)2
?−2
=?−2 ⋅ (? + 3)(?−3)
?−3
= ?+3，
?−1
∵ ?是使不等式
2 ≤ 1成立的正整数，
∴ ? ≤ 3且?为正整数，
∴ ? = 1，2，3，
又∵ ?−2 ≠ 0，(? + 3)(?−3) ≠ 0，
∴ ? ≠ 2，3，−3，
∴ ? = 1，
1−31
当? = 1时，原式 = 1+3 = −2．
9．（2026·贵州铜仁·一模）解答
1
2
−2
计算：(2026−π)0−∣2− 12∣ +
下面是小涵同学进行分式化简的过程：
化简
第一步
第三步
?−1 −1
÷
?2−1
?
解：原式 =
2?−1?−1
?−1 − ?−1
÷ (?−1)(?+1)
?
2?−1
=
2?−1−?−1
?−1
×
(?−1)(?+1)
?
第二步
=
(?−2)(?+1)
?
①小涵同学的化简过程从第步开始出现错误：
②请写出正确的化简过程，并从−1，0，1，2 中选择喜欢的数代入求值．
3
【答案】(1)7−2
(2)①二；②? + 1，当? = 2时，原式 = 3
【分析】（1）根据零指数幂的意义，绝对值的意义，负整数指数幂的意义，二次根式的性质等计算即可；
（2）①根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
②先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有意义的条件，得出?的值，最后将?的值代入进行计算即可；
1
2
−2
【详解】（1）解 ：(2026−π)0−∣2− 12∣ +
= 1−(2 3−2) + 4
3
= 1−2+ 2 + 4
= 7−2 3；
（2）①解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
2?−1
?−1
∴小涵同学的化简过程从第二步开始出现错误，故答案为：二；
②解：原式 =
−
?
?−1
?−1
÷ (?−1)(?+1)
2?−1−? + 1
=?−1⋅
(?−1) (? + 1)
?
?
= ?−1 ⋅
(?−1) (? + 1)
?
= ? + 1，
?−1 ≠ 0
∵ ?2−1 ≠ 0 ，
? ≠ 0
∴ ? ≠ 0,? ≠± 1，
∴ 取? = 2，则原式 = 2 + 1 = 3．
10．（2026·山东东营·一模）计算和化简求值
计算：−
−2
1
2
2
(1− 2)
+ (2017−?)0−
+2cs45°；
?2+4?+4
4
?−2
?2−4
先化简，再求值：
值代入求值．
【答案】(1)6
?2+2? ⋅ ?2−4?+4 ÷
+ 1 ，从−2 ≤ ? ≤ 2的范围内选择一个你喜欢的整数作为 x 的
(2)
?+2
? ，当? = 1时，原式 = 3；当? = −1时，原式 = −1（答对一个即可）
【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从−2 ≤ ? ≤ 2选一个使原分式有意义的数代入计算即可．
2
【详解】（1）解：原式 = 4 + 1−( 2−1) +2 × 2
2
2
= 4 + 1−+ 1 +
= 6．
(?+2)2
（2）解：原式 = ?(?+2) ⋅
?+2 ?+2 ?−2
(?+2)(?−2)?+2 (?−2)2÷ ?−2
= ? ∙?−2∙?+2
?+2
= ? ，
∵−2 ≤ ? ≤ 2，且? ≠ 0， ± 2，
∴整数? = 1或−1，
∴当? = 1时，原式 =
1+2
1 = 3
当? = −1时，原式 =
−1+2
−1 = −1（答对一个即可）．
11．（2026·贵州铜仁·模拟预测）按要求完成各题
从①|1− 2|②−2sin45°③−12④(π−3)0任意选择三个式子进行加法计算．
1
?
?2−2?+1
化简求值
?÷ 1−
，先化简，再从−1，0，1 中选择一个合适的数代入求值．
2
【答案】(1)选择①②③：−2；选择①②④：0；选择①③④： 2−1；选择②③④：−
(2)?−1；? = −1时，原式 = −2
【分析】（1）根据绝对值的化简计算，特殊角的正弦值，指数幂的运算求解即可．
（2）先根据分式的运算化简，再根据分式有意义可得只能代入−1求解即可．
2
【详解】（1）解：选择①②③：|1− 2|−2sin45°−12 = 2−1−2 × 2−1 = −2；
2
选择①②④：|1− 2|−2sin45° + (π−3)0 = 2−1−2 × 2 +1 = 0；选择①③④：|1− 2|−12 + (π−3)0 = 2−1−1 + 1 = 2−1；
2
选择②③④：−2sin45°−12 + (π−3)0 = −2 × 2−1 + 1 = − 2．
1
?
?2−2?+1
（2）解：?÷ 1−
(?−1)2?−1
=?÷ ?
(?−1)2?
=?× ?−1
= ?−1，
∵原式中? ≠ 0，且?−1 ≠ 0，即? ≠ 0，且? ≠ 1，
∴代入? = −1，原式 = −1−1 = −2．
12．（2026·广西玉林·一模）综合与实践：月历中的奥秘
【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？
【初步探究】如图 1 是 2026 年 1 月的月历，在月历中用如图 2 中所示的“?型框”框住四个数?, ?, ?, ?．
(1)用含?的代数式表示? = ；? = ．
【拓展探究】探究??−??的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由．
(3)【迁移运用】是否存在这样的?型框，使得?? = 2??？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)? + 1，? + 9
(2)??−?? = −8，理由见解析
不存在，理由见解析
【分析】（1）根据所给“Z 型框”的特征，用含 a 的代数式分别表示出 b 和 d 即可；
根据题意，用 a 分别表示出其余字母，再据此进行计算即可；
（3）结合（2）中??−?? = −8可求出?? = −8，然后根据 b、c 是正整数即可判断．
【详解】（1）解：由题意得：? = ? + 1，? = ? + 1 + 7 + 1 = ? + 9；
（2）解：??−?? = −8，理由如下：
∵? = ? + 1,? = ? + 8,? = ? + 9，
∴??−?? = ?(? + 9)−(? + 1)(? + 8) = ?2 +9?−?2−9?−8 = −8；
解：假设存在，
∵??−?? = −8，?? = 2??，
∴2??−?? = −8，
∴?? = −8，
∵b、c 是正整数，
∴?? > 0，
∴?? = −8不符合题意，
∴不存在．