2026年人教版中考数学二轮复习：函数基础知识练习（有答案）

这是一份2026年人教版中考数学二轮复习：函数基础知识练习（有答案），共3页。
度沿线段 AB 运动到点 B 停止，同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 B﹣C﹣D 运动
到点 D 停止．图②是点 P，Q 运动时△BPQ 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系的图象，则 m 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2026•哈尔滨模拟）如图 1，在△ABC 中，点 P 从点 A 出发向点 C 运动，在运动过程中，设 x 表示线
段 AP 的长，y 表示线段 BP 的长，y 与 x 之间的关系如图 2 所示，下列结论不正确的是（ ）
A．AC＝4 B．BC＝2
C．tan∠BAP D．AB2+BC2＝AC2
3．（2026•浙江一模）如图 1，在 Rt△ABC 中，D 是边 AB 的中点．点 E 在斜边 AC 上，从点 A 出发，运动
到点 C 时停止．设 AE 为 x，DE2 为 y．如图 2，y 关于 x 的函数图象与 y 轴交于点 P（0，100），且经过
N（n﹣9，100）和最高点 M（n，m）两点．下列选项正确的是（ ）
A．∠A＝30° B．m＝325
C．n＝24 D．y 的最小值为 64
4．（2025•武汉）如图 1，在△ABC 中，D 是边 AC 上的定点．点 P 从点 A 出发，依次沿 AB，BC 两边匀速
运动，运动到点 C 时停止．设点 P 运动的路程为 x，DP 的长为 y，y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，其
中 M，N 分别是两段曲线的最低点．点 N 的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025•鲁山县三模）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图
甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数 F 拉
力（单位：N）与铁块下降的高度 x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（ ）
A．铁块的高度为 4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 10cm
C．当铁块下降的高度为 8cm 时，该铁块所受到的浮力为 3.25N
D．当弹簧测力计的示数为 3N 时，此时铁块距离烧杯底
6．（2025•宁夏模拟）如图 1，在矩形 ABCD 中，BC＝4，E 是 BC 边上的一个动点，AE⊥EF，EF 交 CD
于点 F，设 BE＝x，CF＝y，图 2 是点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，y 关于 x 的函数图象，则 AB 的
长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2025•东营）如图，在同一平面内放置的 Rt△EFG 和矩形 ABCD，EG 与 AB 重合，FG＝3cm，AB＝4cm
，BC＝5cm，Rt△EFG 以 1cm/s 的速度沿 BC 方向匀速运动，当点 F 与点 C 重合时停止，在运动过程中，
Rt△EFG 与矩形 ABCD 重叠部分的面积 S（cm2）与运动时间 t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025•肥城市三模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数 的图象，输入了一组 a，b 的值，
得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的 a，b 的值应满足（ ）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
9．（2025•哈尔滨）如图，在▱ ABCD 中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝3．点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单
位长度的速度沿折线 AD→DC 运动，同时点 Q 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 向点 B
运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△BPQ 的面积为 y，运动时间为 x 秒，
则下列图象中大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025•盐田区二模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从 A 地到相距 6000
米的 B 地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相
遇截止时，两人的距离 y（米）与跑步时间 x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（ ）
A．a＝1200 B．b＝1500 C．c＝45 D．
二．填空题（共 5 小题）
11．（2025•冠县一模）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常
会记录每行进 1km 所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加 5km 的骑行比赛，他骑行的“配
速”如图所示，则下列说法中正确的是 ．
①第 1km 所用的时间最长；
②第 5km 的平均速度最大；
③第 2km 和第 3km 的平均速度相同；
④前 2km 的平均速度大于最后 2km 的平均速度．
