2026届甘肃省平凉市静宁一中高三第三次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省平凉市静宁一中高三第三次模拟考试数学试卷含解析，共10页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若，则实数的大小关系为，已知集合，，则，已知集合，集合，则.等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在原点附近的部分图象大概是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A．B．
C．D．
3．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A．B．
C．D．
4．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
5．若，则实数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，，则( )
A．B．C．D．
7．已知集合，集合，则（ ）.
A．B．
C．D．
8．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )
A．B．C．D．
10．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知集合A，B=,则A∩B=
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．己知双曲线的左、右焦点分别为，直线是双曲线过第一、三象限的渐近线，记直线的倾斜角为，直线，，垂足为，若在双曲线上，则双曲线的离心率为_______
14．实数，满足约束条件，则的最大值为__________.
15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数__________．
16．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则对应的排法有______种； ______；
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.
附表及公式：
，
18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点．曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方)，求的值.
19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；
（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求的取值范围.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
21．（12分）如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是．
（1）求的值:
（2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值．
22．（10分）已知a＞0，证明：1．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分析函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
令，可得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，则函数为奇函数，排除C、D选项；
当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2、C
【解析】
根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
3、B
【解析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=．故选B．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
4、C
【解析】
试题分析：画出截面图形如图
显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C．
考点：平面的基本性质及推论．
5、A
【解析】
将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得.
又因为，故.
故选:A.
【点睛】
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
6、D
【解析】
先求出集合B，再与集合A求交集即可.
【详解】
由已知，，故，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.
7、A
【解析】
算出集合A、B及，再求补集即可.
【详解】
由，得，所以，又，
所以，故或.
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
8、B
【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，
在中，，化为，
，
，
当且仅当时取等号，此时.
故选：B.
【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
9、D
【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
10、C
【解析】
讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.
【详解】
解：当时，，由开口向上，则恒成立；
当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意，
若 时，要使得恒成立，则 ，即 .
所以“”是“恒成立”的充要条件.
故选:C.
【点睛】
本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件.
11、A
【解析】
根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.
【详解】
由得，
即，即，
因为，所以，
由余弦定理，所以，
由的面积公式得
故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12、A
【解析】
先解A、B集合，再取交集。
【详解】
,所以B集合与A集合的交集为，故选A
【点睛】
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由，则，所以点， 因为，可得，点坐标化简为，代入双曲线的方程求解.
【详解】
设，
则，即，
解得，
则，
所以，
即，
代入双曲线的方程可得，
所以
所以
解得.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
14、10
【解析】
画出可行域，根据目标函数截距可求.
【详解】
解：作出可行域如下：
由得，平移直线，
当经过点时，截距最小，最大
解得
的最大值为10
故答案为：10
【点睛】
考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.
15、
【解析】
先令可得其展开式各项系数的和，又由题意得，解得，进而可得其展开式的通项，即可得答案.
【详解】
令，则有，解得，
则二项式的展开式的通项为，
令，则其展开式中的第4项的系数为，
故答案为：
【点睛】
此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题.
16、36 ；1.
【解析】
的可能取值为0，1，2，3，对应的排法有：.分别求出，，，，由此能求出.
【详解】
解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，
则的可能取值为0，1，2，3，
对应的排法有：.
∴对应的排法有36种；
，
，
，
，
∴
故答案为：36；1.
【点睛】
本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据频率分布直方图补全列联表，求出，从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：人，抽中女教工：人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得下表：
的观测值为
所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.
（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，
所以的可能取值为0，1，2.
且，，，
所以的分布列为
【点睛】
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
18、（1），；（2）
【解析】
(1)利用代入法消去参数可得到直线的普通方程，利用公式可得到曲线的直角坐标方程；(2)设直线的参数方程为（为参数），
代入得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由题意得点的直角坐标为，将点代入得
则直线的普通方程为.
由得，即.
故曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（为参数），
代入得．
设对应参数为，对应参数为．则，，且.
．
【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
19、（Ⅰ）6（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）化简得到直线的普通方程化为，，是以点为圆心，为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.
（Ⅱ）设，则，得到范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意可知，直线的普通方程化为，
曲线的极坐标方程变形为，
所以的普通方程分别为，是以点为圆心，为半径的圆，
设点到直线的距离为，则， 所以.
（Ⅱ）的标准方程为，所以参数方程为（为参数），设，
，
因为，所以，
所以.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20、（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
21、（1）（2）
【解析】
（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,,进而求出．
在利用余弦的和差公式即可求出.
（2）根据钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,得出,进而得出,利用正弦的和差公式即可求出,结合为锐角,为钝角,即可得出的值.
【详解】
解：因为锐角的终边与单位圆交于点,点的纵坐标是,
所以由任意角的三角函数的定义可知,．
从而．
（1）于是
．
（2）因为钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,
所以,从而．
于是
．
因为为锐角,为钝角,所以
从而．
【点睛】
本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.
22、证明见解析
【解析】
利用分析法，证明a即可．
【详解】
证明：∵a＞0，∴a1，
∴a1≥0，
∴要证明1，
只要证明a1（a）1﹣4（a）+4，
只要证明：a，
∵a1，
∴原不等式成立．
【点睛】
本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
冰雪迷
40
20
60
非冰雪迷
20
20
40
合计
60
40
100
0
1
2