2026届福建省师大附中高考仿真卷数学试卷含解析

这是一份2026届福建省师大附中高考仿真卷数学试卷含解析，共5页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设是虚数单位，复数，已知抛物线，已知函数的部分图象如图所示，则，由得x＝或x＝3.等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（ ）
A．B．C．D．
3．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B．C．D．
4．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知是函数的极大值点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
6．设是虚数单位，复数（ ）
A．B．C．D．
7．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）
A．B．C．D．1
8．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．25B．32C．35D．40
12．若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________.
14．设的内角的对边分别为，，．若，，，则_____________
15．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______.
16．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为、，满足，则_____，_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设实数满足.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，，求证：.
18．（12分）已知分别是的内角的对边，且．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若，，求的面积．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．
19．（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
附：（1）；
（2）临界值表；
（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.
20．（12分）已知.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）某企业现有A．B两套设备生产某种产品，现从A，B两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从B设备抽取的样本频数分布表.
图1：A设备生产的样本频率分布直方图
表1：B设备生产的样本频数分布表
（1）请估计A．B设备生产的产品质量指标的平均值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件利润240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A，B两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？
22．（10分）已知在中，内角所对的边分别为，若，，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】
解：设 ，则有且只有一个实数根.
当 时，当 时， ，由即，解得，
结合图象可知，此时当时，得 ，则 是唯一解，满足题意；
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当 时，当 时，，此时 最小值为 ，
结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 .
综上所述： 或.
故选:A.
【点睛】
本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.
2、B
【解析】
计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.
【详解】
由题意可知，则对任意的，，则，，
由，得，，，
，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3、C
【解析】
联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】
依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
4、A
【解析】
首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.
【详解】
由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，
设中点为，连接，，可知，，
同时易知，，
所以面，故即为与面所成角，
有，
故.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.
5、B
【解析】
方法一：令，则，，
当，时，，单调递减，
∴时，，，且，
∴，即在上单调递增，
时，，，且，
∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；
当时，存在使得，即，
又在上单调递减，∴时，，所以，
这与是函数的极大值点矛盾．
综上，．故选B．
方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．
6、D
【解析】
利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，复数，故选D．
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7、C
【解析】
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．
【详解】
如图，
MN为该直线被球面截在球内的线段
连结并延长PO，交对棱C1D1于R，
则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，
∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，
∴MH＝＝＝，
∴MN＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8、D
【解析】
设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.
【详解】
，由得，整理得，
，解得，
因此，向量在向量方向上的投影为.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
9、C
【解析】
根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.
【详解】
不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
10、A
【解析】
先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.
【详解】
由图象可知A＝1，
∵，所以T＝π，∴.
∴f（x）＝sin（2x+φ），将代入得φ）＝1，
∴φ，结合0＜φ，∴φ.
∴.
∴sin
.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.
11、C
【解析】
设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，则
，解得，∴，即有．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．
12、D
【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；
【详解】
，
对应的点，
对应的点位于复平面的第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用，解出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
，且，，
，
该双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题.
14、或
【解析】
试题分析：由，则可运用同角三角函数的平方关系：，
已知两边及其对角，求角．用正弦定理；，
则；可得．
考点：运用正弦定理解三角形．（注意多解的情况判断）
15、
【解析】
构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.
【详解】
依题意，，
令，则，故函数为奇函数
，故函数在上单调递减，
则
，即，故，则x的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
16、
【解析】
利用已知条件，通过求解方程组即可得到结果．
【详解】
设人数、物价分别为、，满足，解得，.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，方程组的求解，考查计算能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；
（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；
【详解】
解：（1）由及，得，
考虑到，则有，它可化为
或
即或
前者无解，后者的解集为，
综上，的取值范围是.
（2）要证明，即证，
由，得，即证.
因为（当且仅当，时取等号）.
所以成立，
故成立.
【点睛】
本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，；
（Ⅱ）由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，，
因为，
所以；
（Ⅲ）由于，．
所以．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
19、（1）在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出的数学期望．试题解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，可得
所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为，
的可能取值为：1,1,2,3，
，，
，．
∴ 的分布列为：
∴ ．
20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间.
（2）分离出参数后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域.
【详解】
（1）
由得或
①当时，由，得.
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
②当时，由，得
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和
综上：当时，单调递减区间为，单调递增区间为和
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）依题意，不等式恒成立
等价于在上恒成立，
可得，在上恒成立，
设，则
令，得，（舍）
当时，；当时，
当变化时，，变化情况如下表：
∴当时，取得最大值，，∴.
∴的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.
21、（1）30.2，29；（2）B设备
【解析】
（1）平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；
（2）要注意指标值落在内的产品才视为合格品，列出A、B设备利润分布列，算出期望即可作出决策.
【详解】
（1）A设备生产的样本的频数分布表如下
.
根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.
B设备生产的样本的频数分布表如下
根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.
（2）A设备生产一件产品的利润记为X，B设备生产一件产品的利润记为Y，
若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B设备的生产规模.
【点睛】
本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）将代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将及代入，即可求得的值；
（2）根据（1）中的值可求得和，进而可得，由三角形面积公式即可求解.
【详解】
（1）由，得，
由正弦定理将边化为角可得，
∵，
∴，
∴，化简可得，
∴解得.
（2）∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用，三角形面积公式求法，属于基础题.
纤维长度
甲地（根数）
3
4
4
5
4
乙地（根数）
1
1
2
11
6
甲地
乙地
总计
长纤维
短纤维
总计
1．11
1.15
1.125
1.111
1.115
1.111
2.716
3.841
5.124
6.635
7.879
11.828
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
甲地
乙地
总计
长纤维
9
16
25
短纤维
11
4
15
总计
21
21
41
1
1
2
3
1
0
单调递增
单调递减
质量指标值
频数
4
16
40
12
18
10
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
X
240
180
120
P
Y
240
180
120
P