12．（2025•淮北校级三模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积 V 改变时，气体的
密度ρ也随之改变，ρ与 V 在一定范围内满足关系式 （m 是常数，且 m≠0），它的图象如图所示，
当ρ为 3.6kg/m3 时，V 的值为 ．
13．（2025•湖南）甲、乙两人在一次 100 米赛跑比赛中，路程 s（米）与时间 t（秒）的函数关系如图所示，
填 （“甲”或“乙”先到终点）．
14．（2025•深圳二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图 1 所示的小孔成像实验．当像
距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高 y（单位：cm）与物距（小
孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的函数图象（如图 2 所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高
不得低于 4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是 厘米．
15．（2025•龙凤区校级一模）如图 1，点 P 从等边三角形 ABC 的顶点 A 出发，沿直线运动到三角形内部一
点，再从该点沿直线运动到顶点 B．设点 P 运动的路程为 x， ，图 2 是点 P 运动时 y 随 x 变化
的关系图象，则等边三角形 ABC 的边长为 ．
三．解答题（共 5 小题）
16．（2026•大渡口区模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点 P 从点 C 出发，以每
秒 1 个单位长度的速度沿着 C→A→B 匀速运动，点 P 的运动时间为 x 秒，△PBC 的面积为 y1，BC 与
点 P 的运动路程的比为 y2．
（1）请直接写出 y1，y2 分别关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出 y1，y2 的图象，并写出函数 y1 的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当 y1≥y2 时，x 的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过
0.2）．
17．（2025•开封二模）如图，△ABC 的顶点为网格线的交点，反比例函数 的图象过格点 A，B．将
△ABC 先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到点 C 的对应点 C′．
（1）求过点 C′的反比例函数解析式，并画出其图象（x＜0）．
（2）在过点 C′的反比例函数图象上任取一点 D，过点 D 向 y 轴作垂线，交 的图象于点 E，连
接 DO，EO，△ODE 的面积会发生变化吗？若不变化，求出△ODE 的面积；若变化，请说明理由．
18．（2025•重庆模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，连接 BD，动点 P 从点 A 出发沿折线 A﹣B﹣D
方向运动，同时动点 Q 沿射线 CB 方向运动，动点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位长度，当点 P 到
达点 D 时，P，Q 两点时同时停止运动，连接 DP，DQ．设运动的时间为 x 秒（0＜x＜8），记△ADP 的
面积为 y1，△BCD 的面积与△DCQ 的面积之比为 y2．
（1）请直接写出 y1，y2 分别关于 x 的函数表达式，并注明自变量 x 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数 y1，y2 的图象，并写出 y1 的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过 0.2）．
19．（2025•海淀区一模）科学兴趣小组利用不同材料制作了 A，B 两种太阳能电池板，记录了在一定条件
下，当光照强度为 x（单位：klx）时，A 电池板的输出电压 y1（单位：V）和 B 电池板的输出电压 y2（单
位：V）．部分数据如下：
x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画 y1 与 x，y2 与 x 之间的关系，回答下列问题：
（1）①y1 可以看作是关于 x 的正比例函数，则 m 的值为 ；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出 y2 中不符合这条规律的数据，在表格中
划“×”；
（2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出 y1，y2 两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为 55klx 时，B 电池板的输出电压与 A 电池板的输出电压之差约为 V（结果保
留小数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于 6.5V，则光照强度应至少达到 klx（结果保留
整数）．
20．（2025•昌邑区校级三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质
量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气
的密度ρ（单位：kg/m3）随容器体积 V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示，结合如表信息窗中的
内容，解答下列问题．
信息窗
① （m 表示物体的质量）．
②标准大气压下，氧气的密度约为 1.43kg/m3．
（1）该容器内氧气的质量为 kg．
（2）求容器内氧气的密度ρ关于体积 V 的函数解析式．
（3）若该容器的体积 V 为 25m3，求氧气的密度ρ．
