2025-2026学年北京市海淀区育英学校八年级（下）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2025-2026学年北京市海淀区育英学校八年级（下）期中数学试卷（五四学制），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. ax2+bx+c=0
C. （x-1）（x+2）=x2D. 3x2-2x-1=0
2.将一元二次方程x2-6x-5=0配方后，可化为（ ）
A. （x-3）2=5B. （x-3）2=14C. （x+3）2=5D. （x+3）2=14
3.将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A. y=(x+2)2+3B. y=(x-2)2+3C. y=(x+2)2-3D. y=(x-2)2-3
4.如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况.下列说法正确的是（ ）
A. 甲队队员拦网高度的整体水平更高B. 乙队队员拦网高度的平均数更大
C. 甲队队员拦网高度的方差更大D. 乙队队员拦网高度的中位数更大
5.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A. k＞﹣1B. k＞﹣1且k≠0C. k＜1D. k＜1且k≠0
6.某校组织一次足球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A. B. x（x+1）=28C. D. x（x-1）=28
7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，有下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③c=3a；④4a+b=0；⑤当x＜1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）
A. y3最小，y1最大B. y3最小，y4最大C. y1最小，y4最大D. 无法确定
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若x1，x2是一元二次方程x2+5x+3=0的两个根，则x1+x2= .
10.写出一个有两个互为相反数的实数根的方程，这个方程是 .
11.已知点P1（-2，y1），P2（-1，y2），P3（5，y3）都在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 .
12.某市近几天气温（单位：℃）如下：5，3，2，3，1，-2，则这组数据的下四分位数是 ℃.
13.已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点（1，0），写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 .
14.已知二次函数y=ax2-2ax+a-4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2-2ax+a-4=0的两个实数根是 .
15.对于二次函数y=ax2+bx+c,y与x的部分对应值如表所示.x在某一范围内，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围 .
16.我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”y=x+20，其“行知点”为（4，24）.
（1）直接写出函数y=图象上的“行知点”是 ；
（2）若二次函数y=（a-3）x2+（a+3）x+a的图象上只有一个“行知点”，则a的值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：3x2-5x+2=0．
四、解答题：本题共9小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
习题课上吕老师给了一道解方程的题目：x2+3x=2x+6.小马和小明的解法如下：
（1）他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误；
（2）写出方程正确的解答过程.
19.(本小题6分)
如果a2-a-2=0，求代数式（a-1）2+（a+2）（a-2）的值.
20.(本小题6分)
已知一个二次函数的图象经过（0，0），（-1，-3），（1，5）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P（m,n）是这个函数图象上的一点，当-5≤m＜0时，求n的取值范围.
21.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x-（k+4）x+3k+3=0.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两实数根为x1，x2满足x1x2=x1+x2-3，求k的值.
22.(本小题6分)
2026年农历马年伊始，一只产自浙江义乌、因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红.某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件.市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为尽快减少库存，商家决定降价促销.为使日销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？
23.(本小题6分)
如图已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2相交于A（-2，2）、B（4，8）两点.解答以下问题：
（1）填空：k= ______，b= ______，a= ______.
（2）不等式ax2≥kx+b的解集为______.
（3）已知点P在x轴上，若△AOB的面积是△ABP的倍，求点P坐标.
24.(本小题6分)
探究函数y=x|x-2|的图象与性质．
小娜根据学习函数的经验，对函数y=x|x-2|的图象与性质进行了探究．
下面是小娜的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．
请直接写出： m=______，n=______；
（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程x|x-2|=a有三个不同的解，记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．请直接写出x1+x2+x3的取值范围．
25.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax（a≠0），过点P（t,0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=ax于点N.
（1）抛物线的对称轴为______；
（2）若a=1，0＜t≤2，求MN的长的最大值；
（3）在点P从点O运动到点B（a,0）的过程中，至少存在两个不同位置使得MN长度相等，则a的取值范围是______.
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1•x2=y1•y2时，称点Q是点P的等积点.已知点P（1，2）.

（1）在Q1（2，1），Q2（-4，-1），Q3（8，2）中，点P的等积点是______.
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标.
（3）已知点和点M（5，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】-5
10.【答案】x2-4=0（答案不唯一）
11.【答案】y2＞y1＞y3
12.【答案】3
13.【答案】y=-x2+3x-2
14.【答案】x1=-1，x2=3
15.【答案】x≥
16.【答案】（2，12）或（-2，-12）
-3

17.【答案】解：（3x-2）（x-1）=0，
3x-2=0或x-1=0，
所以x1=，x2=1．
18.【答案】二;二 x2+3x=2x+6，
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
∴x+3=0或x-2=0，
解得x1=-3，x2=2
19.【答案】1．
20.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=x2+4x.
（2）将抛物线解析式配方得：y=（x+2）2-4，则二次函数开口向上，顶点坐标为（-2，-4），对称轴为直线x=-2，
∴当x=-2时，y取最小值-4，
当x=-5时，y=5；当x=0时，y=0，
∴当-5≤m＜0时，n的取值范围是：-4≤n≤5．
21.【答案】∵关于x的一元二次方程为x-（k+4）x+3k+3=0，
∴Δ=[-（k+4）]2-4×1×（3k+3）=（k+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根 -1
22.【答案】每件应降价5元．
23.【答案】1，4，；
不等式ax2≥kx+b的解集为x≤-2或x≥4．
点P坐标为（-，0）．
24.【答案】解：（1）把x=1代入y=x|x-2|，得m=1×1=1．
把x=2代入y=x|x-2|，得n=2×0=0．
故答案为m=1，n=0；
（2）如图：
​​​​​​​
（3）由图形可知，x1+x2+x3的取值范围是．
25.【答案】直线x=1 当t=时，MN取得最大值 a＞1.5
26.【答案】解：（1） Q1（2，1）；
（2）如图1，设点Q（x,y），
∵P（1，2），点Q是P点的等积点，
∴x=2y即，
故点Q在直线上，
∴点，
当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，
∴点，
∵点在x轴上，
∴点，
解得x=-4，
∴点C2（-3，0）；
当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴点，
∵点在x轴上，
∴点，
解得x=4，
∴点C1（3，0）；
综上所述，点C（-3，0）或C（3，0）．
（3）如图2，设点Q（x,y），
∵P（1，2），点Q是P点的等积点，
∴x=2y即，
故点Q在直线上，
设点B的等积点坐标（x,y），
∵，
∴即y=2x,
故点B的等积点在直线y=2x上，
∵点M（5，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，
设该正方形为EFGH，则E（4，m+1），F（4，m-1），G（6，m-1），H（6，m+1），
∵A为R的等积点，R在PB上，
∴每一点A在直线与直线y=2x在第一象限交成的锐角内部或边上，
当G（6，m-1）在直线上时，m取得最小值，
故，
解得m=4；
当E（4，m+1）在直线y=2x上时，m取得最大值，
故m+1=2×4，
解得m=7；
故m的取值范围是4≤m≤7． X
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
-3
1
3
3
1
…
小马的解法
原方程可化为：x2+x-6=0…第一步，
∴（x-3）（x+2）=0…第二步，
∴x1=3，x2=-2…第三步.
小明的解法
原方程可化为：x（x+3）=2（x+3）…第一步，
两边都除以（x+3）…第二步，
∴x=2…第三步.
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-8
-3
0
m
n
1
3
…