2026届甘肃省平凉市静宁县一中高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省平凉市静宁县一中高考全国统考预测密卷数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若，则，已知函数，已知为非零向量，“”为“”的，已知函数，若，则a的取值范围为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
3．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
4．若，则( )
A．B．C．D．
5．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．设向量，满足，，，则的取值范围是
A．B．
C．D．
8．已知为非零向量，“”为“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
9．已知函数，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________．
14．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______.
15．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，
【解析】
根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系.
【详解】
，故
.
，
.
要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得
①，
由于为互不相等的正实数，故，也即
，也即.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题.
16、
【解析】
先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立，设，求出在内的最小值,即可求出的取值范围.
【详解】
解：由题可知，不等式对于任意恒成立，
即，
又因为，，
对任意恒成立，
设，其中，
由不等式，可得：，
则，
当时等号成立，
又因为在内有解，
，
则，即：，
所以实数的取值范围：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见证明；(2)
【解析】
(1) 取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证， 即可；(2) 以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.
【详解】
（1）取的中点，连接，
因为均为边长为的等边三角形，
所以，，且
因为，所以，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为，为等边三角形，
所以，又因为，所以，，
在中，由正弦定理，得：，所以.
以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则平面的一个法向量为，
依题意，平面的一个法向量
所以
故二面角的余弦值为.
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
18、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；
（2）由题意可将转化为，构造函数，
利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）若，则，，
设，则，，
，故函数是奇函数．
当时，，，这时，
又函数是奇函数，所以当时，.
综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.
又，，
故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.
（2），由，所以恒成立，
若，则，设，
.
故当时，，又，所以当时，，满足题意；
当时，有，与条件矛盾，舍去；
当时，令，则，
又，故在区间上有无穷多个零点，
设最小的零点为，
则当时，，因此在上单调递增.
，所以.
于是，当时，，得，与条件矛盾.
故的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
19、 (1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在.
【解析】
分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时， 取得极大值，也是最大值，
由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.
详解：(1) 由题意得，
令，解得，
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减.
所以当时， 取得极大值，也是最大值，
所以，解得.
（2）的定义域为.

①即,则，故在单调增
②若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调递减，在单调递增．
③若,即,同理在单调递减，在单调递增
（3）由（1）知，
所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，
所以恒成立，
所以函数在区间内单调递增.
假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，
则，
问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根， 即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，
令， ，则，
设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，
故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.
综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.
点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
20、（1）见解析，0（2）
【解析】
（1）即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；
（2）当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.
【详解】
解:（1）的取值可能为,,1,3,又因为,
故,,
,,
所以的分布列为：
所以
（2）当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,
又已知,第一题答对,
若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；
若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，
此时的概率为（或）.
【点睛】
本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.
21、（1）（2）；时，取得最小值
【解析】
（1）设等差数列的公差为，由，结合已知，联立方程组，即可求得答案.
（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，由及，
得
解得
数列的通项公式为
（2）由（1）知
时，取得最小值.
【点睛】
本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
22、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）利用导数研究的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；
（2）构造函数，可证得：，，分析直线，与
从左到右交点的横坐标，在，处的切线即得解.
【详解】
（1）设函数，
，
令，令
故在单调递减，在单调递增，
∴，
∵时；；时
.
（2）①过点，的直线为，
则令，，
，
.
②过点，的直线为，
则，
在上单调递增
.
③设直线，与
从左到右交点的横坐标依次为，，
由图知.
④在，处的切线分别为，，同理可以证得
，.
记直线与两切线和从左到右交点的横坐标依次为，
.
【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.
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