2026 年中考数学二轮复习之函数基础知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．（2026•黄石一模）如图①，在菱形 ABCD 中，∠B＝45°，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速
度沿线段 AB 运动到点 B 停止，同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 B﹣C﹣D 运动
到点 D 停止．图②是点 P，Q 运动时△BPQ 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系的图象，则 m 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意可得 AB＝BC＝CD＝6，分当点 Q 在 BC 上时，即 0≤t＜3 时和当点 Q 在 CD 上时，
即 3≤t≤6 时，分别表示出 S△BPQ，分析可知当点 Q 到达点 C 时，S＝m，此时 t＝3，代入进行计算即
可得到答案．
【解答】解：由题图 2 得，t＝6 时，点 P 停止运动，
∴点 P 以每秒 1 个单位速度从点 A 运动到点 B 用了 6 秒，
∴AB＝BC＝CD＝6，
由点 P 和点 Q 的运动可知，AP＝t，BP＝6﹣t，
当点 Q 在 CD 上时，即 3≤t≤6 时，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，
∴ ，
过 点 P 作 PM⊥ BC 交 BC 于 M，
，
当点 Q 在 BC 上时，即 0≤t＜3 时，BQ＝2t，
过点 P 作 PM⊥BC 交 BC 于 M，
∵∠B＝45°，
∴ ，
∴ ，
由上可知，当点 Q 到达点 C 时，S＝m，
即当 t＝3 时， ，
故选：C．
【点评】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合
图 2 得出 AB、BC 的长．
2．（2026•哈尔滨模拟）如图 1，在△ABC 中，点 P 从点 A 出发向点 C 运动，在运动过程中，设 x 表示线
段 AP 的长，y 表示线段 BP 的长，y 与 x 之间的关系如图 2 所示，下列结论不正确的是（ ）
A．AC＝4 B．BC＝2
C．tan∠BAP D．AB2+BC2＝AC2
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】分析当点 P 在点 A 处、点 P 到达 AC 边高（BH）的位置、AP 到达点 C 处，P 点的位置对应 2
个图中的位置关系，即可求解．
【解答】解：如图所示，
①当点 P 在点 A 处时，即当 AP＝0 时，AB＝2，
②当点 P 到达 AC 边高（BH）的位置时，AH＝1，此时 BP 最小，即 BH ，
③当 AP＝4 时，点 P 对应图 2 末端 x＝4 时，即 AC＝4，则 HC＝AC﹣AH＝4﹣1＝3，
则：BC ，
∴ ，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴ ．
综上所述，选项 A、B、D 不合题意，选项 C 符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是动点的函数图象，此类题目的核心是在图形和图象上，找到动点位置在两个图上
的对应位置关系，这类题目有一定的难度．
3．（2026•浙江一模）如图 1，在 Rt△ABC 中，D 是边 AB 的中点．点 E 在斜边 AC 上，从点 A 出发，运动
到点 C 时停止．设 AE 为 x，DE2 为 y．如图 2，y 关于 x 的函数图象与 y 轴交于点 P（0，100），且经过
N（n﹣9，100）和最高点 M（n，m）两点．下列选项正确的是（ ）
A．∠A＝30° B．m＝325
C．n＝24 D．y 的最小值为 64
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】结合图象可求出 AB 的长，过点 D 作 DF⊥AC 交 AC 于点 F，由图 2 知，点 M（n，m）为最高
点，当点 E 和点 C 重合时，DE 最大，根据三角函数和勾股定理可求出 n 和 m，进而判断选项 B 和选项
C；用 csA 的值可判断选项 A；当 DE⊥AC，即点 E 和点 F 重合时，DE 有最小值，进而判断选项 D．
【解答】解：由图 2 可知，当 x＝0 时，y＝100，即 AD2＝100，
∴AD＝10，
∵D 是边 AB 的中点，
∴AB＝20；
∵N（n﹣9，100），
即 DE2＝100，DE＝10，x＝n﹣9，
此时 AD＝10＝DE，AE＝n﹣9，
如图，过点 D 作 DF⊥AC 交 AC 于点 F，则有△ADE 为等腰三角形，
∴ ， ，
由图 2 知，点 M（n，m）为最高点，
∵当点 E 和点 C 重合时，DE 最大，
∴AC＝n，DC2＝m，
∴ ，
∴ ，
整理得 n2﹣9n﹣400＝0，
解得 n＝25 或﹣16（负值舍去），故选项 C 错误；
∴AC＝25， ，
∴DC2＝DB2+BC2＝102+152＝325＝m， ，故选项 B 正确；
∴∠A≠30°，故选项 A 错误；
由上图可知，当 DE⊥AC，即点 E 和点 F 重合时，DE 有最小值，即 y＝DE2 最小，
此时 ，
∴DF2＝AD2﹣AF2＝102﹣82＝36，
∴y 的最小值为 36，故选项 D 错误．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．
4．（2025•武汉）如图 1，在△ABC 中，D 是边 AC 上的定点．点 P 从点 A 出发，依次沿 AB，BC 两边匀速
运动，运动到点 C 时停止．设点 P 运动的路程为 x，DP 的长为 y，y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，其
中 M，N 分别是两段曲线的最低点．点 N 的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】几何动点问题；运算能力．
【答案】B
【分析】由图 2 可知 AD、CD、BD 的长度及点 D 到 AB 的距离，点 N 的纵坐标表示点 D 到 BC 的距离，
