2026届阜新市重点中学高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2026届阜新市重点中学高三下学期一模考试数学试题含解析，共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，i是虚数单位，若，则乘积的值是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．或D．或
4．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞aB．c＞b＞aC．a＞b＞cD．b＞a＞c
5．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
6．i是虚数单位，若，则乘积的值是( )
A．－15B．－3C．3D．15
7．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）
A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点
C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点
10．如图，正方体中，，，，分别为棱、、、的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
11．已知实数满足约束条件，则的最小值是
A．B．C．1D．4
12．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量与的夹角为，，，则________.
14．如图，在矩形中，为边的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .
15．已知x，y满足约束条件，则的最小值为___
16．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E， F分别是棱AB， PC的中点.求证：
（1） EF //平面PAD；
（2）平面PCE⊥平面PCD．
18．（12分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．
(Ⅰ)求证：平面平面．
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．
19．（12分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1） 证明:；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
20．（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.
21．（12分）已知向量，函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．
22．（10分）已知函数
（1）当时，若恒成立，求的最大值；
（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
作出中在圆内部的区域，如图所示，
因为直线，的倾斜角分别为，，
所以由图可得取自的概率为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.
2、D
【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.
【详解】
设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，
由题意，球的体积为，即可得球的半径为1，
又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为，
利用球的性质可得，
又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为，
所以球心到底面的距离为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
3、D
【解析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.
【详解】
构造函数，
则
由题可知，所以在时为增函数；
由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；
又，即
即
又为开口向上的偶函数
所以，解得或
故选：D
【点睛】
此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.
4、A
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【详解】
∵x∈（0，1），
∴a＝lnx＜0，
b＝（）lnx＞（）0＝1，
0＜c＝elnx＜e0＝1，
∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．
故选：A．
【点睛】
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5、C
【解析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】
A：为非奇非偶函数，不符合题意；
B：在上不单调，不符合题意；
C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
D：为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.
6、B
【解析】
，∴，选B．
7、C
【解析】
先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.
【详解】
由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，
又有，综上得的取值范围是.
故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
8、B
【解析】
由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心
三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为
点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键．
9、A
【解析】
根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.
【详解】
,，
,
又，,
平面,又平面
，
故在以为直径的圆上，
又是内异于的动点，
所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.
10、C
【解析】
充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据判断A的正误.根据，判断B的正误.根据与 相交，判断C的正误.根据，判断D的正误.
【详解】
在正方体中，因为 ，所以 平面，故A正确.
因为，所以，所以平面 故B正确.
因为，所以平面，故D正确.
因为与 相交，所以 与平面 相交，故C错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.
11、B
【解析】
作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，
设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值，
由，解得，所以，所以，故选B．
12、B
【解析】
由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.
【详解】
由可得，
则，
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.
14、
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为
.
考点：旋转体的组合体.
15、
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y轴上的截距最大即可得解.
【详解】
x，y满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.
平移直线，截距最大时即为所求.
点A（，），
z在点A处有最小值：z＝2，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．
16、
【解析】
根据定积分的计算，得到，令，求得，即可得到答案．
【详解】
根据定积分的计算，可得，
令，则，
即的展开式中各项系数和为.
【点睛】
本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得的表示是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取的中点构造平行四边形，得到，从而证出平面；
（2）先证平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．
【详解】
证明：（1）如图，取的中点，连接，，
是棱的中点，底面是矩形，
，且，
又，分别是棱，的中点，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
（2），点是棱的中点，
，
又，，
平面，平面，
，
底面是矩形，，
平面，平面，且，
平面，
又平面，，
，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，
平面平面．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题．
18、 (Ⅰ)见解析. (Ⅱ) .
【解析】
(I)证明平面得出平面，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．
【详解】
(I)证明：
分别为的中点
，，又
平面
平面，又平面
平面平面
(II)，为定值
当平面时，三棱锥的体积取最大值
以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系
则
，
设平面的法向量为，则
即，令可得
平面 是平面的一个法向量
平面与平面所成角的正弦值为
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题．
19、 (1)见解析.
(1) .
【解析】
试题分析：（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；
（1），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.
试题解析： （1）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜2，
则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|
=|x+|=|x|+≥1=1．
（1）f（x）+f（1x）=|x﹣a|+|1x﹣a|，a＜2．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣1x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞）.
不等式f（x）+f（1x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜2，
则a的取值范围是．
考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设点的坐标,表达出直线的斜率之积,再根据三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.
（Ⅱ）设直线的方程为,根据直线的斜率之积为可得,再联立直线与椭圆的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.
【详解】
（Ⅰ）设,,则,
又,,故,即,
故,又,故.
故椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为,,
由 ,故,
又,故,因为处的切线相互垂直故.
故直线的方程为.
联立
故.
故,代入韦达定理有
设,则.当且仅当时取等号.
故的面积的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.
21、（1），（2）
【解析】
（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；
（2）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可．
【详解】
（1），
最小正周期：，
由得，
所以的单调递增区间为；
（2）由可得：，
所以．
又因为成等差数列，所以
而，
．
22、（1）；（2）
【解析】
（1）当时，由题意得到，令，分类讨论求得函数的最小值，即可求得的最大值.
（2）由时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，得到，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，由，可得，
令，则只需，
当时，；
当时，；
当时，；
故当时，取得最小值，即的最大值为.
（2）依题意，当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，
所以，即，即，
解得在上恒成立，
则，所以，
所示实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.