2026届福建省闽侯县第六中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

这是一份2026届福建省闽侯县第六中学高三冲刺模拟数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了若与互为共轭复数，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．B．C．3D．
2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
A．2B．C．D．1
3．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A．B．C．D．
4．若与互为共轭复数，则（ ）
A．0B．3C．－1D．4
5．设命题函数在上递增，命题在中，，下列为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
6．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
8．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数的导函数为，记，，…，N. 若，则 （ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．或D．
11．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是
A．在内总存在与平面平行的线段
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．可能为直角三角形
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________．
14．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.
15．已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是_________
16．已知平面向量、的夹角为，且，则的最大值是_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，其面积记为，满足.
（1）求；
（2）若，求的值.
18．（12分）若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“数列”．
（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“数列”？说明理由；
（2）若公差为的等差数列为“数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．
19．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.
（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；
（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
（1）求csC；
（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
22．（10分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由余弦定理求出角，再由三角形面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理得：，
又，所以得，
故△ABC的面积.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.
2、B
【解析】
，选B.
3、D
【解析】
分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.
【详解】
设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.
【点睛】
本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.
4、C
【解析】
计算，由共轭复数的概念解得即可.
【详解】
，又由共轭复数概念得：，
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.
5、C
【解析】
命题：函数在上单调递减，即可判断出真假．命题：在中，利用余弦函数单调性判断出真假．
【详解】
解：命题：函数，所以，当时，，即函数在上单调递减，因此是假命题．
命题：在中，在上单调递减，所以，是真命题．
则下列命题为真命题的是．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6、B
【解析】
根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
设，
则当时，，，
即，
要使在区间上单调递减，
则得，得，
即实数的最大值为，
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
7、B
【解析】
求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
【详解】
当时，，，
，又，所以至少小于7，此时，
令，得，解得或，结合图象，故.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
8、D
【解析】
由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，
因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的最小正周期，则，
所以，
当时，，
所以是函数的一条对称轴，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
9、D
【解析】
通过计算，可得，最后计算可得结果.
【详解】
由题可知：
所以
所以猜想可知：
由
所以
所以
故选：D
【点睛】
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.
10、D
【解析】
先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.
【详解】
，
若在上不单调，令，
则函数对称轴方程为
在区间上有零点（可以用二分法求得）.
当时，显然不成立；
当时，只需
或，解得或.
故选:D.
【点睛】
本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.
11、B
【解析】
由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得，解得，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
12、D
【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；
B项利用线面垂直的判定定理；
C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.
【详解】
A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；
B项，如图：
当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；
C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；
D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.
故选D
【点睛】
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．
【详解】
不等式两边同时取对数得，
即x2lnx1＜x1lnx2，又
即成立，
设f（x）＝，x∈（0，m），
∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，
函数的导数，
由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，
得0＜x＜e，
即函数f（x）的最大增区间为（0，e），
则m的最大值为e
故答案为：e
【点睛】
本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键
14、40
【解析】
设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.
【详解】
设等比数列的公比为，
，
，
等比数列的各项为正数，
，
，当且仅当，
即时，取得最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
15、
【解析】
，可得在时，最小值为，
时，要使得最小值为，则对称轴在1的右边，
且，求解出即满足最小值为.
【详解】
当，，当且仅当时，等号成立.
当时，为二次函数，要想在处取最小，则对称轴要满足
并且，即，解得.
【点睛】
本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.
16、
【解析】
建立平面直角坐标系，设，可得，进而可得出，，由此将转化为以为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.
【详解】
根据题意建立平面直角坐标系如图所示，设，，以、为邻边作平行四边形，则，
设，则，，且，
在中，由正弦定理，得，即，
在中，由正弦定理，得，即.
，，
则，
当时，取最大值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得，进而求得的值；
（2）根据正弦定理将边化为角，结合（1）中的值，即可将表达式化为的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得和，进而由正弦定理确定，代入整式即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得
，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以由正弦定理代入化简可得，
由（1），代入可得，
展开化简可得，
根据辅助角公式化简可得.
因为，所以，所以，
所以为等腰三角形，且，
所以.
【点睛】
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.
18、（1）不是，见解析（2）（3）
【解析】
（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证时，是否为数列中的项，即可得答案；
（2）由题意得，再对公差进行分类讨论，即可得答案；
（3）由题意得数列为等差数列，设数列的公差为，再根据不等式得到公差的值，即可得答案；
【详解】
（1）当时，
又，所以．
所以
当时，，而，
所以时，不是数列中的项，故数列不是为“数列”
（2）因为数列是公差为的等差数列，
所以．
因为数列为“数列”
所以任意，存在，使得，即有．
①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．
②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，．
（3）由题意，所以，
又因为，且数列为“数列”，
所以，即，所以数列为等差数列．
设数列的公差为，则有，
由，得，
整理得，①
．②
若，取正整数，
则当时，，
与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．
同样根据②式可得，
所以．又，所以．
经检验当时，①②两式对应任意恒成立，
所以数列的通项公式为．
【点睛】
本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.
19、（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析
【解析】
（1）由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；
（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.
【详解】
（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的概率为.
（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为(万元)，则的可能取值为0，2，3，5.
，
，
,
,
所以万元；
故选生产线①的生产成本期望值为 (万元).
若选生产线②，设增加的生产成本为（万元），则的可能取值为0，8，5，13.
，
，
，
，
所以，
故选生产线②的生产成本期望值为 (万元)，
故应选生产线②.
【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；
（2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出
，即可求出结论.
【详解】
（1），
，
；
（2）在中，由（1）得，
，
由余弦定理得
，
，在中，
，
.
【点睛】
本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
21、（1）（2）.
【解析】
（1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得.
【详解】
（1）由题，向量，，
则
.
（2），.
，
，
整理得，
化简得，即，
，，
，即.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.
22、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.
（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.
（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【详解】
（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，
是递增数列，∴，
∴的前项和.
（2）证明：∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的“极差数列”仍是
（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，
，
根据，的定义，得：
，，且两个不等式中至少有一个取等号，
当时，必有，∴，
∴是一个单调递增数列，∴，，
∴，
∴，∴是等差数列，
当时，则必有，∴，
∴是一个单调递减数列，∴，，
∴，
∴.∴是等差数列，
当时，，
∵，中必有一个为0，
根据上式，一个为0，为一个必为0，
∴，，
∴数列是常数数列，则数列是等差数列.
综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.