再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点 D 到 BC 的距离即可．
【解答】解：根据图 2，AD＝20，CD＝8，BD＝15，点 D 到 AB 的距离 DE＝12，点 N 的纵坐标表示点
D 到 BC 的距离 DF．如图：
在 Rt△ADE 中利用勾股定理，得 AE 16，
在 Rt△BDE 中利用勾股定理，得 BE 9，
则 AB＝AE+BE＝16+9＝25，
∵AD2+BD2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在 Rt△BCD 中利用勾股定理，得 BC 17，
则 BD•CD BC•DF，
解得 DF ，
∴点 N 的纵坐标是 ．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，根据图 2 得到 AD、CD、BD 的长度及点 D 到 AB 的距离，点
N 的纵坐标表示点 D 到 BC 的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．
5．（2025•鲁山县三模）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图
甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数 F 拉
力（单位：N）与铁块下降的高度 x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（ ）
A．铁块的高度为 4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 10cm
C．当铁块下降的高度为 8cm 时，该铁块所受到的浮力为 3.25N
D．当弹簧测力计的示数为 3N 时，此时铁块距离烧杯底
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】C
【分析】用到的知识点为：浮力＝重力﹣拉力．图 2 中点（0，4）表示铁块未移动时，拉力为 4N，那
么铁块的重力为 4N，此时铁块下表面与烧杯上端平齐；因为水平面保持不变．那么 AB 段铁块移动的
距离即为铁块的高度，为 10﹣6＝4cm，可判断 A 正确，不符合题意；（6，4）表示铁块向下移动 6cm
时，拉力为 4N，此时铁块下表面与水面平齐；铁块继续向下移动，水向外流出，水平面保持不变．（10，
2.5）表示铁块上表面刚好浸入水中，拉力为 2.5N．烧杯高度为 16cm，铁块从烧杯口到下表面接触水时
移动了 6cm，所以烧杯内水的高度为 10cm，可判断 B 正确，不符合题意；当铁块下降高度为 8cm 时，
由于出水口的存在，由图 2 可知，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为 ，那么所
受到的浮力＝重力﹣拉力为 4﹣3.25＝0.75N，故 C 错误，符合题意；设 F＝kx+b，代入（6，4），（10，
2.5），得 ，将 F＝3 代入 ，得 ， ，故 D 正确，不
符合题意．
【解答】解：∵烧杯有出水口，
∴水平面在铁块下移过程中保持不变．
∴铁块的高度为 AB 段铁块移动的距离为 10﹣6＝4cm，故 A 正确，不符合题意；
∵烧杯高度为 16cm，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了 6cm，
∴烧杯内水的高度为 10cm，故 B 正确，不符合题意；
∵当铁块下降高度为 8cm 时，铁块的一半刚好浸入水中，
∴拉力的大小为 ，
∵铁块的重力为 4N，
∴铁块所受到的浮力为 4﹣3.25＝0.75N，故 C 错误，符合题意．
设 F＝kx+b，代入（6，4），（10，2.5），得 ，将 F＝3 代入 ，得
， ，故 D 正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查函数图象．关键是得到图象中关键点表示的意义．
6．（2025•宁夏模拟）如图 1，在矩形 ABCD 中，BC＝4，E 是 BC 边上的一个动点，AE⊥EF，EF 交 CD
于点 F，设 BE＝x，CF＝y，图 2 是点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，y 关于 x 的函数图象，则 AB 的
长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；几何直观；推理能力．
【答案】A
【 分 析 】 首 先 推 导 出 △ AEB∽ △ EFC， 利 用 三 角 形 相 似 求 出 y 关 于 x 的 函 数 关 系 式 y
，根据函数关系式进行分析求解．
【解答】解：∵BC＝4，BE＝x，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣x．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°．
∵∠CEF+∠CFE＝90°，
∴∠AEB＝∠EFC．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△AEB∽△EFC，
∴ ，
设 AB＝m，则 ，
整理得 y ，
由图象可知，点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，y 关于 x 的函数图象为抛物线，且顶点坐标为（2， ），
∴设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2 ，
∵抛物线过点（4，0），
∴4a 0，
解得 a ，
∴y ，
∴m＝5，
∴AB＝5；
解法二：∵BC＝4，BE＝x，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣x．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°．
∵∠CEF+∠CFE＝90°，
∴∠AEB＝∠EFC．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△AEB∽△EFC，
∴ ，
把 x＝2，y＝0.8 代入得：
，
