2026届甘肃省兰州市西北师大附中高考数学倒计时模拟卷含解析

这是一份2026届甘肃省兰州市西北师大附中高考数学倒计时模拟卷含解析，共19页。试卷主要包含了复数满足，则复数等于，已知双曲线C，已知复数满足，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
2．设，则“ “是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必条件
3．若集合，则=（ ）
A．B．C．D．
4．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
5．集合，，则( )
A．B．C．D．
6．复数满足，则复数等于（）
A．B．C．2D．-2
7．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则＝（ ）
A．{3，5，6}B．{1，5，6}C．{2，3，4}D．{1，2，3，5，6}
8．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知复数满足，(为虚数单位)，则( )
A．B．C．D．3
10．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
11．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
12．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
A．2B．5C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间的学生人数是__________．
14．已知非零向量的夹角为，且，则______.
15．已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________．
16．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.
18．（12分）已知函数．
（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；
（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围．
19．（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
21．（12分）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表．
已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；
（2）已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
下面的临界值表仅供参考
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值．
【详解】
解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
若函数在区间，上单调递增，
在区间，上，，，
则当最大时，，求得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．
2、B
【解析】
解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，又由，得，
因为集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.
3、C
【解析】
求出集合，然后与集合取交集即可．
【详解】
由题意，，，则，故答案为C.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．
4、D
【解析】
可以是共4个，选D.
5、A
【解析】
解一元二次不等式化简集合A，再根据对数的真数大于零化简集合B，求交集运算即可.
【详解】
由可得，所以，由可得,所以,所以，故选A．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.
6、B
【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.
【详解】
复数满足，
∴，
故选B.
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．
7、B
【解析】
按补集、交集定义，即可求解.
【详解】
＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，
所以＝{1，5，6}.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题.
8、A
【解析】
由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.
【详解】
由题意，2c＝8，则c＝4，
又，且a2+b2＝c2，
解得a2＝4，b2＝12.
∴双曲线C的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.
9、A
【解析】
，故，故选A.
10、C
【解析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】
A：为非奇非偶函数，不符合题意；
B：在上不单调，不符合题意；
C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
D：为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.
11、D
【解析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【详解】
解：函数，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
12、D
【解析】
根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥.，，，故最大面的面积为.选D.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、30
【解析】
根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解.
【详解】
根据直方图知第二组的频率是，则样本容量是，
又成绩在80～100分的频率是，
则成绩在区间的学生人数是．
故答案为：30
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题.
14、1
【解析】
由已知条件得出,可得，解之可得答案.
【详解】
向量的夹角为,且,,可得:,
可得, 解得，
故答案为:1.
【点睛】
本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.
15、
【解析】
首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.
【详解】
解：且，即解得，即
因为在区间上恒成立，
解得即
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.
16、
【解析】
如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，根据正四棱锥的侧面积求出的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.
【详解】
如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，
则，设，
，，，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）直线过定点
【解析】
（1），再由，解方程组即可；
（2）设，，由，得，由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.
【详解】
（1）由题意知：，又，且
解得，，
∴椭圆方程为，
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，
由，得.
则，（*）
由，
得，
整理可得
（*）代入得，
整理可得，
又
，
∴，
即，
∴直线过点
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，
∴，
由，得，
所以
∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点
综上所述，直线过定点.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.
18、（1） （2）
【解析】
（1）求解不等式，结合整数解有且仅有一个值，可得，分类讨论，求解不等式，即得解；
（2）转化，使得成立为，利用不等式性质，求解二次函数最小值，代入解不等式即可.
【详解】
（1）不等式，即，所以，
由，
解得．
因为，所以，
当时，
，
不等式等价于或或
即或或，
故，
故不等式的解集为．
（2）因为，
由，
可得，
又由，使得成立，
则，解得或．
故实数的取值范围为．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
19、（1）见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连接，，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.
（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.
【详解】
解析：（1）取中点，连接，，
由已知可得，，，
∵侧面是菱形，∴，，，
即，∵，∴平面，∴平面平面.
（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，
则，令得.
同理可求得平面的法向量，∴.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.
20、（1），.，.
（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.
【解析】
（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.
【详解】
解：（1），是边长为3的等边三角形，又，
，.
由，得.
法1：在中，由余弦定理，得
.
故直道长度关于x的函数关系式为，.
在和中，由余弦定理，得
①
②
因为M为的中点，所以.
由①②，得，
所以，所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为
，.
法2：因为在中，，
所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为，.
在中，因为M为的中点，所以.
所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为，.
（2）由（1）得，两条直道的长度之和为
（当且仅当即时取“”）.
故当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.
【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.
21、（1）有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．见解析（2）分布列见解析，期望为1．
【解析】
（1）由在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为可得列联表，然后计算后可得结论；
（2）由已知的取值分别为，分别计算概率得分布列，由公式计算出期望．
【详解】
解：（1）根据在抽取的户居民中随机抽取户，到分类意识强的概率为，可得分类意识强的有户，故可得列联表如下：
因为的观测值，
所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．
（2）现在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，则0，1，2，3，
故，，
，，
则的分布列为
．
【点睛】
本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力和运算求解能力．
22、（1）；（2）①；②.
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；
（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．
【详解】
（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，
又由右准线方程为，得到，
解得，所以
所以，椭圆的方程为
（2）①设，而，则，
∵ ， ∴
因为点都在椭圆上，所以
，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，
所以
②由原点到直线的距离为，得，化简得：
联立直线的方程与椭圆的方程：，得
设，则，且
，
所以
的面积
，
因为在为单调减函数，
并且当时，，当时，，
所以的面积的范围为．
【点睛】
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
分类意识强
分类意识弱
合计
试点后
试点前
合计
分类意识强
分类意识弱
合计
试点后
试点前
合计