2026届福建省厦门市双十中学高考考前模拟数学试题含解析

这是一份2026届福建省厦门市双十中学高考考前模拟数学试题含解析，共5页。试卷主要包含了设，随机变量的分布列是，等比数列中，，则与的等比中项是，已知命题，，则是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）
A．48B．36C．24D．12
2．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( )
A．②③B．②③④C．①④D．①②③
4．设，随机变量的分布列是
则当在内增大时，（ ）
A．减小，减小B．减小，增大
C．增大，减小D．增大，增大
5．等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A．±4B．4C．D．
6．已知命题，，则是（ ）
A．，B．，.
C．，D．，.
7．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
11．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6B．3C．D．
12．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，则该班（ ）
A．物理化学等级都是的学生至多有人
B．物理化学等级都是的学生至少有人
C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．展开式中的系数为_________.
14．在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为，若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为____________.
15．边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.
16．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；
（2）若对任意成立，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
19．（12分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，．
（1）求．
（2）设，求数列的前项和．
21．（12分）数列满足，且.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。
【详解】
，故选C.
【点睛】
框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。
2、B
【解析】
由，，，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可
【详解】
∵∴，∴，
∴向量在向量方向的投影为.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量投影的几何意义，属于基础题
3、C
【解析】
根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.
【详解】
根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；
若，，平面可能相交，故②错误；
若，，则可能平行，故③错误；
由线面垂直的性质可得，④正确；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.
4、C
【解析】
，，判断其在内的单调性即可．
【详解】
解：根据题意在内递增，
，
是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．
5、A
【解析】
利用等比数列的性质可得 ，即可得出．
【详解】
设与的等比中项是．
由等比数列的性质可得， ．
∴与的等比中项
故选A．
【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
6、B
【解析】
根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.
【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，可得，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
7、C
【解析】
直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值．
【详解】
设抛物线的准线为，
直线恒过定点，
如图过A、B分别作于M，于N，
由，则，
点B为AP的中点、连接OB，则，
∴，点B的横坐标为，
∴点B的坐标为，把代入直线，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.
8、B
【解析】
建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.
9、A
【解析】
函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．
【详解】
由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，
即，所以或．
因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．
故选：A．
【点睛】
本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．
10、D
【解析】
设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.
【详解】
，由得，整理得，
，解得，
因此，向量在向量方向上的投影为.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
11、B
【解析】
求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线的方程为，
可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，
则的面积的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
12、D
【解析】
根据题意分别计算出物理等级为，化学等级为的学生人数以及物理等级为，化学等级为的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，名学生减去名全和一科为另一科为的学生人（其中物理化学的有人，物理化学的有人），
表格变为：
对于A选项，物理化学等级都是的学生至多有人，A选项错误；
对于B选项，当物理和，化学都是时，或化学和，物理都是时，物理、化学都是的人数最少，至少为（人），B选项错误；
对于C选项，在表格中，除去物理化学都是的学生，剩下的都是一科为且最高等级为的学生，
因为都是的学生最少人，所以一科为且最高等级为的学生最多为（人），
C选项错误；
对于D选项，物理化学都是的最多人，所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少（人），D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
变换，根据二项式定理计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项为：，，
取和，计算得到系数为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14、
【解析】
利用即可建立关于的方程.
【详解】
设双曲线右焦点为，过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点，
则，，由已知，，即，
所以，离心率.
故答案为：
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立的方程或不等式，是一道容易题.
15、
【解析】
取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．
【详解】
如图：
设，又，
且存在实数使得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
16、
【解析】
试题分析：由三角函数定义知，又由诱导公式知，所以答案应填：．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）求出及其导函数，利用研究的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得的范围．
（2）令，题意说明时，恒成立.同样求出导函数，由研究的单调性，通过分类讨论可得的单调性得出结论．
【详解】
解（1）函数
所以
讨论：
①当时，无零点；
②当时，，所以在上单调递增.
取，则
又，所以，此时函数有且只有一个零点；
③当时，令，解得（舍）或
当时，，所以在上单调递减；
当时，所以在上单调递增.
据题意，得，所以（舍）或
综上，所求实数的取值范围为.
（2）令，根据题意知，当时，恒成立.
又
讨论：
①若，则当时，恒成立，所以在上是增函数.
又函数在上单调递增，在上单调递增，所以存在使，不符合题意.
②若，则当时，恒成立，所以在上是增函数，据①求解知，
不符合题意.
③若，则当时，恒有，故在上是减函数，
于是“对任意成立”的充分条件是“”，即，
解得，故
综上，所求实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性．解题关键是通过分类讨论研究函数的单调性．本题难度较大，考查掌握转化与化归思想，考查学生分析问题解决问题的能力．
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可．
（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解．
【详解】
当时，，
当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得，
所以的解集为
（2）的解集包含等价于在上恒成立，
当时，等价于恒成立，
而，∴，
故满足条件的的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明平面即可．
由为菱形可得，连接和与的交点，
由等腰三角形性质可得，即能证得平面；
（2）由题意知，平面，可建立空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，再分别求出平面的法向量，平面的法向量，即可根据向量法求出二面角的余弦值．
【详解】
（1）如图，设与相交于点，连接，
又为菱形，故，为的中点.
又，故.
又平面，平面，且，
故平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由是等边三角形，可得，故平面，
所以，，两两垂直.如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，
则，，，，，，
设为平面的法向量，
则即可取，
设为平面的法向量，
则即可取，
所以.
所以二面角的余弦值为0.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题．
20、 (1) (2)
【解析】
(1)由数列是等差数列，所以，解得，又由，解得， 即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和．
【详解】
(1)由题意，数列是等差数列，所以，又，，
由，得，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
(2)由（1）得，
，
，
两式相减得，
，
即．
【点睛】
本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
21、（1）证明见解析，；（2）
【解析】
（1）利用，推出，然后利用等差数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）知，利用裂项法，即可求解数列的前n项和.
【详解】
（1）由题意，数列满足且
可得，即，
所以数列是公差，首项的等差数列，
故，所以.
（2）由（1）知，
所以数列的前n项和：
=
=
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前n项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得，
易知，，
，
；
（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
【点睛】
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
0
1
组别
频数

赠送的随机话费/元
概率
物理
化学