解得：AB＝5；
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
7．（2025•东营）如图，在同一平面内放置的 Rt△EFG 和矩形 ABCD，EG 与 AB 重合，FG＝3cm，AB＝4cm
，BC＝5cm，Rt△EFG 以 1cm/s 的速度沿 BC 方向匀速运动，当点 F 与点 C 重合时停止，在运动过程中，
Rt△EFG 与矩形 ABCD 重叠部分的面积 S（cm2）与运动时间 t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】B
【分析】观察四个选项，可以看出四个函数图象在 0≤t≤3 范围内对应的函数图象各不相同，所以只需
得到当 0≤t≤3 时，S 与 t 之间的函数关系式，即可作出判断．
【解答】解：当 0≤t≤3 时，如图 1 所示，
此时 ，
当 3＜t≤5 时，如图 2 所示，
此时 ．
当 5＜t≤8 时，如图 3 所示，
此时 ．
故选：B．
【点评】本题考查动点函数图象问题，掌握动点函数图象是解题的关键．
8．（2025•肥城市三模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数 的图象，输入了一组 a，b 的值，
得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的 a，b 的值应满足（ ）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观；应用意识．
【答案】D
【分析】由两支曲线的分界线在 y 轴左侧可以判断 a 的正负，由 x＞0 时的函数图象判断 b 的正负．
【解答】解：∵y ，
∴x 的取值范围是 x≠﹣a，
由图可知，两支曲线的分界线位于 y 轴的右侧，
∴﹣a＞0，
∴a＜0，
由图可知，当 x＞0 时的函数图象位于 x 轴的下方，
∴当 x＞0 时，y＜0，
又∵当 x＞0 时，（x+a）2＞0，
∴b＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．
9．（2025•哈尔滨）如图，在▱ ABCD 中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝3．点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单
位长度的速度沿折线 AD→DC 运动，同时点 Q 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 向点 B
运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△BPQ 的面积为 y，运动时间为 x 秒，
则下列图象中大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】依据题意，根据动点的运动规律分两种情形分析判断列出函数关系式，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵AB＝6，AD＝3，
∴Q 从 A 到 B 需要 3 秒，P 从 A 到 D 需要 1 秒，从 D 到 C 需要 2 秒．
①当 0＜x＜≤1 时，如图，过 P 作 PH⊥AB 于 H，
∴AP＝3x，AQ＝2x．
∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣2x．
又∵∠A＝30°，
∴PH AP x．
∴S△BPQ BQ•PH x（6﹣2x） x2 x，即 y x2 x．
②当 1＜x＜3 时，如图，如图，过 P 作 PG⊥AB 于 G，DH⊥AB，
∵AB∥CD，
∴DH＝PG．
∵∠A＝30°，AD＝3，
∴PG＝DH ．
∴S△BPQ BQ•PG （6﹣2x） x ，即 y x ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
10．（2025•盐田区二模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从 A 地到相距 6000
米的 B 地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相
遇截止时，两人的距离 y（米）与跑步时间 x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（ ）
A．a＝1200 B．b＝1500 C．c＝45 D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；数据分析观念．
【答案】C
【分析】分析各个转折点所表示的实际意义即可得解．
【解答】解：如图所示，
先分析图象，A 点之前两人距离一直变大，A 点之后两人距离变小，
则说明 A 点表示茗茗达到 B 地的时间为 40 分钟，此时两人的距离为 a 米，
∴茗茗的速度为： 150 米/分；
C 点表示在茗茗返回过程中，两人相遇时的时间；
很明显 CB 段比 BE 段更陡，则可说明 CB 段是相遇之后茗茗从往 A 地返回，清清继续往 B 地去，
∴B 点表示清清达到 B 地的时间为 50 分钟，此时两人相距 b 米，
∴清清的速度为 120 米/分；
E 点则表示茗茗返回 A 时间，D 点第二次相遇时的时间，
∴a＝（150﹣120）×40＝1200，
故 A 选项正确；
当清清到达 B 地时，茗茗距离 B 地：（50﹣40）×150＝1500 米，
即 b＝1500，
故 B 选项正确；
两人第一次相遇时：150（x﹣40）+120x＝6000，
解得 x ，即 c ，
故 C 选项错误；
∴d＝2c ，
故 D 选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象分析等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二．填空题（共 5 小题）
11．（2025•冠县一模）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常
