2026届甘肃省白银市会宁一中高三3月份模拟考试数学试题含解析

这是一份2026届甘肃省白银市会宁一中高三3月份模拟考试数学试题含解析，共4页。试卷主要包含了已知椭圆，函数的单调递增区间是，已知复数，则的虚部为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知实数，满足，则的最大值等于( )
A．2B．C．4D．8
3．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．集合,则集合的真子集的个数是
A．1个B．3个C．4个D．7个
5．已知条件，条件直线与直线平行，则是的( )
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
8．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
9．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2B．3C．-2D．-3
10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（ ）

A．45B．60C．75D．100
11．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
12．的展开式中的一次项系数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，且，则最小值为__________．
14．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____
15．若函数（）的图象与直线相切，则______.
16．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．
（1）求的解析式；
（2）作出在上的图象（要列表）．
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，曲线：（为参数）以原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）判断点与直线的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.
19．（12分）已知中，角所对边的长分别为，且
（1）求角的大小；
（2）求的值.
20．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角
（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；
（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.
21．（12分）的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点为边的中点，且，求的面积.
22．（10分）已知函数是自然对数的底数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明:.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.
【详解】
对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.
2、D
【解析】
画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以，
所以原点到可行域上的点的最大距离为.
所以的最大值为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
3、B
【解析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可；
【详解】
解：当时，，无意义，故排除A；
又，则，故排除D；
对于C，当时，，所以不单调，故排除C；
故选：B
【点睛】
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
4、B
【解析】
由题意，结合集合，求得集合，得到集合中元素的个数，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，集合，
则，
所以集合的真子集的个数为个，故选B．
【点睛】
本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合，再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
5、C
【解析】
先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.
【详解】
因为直线与直线平行，
所以，解得或；即或；
所以由能推出；不能推出；
即是的充分不必要条件.
故选C
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
6、C
【解析】
根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.
【详解】
由已知，，成等差数列，设，，.
由于，据勾股定理有，即，化简得；
由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；
在直角中，由勾股定理，，∴离心率.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.
7、D
【解析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.
【详解】
因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.
故选D.
【点睛】
本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.
8、C
【解析】
先将，化简转化为，再得到下结论.
【详解】
已知复数，
所以，
所以的虚部为-1.
故选：C
【点睛】
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9、B
【解析】
根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.
【详解】
因为，所以
所以，
又也在直线上，
所以，
解得
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10、B
【解析】
根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．
【详解】
由题意，．
故选：B.
【点睛】
本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．
11、B
【解析】
先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.
【详解】
为真命题；命题是假命题，比如当,
或时，则 不成立.
则，，均为假.
故选:B
【点睛】
本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.
12、B
【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论．
【详解】
由题意展开式中的一次项系数为．
故选：B．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
14、2
【解析】
先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.
【详解】
解：设公比为，且，
时，上式有最小值，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.
15、2
【解析】
设切点由已知可得,即可解得所求.
【详解】
设，因为，所以，即，又，.所以，即，.
故答案为:.
【点睛】
本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.
16、2
【解析】
求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．
【详解】
由题意，一条渐近线方程为，即，
∴ ，由得，
∴，，∴．
故答案为：2.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据函数的最小正周期可求出的值，由该函数的最大值可得出的值，再由，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式；
（2）由计算出的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.
【详解】
（1）因为函数的最小正周期是，所以．
又因为当时，函数取得最大值，所以，
同时，得，
因为，所以，所以；
（2）因为，所以，
列表如下：
描点、连线得图象：
【点睛】
本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
18、（Ⅰ）点在直线上；见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）直线：，即，所以直线的直角坐标方程为，因为，所以点在直线上；
（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.
【详解】
（Ⅰ）直线：，即，
所以直线的直角坐标方程为，
因为，
所以点在直线上；
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），
曲线的普通方程为，
将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，
设两根为，，所以，，
故与异号，
所以，
，
所以.
【点睛】
本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；
（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到，结合余弦定理 得到
【详解】
解：（1）由已知，得
又∵
∴
∴,因为
得
∵
∴.
（2）∵
又由余弦定理，得
∴
【点睛】
1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三角函数值推特殊角，属于中档题
20、（1）极坐标方程为，点的极坐标为（2）
【解析】
（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；
（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用计算即可.
【详解】
（1）曲线C：(为参数，)
，
将代入，解得，
即曲线的极坐标方程为，
点的极坐标为.
（2)由（1），得点的极坐标为，
由直线过原点且倾斜角为，知点的极坐标为，
.
【点睛】
本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.
21、（1）；（2）.
【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.
(2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.
【详解】
（1）由,
可得,
由余弦定理可得,
故.
（2）因为为的中线,所以,
两边同时平方可得,
故.
因为,所以.
所以的面积.
【点睛】
本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.
22、（1）减区间是，增区间是；（2），证明见解析.
【解析】
（1）当时，求得函数的导函数以及二阶导函数，由此求得的单调区间.
（2）令求得，构造函数，利用导数求得的单调区间、极值和最值，结合有两个极值点，求得的取值范围.将代入列方程组，由证得.
【详解】
（1），
，
又，所以在单增，
从而当时，递减，
当时，递增.
（2）.令，
令，则
故在递增，在递减，
所以.注意到当时，
所以当时，有一个极值点，
当时，有两个极值点，
当时，没有极值点，
综上
因为是的两个极值点，
所以
不妨设，得，
因为在递减，且，
所以
又
所以
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.