会记录每行进 1km 所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加 5km 的骑行比赛，他骑行的“配
速”如图所示，则下列说法中正确的是 ①②③ ．
①第 1km 所用的时间最长；
②第 5km 的平均速度最大；
③第 2km 和第 3km 的平均速度相同；
④前 2km 的平均速度大于最后 2km 的平均速度．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】①②③．
【分析】根据“速度＝路程÷时间”解答即可．
【解答】解：由图象可知，
第 1km 所用的时间最长，约 4.5 分钟，故①说法正确；
第 5km 所用的时间最长最小，即平均速度最大，故②说法正确；
第 2km 和第 3km 的平均速度相同，故③说法正确；
前 2km 的平均速度小于最后 2km 的平均速度，故④说法错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查函数的图象，掌握时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键．
12．（2025•淮北校级三模）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积 V 改变时，气体的
密度ρ也随之改变，ρ与 V 在一定范围内满足关系式 （m 是常数，且 m≠0），它的图象如图所示，
当ρ为 3.6kg/m3 时，V 的值为 2 ．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】先利用待定系数法求出 ，再求出当ρ＝3.6 时，V 的值即可得到答案．
【解答】解：把（4，1.8）代入 中得 m＝ρV＝4×1.8＝7.2，
∴ ，
在 中，当ρ＝3.6 时，
，
解得 V＝2，
∴当ρ为 3.6kg/m3 时，V 的值为 2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（2025•湖南）甲、乙两人在一次 100 米赛跑比赛中，路程 s（米）与时间 t（秒）的函数关系如图所示，
填 甲 （“甲”或“乙”先到终点）．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】甲．
【分析】这次赛跑中先到达终点的是用时较少的，据此可得答案．
【解答】解：由图象可知，甲用了 12 秒，乙用了 14 秒，所以甲先到终点．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查了图象的读图分析能力，要能根据图象的性质和图象上的数据并结合实际意义得
到正确的结论．
14．（2025•深圳二模）某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图 1 所示的小孔成像实验．当像
距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高 y（单位：cm）与物距（小
孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的函数图象（如图 2 所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高
不得低于 4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是 6 厘米．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】6．
【分析】根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，火焰的像高 y（单位：cm）随物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）
的增大而减小，
由函数图象可得：当 y≥4 时 x≤6，
∴小孔到蜡烛的距离至多是 6 厘米，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是函数的图象，从图象上得出相关信息是解题关键．
15．（2025•龙凤区校级一模）如图 1，点 P 从等边三角形 ABC 的顶点 A 出发，沿直线运动到三角形内部一
点，再从该点沿直线运动到顶点 B．设点 P 运动的路程为 x， ，图 2 是点 P 运动时 y 随 x 变化
的关系图象，则等边三角形 ABC 的边长为 6 ．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】6．
【分析】依据题意，令点 P 从顶点 A 出发，沿直线运动到三角形内部一点 O，再从点 O 沿直线运动到
顶点 B，结合图象可知，当点 P 在 AO 上运动时，PB＝PC， ，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，
当点 P 在 OB 上运动时，可知点 P 到达点 B 时的路程为 ，可知 ，过点 O 作 OD⊥
AB，解直角三角形可得 AD＝AO•cs30°，进而得出等边三角形 ABC 的边长．
【解答】解：如图，令点 P 从顶点 A 出发，沿直线运动到三角形内部一点 O，再从点 O 沿直线运动到
顶点 B，
结合图象可知，当点 P 在 AO 上运动时， ，
∴PB＝PC， ，
又∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO＝30°．
当点 P 在 OB 上运动时，可知点 P 到达点 B 时的路程为 ，
∴ ，即 ，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°．
过点 O 作 OD⊥AB，垂足为 D，
∴AD＝BD，
∴AD＝AO•cs30°＝3．
∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形 ABC 的边长为 6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
三．解答题（共 5 小题）
16．（2026•大渡口区模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点 P 从点 C 出发，以每
秒 1 个单位长度的速度沿着 C→A→B 匀速运动，点 P 的运动时间为 x 秒，△PBC 的面积为 y1，BC 与
点 P 的运动路程的比为 y2．
（1）请直接写出 y1，y2 分别关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出 y1，y2 的图象，并写出函数 y1 的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当 y1≥y2 时，x 的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过
0.2）．
【考点】动点问题的函数图象；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1） ， ；
（2）函数图象如图所示：
，
性质：当 x＝3 时，y1 有最大值（答案不唯一）；
（3）1.4≤x≤7.6．
【分析】（1）先求出 AB＝5，S△ABC＝6，由题意得点 P 的运动路程为 x，得到 BC 与点 P 的运动路程的
比为 ；再根据当 P 在 AC 或 AB 上时分情况讨论求出 y1＝S△PBC 即可；
（2）根据描点法画函数图象，再根据函数图象写出函数 y1 的一条性质即可；
（3）根据函数图象可得，当 y1＝y2 时，x1≈1.4，x2≈7.6，结合函数图象，当 y1≥y2 时，x 的取值范围
为 1.4≤x≤7.6．
【解答】解：（1）∵BC＝4，∠ACB＝90°，AC＝3，
∴ ， ，
由题意得点 P 的运动路程为 x，
∴BC 与点 P 的运动路程的比为 ；
当 P 在 AB 上时，3＜x≤8，此时 BP＝8﹣x，
当 P 在 AC 上时，0≤x≤3，此时 PC＝x， ，
∴由等高可以得 ，
∴ ，
综上所述， ， ；
（2）函数图象如图所示：
由函数图象可得，当 x＝3 时，y1 有最大值；
（3）根据函数图象可得，当 y1＝y2 时，x1≈1.4，x2≈7.6，
∴结合函数图象，当 y1≥y2 时，x 的取值范围为 1.4≤x≤7.6．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，一次函数与反比例函数交点问题，解题的关键是掌
握相关知识的灵活运用．
17．（2025•开封二模）如图，△ABC 的顶点为网格线的交点，反比例函数 的图象过格点 A，B．将
△ABC 先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到点 C 的对应点 C′．
（1）求过点 C′的反比例函数解析式，并画出其图象（x＜0）．
（2）在过点 C′的反比例函数图象上任取一点 D，过点 D 向 y 轴作垂线，交 的图象于点 E，连
接 DO，EO，△ODE 的面积会发生变化吗？若不变化，求出△ODE 的面积；若变化，请说明理由．
【考点】动点问题的函数图象；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平
移．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】（1）过点 C′的反比例函数解析式为 ，图象见解析；
（2）△ODE 的面积不会发生变化，△ODE 的面积为 3．
【分析】（1）根据点坐标平移的特征确定 C′（﹣1，3），即可确定过点 C′的反比例函数解析式，继
而画出相应图象；
（2）根据反比例函数系数的几何意义可得 S△ODF ，S△OEF ，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图 1，C（4，4），
∵将△ABC 先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到点 C 的对应点 C′，
∴C′（﹣1，3），
设点 C′的反比例函数解析式为 ，
∴ ，
∴k＝﹣3，
∴过点 C′的反比例函数解析式为 ，其图象 （x＜0）；
（2）△ODE 的面积不会发生变化；理由如下：
如图 2，设 DE 交 y 轴于点 F，
∵DE⊥y 轴，过点 C′的反比例函数解析式为 ，反比例函数 的图象过格点 A，B，
∴S△ODF ，S△OEF ，
∴S△ODE＝S△ODF+S△OEF 3，
∴△ODE 的面积不会发生变化，△ODE 的面积为 3．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，坐标与图形
变化﹣平移，解题的关键是掌握：过反比例函数图象 上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得的矩
形的面积为|k|．
18．（2025•重庆模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，连接 BD，动点 P 从点 A 出发沿折线 A﹣B﹣D
方向运动，同时动点 Q 沿射线 CB 方向运动，动点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位长度，当点 P 到
达点 D 时，P，Q 两点时同时停止运动，连接 DP，DQ．设运动的时间为 x 秒（0＜x＜8），记△ADP 的
面积为 y1，△BCD 的面积与△DCQ 的面积之比为 y2．
（1）请直接写出 y1，y2 分别关于 x 的函数表达式，并注明自变量 x 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数 y1，y2 的图象，并写出 y1 的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过 0.2）．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】（1） ； ；
（2）图见解析，当 0＜x＜3 时，y1 随着 x 的增大而增大；
（3）0＜x＜1.6 或 7.4＜x＜8．
【分析】（1）分 0＜x≤3，3＜x＜8，根据三角形的面积公式求出 y1 关于 x 的函数表达式，根据同高三
角形的面积比等于底边比，求出 y2 关于 x 的函数表达式，即可；
（2）列表，描点，连线画出函数图象，根据图象写出 y1 的一条性质即可；
（3）图象法求出自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）过点 P 作 PE⊥AD 于点 E，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴ ，
∴当 0＜x≤3 时，AP＝x，
∴ ，
当 3＜x＜8 时，DP＝3+5﹣x＝8﹣x，
作 PE⊥AD，则 ，
∴ （8﹣x） ；
∵CQ＝x，
∴ ；
综上： ； ；
（2）列表如下：
x 1 2 3 5 8
y1 2 1 6 0
y2 5 2.5 1
描点，连线如下：
由图可知，当 0＜x＜3 时，y1 随着 x 的增大而增大；
（3）由图象可知：y1＜y2 时 x 的取值范围为 0＜x＜1.6 或 7.4＜x＜8．
【点评】本题考查动点的函数图象，解直角三角形，正确的求出函数解析式是解题的关键．
19．（2025•海淀区一模）科学兴趣小组利用不同材料制作了 A，B 两种太阳能电池板，记录了在一定条件
下，当光照强度为 x（单位：klx）时，A 电池板的输出电压 y1（单位：V）和 B 电池板的输出电压 y2（单
位：V）．部分数据如下：
x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画 y1 与 x，y2 与 x 之间的关系，回答下列问题：
（1）①y1 可以看作是关于 x 的正比例函数，则 m 的值为 2.4 ；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出 y2 中不符合这条规律的数据，在表格中
划“×”；
（2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出 y1，y2 两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为 55klx 时，B 电池板的输出电压与 A 电池板的输出电压之差约为 2.1 V（结果保留小
数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于 6.5V，则光照强度应至少达到 31 klx（结果保留整数）．
【考点】函数的图象；一次函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①设 y1＝k1x（k1≠0），利用待定系数法求出 y1＝0.06x，再将 x＝40 代入计算即可得；
②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得；
（2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得；
（3）①根据表格和函数图象求出当 x＝55 时，y1，y2 的值，由此即可得；
②根据表格和函数图象求出当 x＝31 时，y1，y2 的值，再根据 y1，y2 都是随 x 的增大而增大即可得．
【解答】解：（1）①由题意，设 y1＝k1x（k1≠0），
将点（10，0.6）代入得：10k1＝0.6，
解得 k1＝0.06，
则 y1＝0.06x，
当 x＝40 时，m＝0.06×40＝2.4，
故答案为：2.4．
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出 y2 中不符合这条规律的数据，在表格中划
“×”如下：
x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0
×
（2）在给出的平面直角坐标系中画出 y1，y2 两个函数的图象如下：
（3）①当 x＝55 时，y1＝0.06×55＝3.3，
由表格和函数图象可知，当 x＝55 时， ，
则 y2﹣y1≈2.1，
即当光照强度为 55klx 时，B 电池板的输出电压与 A 电池板的输出电压之差约为 2.1V，
故答案为：2.1；
②由表格数据可知，当 x＝30 时，y1+y2＝1.8+4.6＝6.4，
当 x＝31 时，y1＝0.06×31＝1.86， ，
∴当 x＝31 时，y1+y2≈6.5，
∵y1，y2 都是随 x 的增大而增大，
∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于 6.5V，则光照强度应至少达到 31klx，
故答案为：31．
【点评】本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键．
20．（2025•昌邑区校级三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质
量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气
的密度ρ（单位：kg/m3）随容器体积 V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示，结合如表信息窗中的
内容，解答下列问题．
信息窗
① （m 表示物体的质量）．
②标准大气压下，氧气的密度约为 1.43kg/m3．
（1）该容器内氧气的质量为 8 kg．
（2）求容器内氧气的密度ρ关于体积 V 的函数解析式．
（3）若该容器的体积 V 为 25m3，求氧气的密度ρ．
【考点】函数的图象；函数关系式．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】（1）8；
（2） ；
（3）氧气的密度ρ为 0.32kg/m3．
【分析】（1）根据 代入ρ，V，可求 m；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把 V＝25m3 代入（2）中解析式可求结果．
【解答】解：（1）根据 代入ρ，V 可得：m＝2×4＝8（kg），
故答案为：8；
（2）根据题意，设所求的函数解析式为 ，
由图可知，该函数过点（4，2），
∴k＝xy＝4×2＝8．
∴所求函数的解析式为 ．
（3）由条件可知 ．
答：氧气的密度ρ为 0.32kg/m3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．