2026届福建省泉州市十六中高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

这是一份2026届福建省泉州市十六中高三下学期第五次调研考试数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知，则，已知随机变量的分布列是，已知集合，，，则集合等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i是虚数单位，若，则乘积的值是( )
A．－15B．－3C．3D．15
2．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．5B．C．13D．
5．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．
A．1B．C．2D．3
6．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知随机变量的分布列是
则（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合，，，则集合( )
A．B．C．D．
10．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
11．已知函数，则下列判断错误的是（ ）
A．的最小正周期为B．的值域为
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
12．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，，且，则的最小值为___________．
14．若函数，则的值为______.
15．的展开式中的系数为____.
16．若，则____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足,，数列满足.
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18．（12分）已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）设为等差数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．
20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值.
21．（12分）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．
（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；
（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；
（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．
22．（10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）使得，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
，∴，选B．
2、A
【解析】
根据函数解析式，可知的定义域为，通过定义法判断函数的奇偶性，得出，则为偶函数，可排除选项，观察选项的图象，可知代入，解得，排除选项，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以的定义域为，
则，
∴为偶函数，图象关于轴对称，排除选项，
且当时，，排除选项，所以正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.
3、C
【解析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，
由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，由，得，
函数在区间上单调递增，则，得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.
4、C
【解析】
先化简复数，再求，最后求即可.
【详解】
解：，
，
故选：C
【点睛】
考查复数的运算，是基础题.
5、C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；
6、D
【解析】
推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.
【详解】
，
则，
，
，所以，函数的图象关于直线对称.
若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，，即，解得或.
①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：
此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；
②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7、B
【解析】
根据三角函数定义得到，故，再利用和差公式得到答案.
【详解】
∵角的终边过点，∴，.
∴.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.
8、C
【解析】
利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果.
【详解】
由分布列的性质可得，得，所以，，
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．
9、D
【解析】
根据集合的混合运算，即可容易求得结果.
【详解】
，故可得.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的混合运算，属基础题.
10、B
【解析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．
【详解】
由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，
∵是直线上任意一点，
则直线与直线的距离，
∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，
∴，即，又
故的取值范围为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11、D
【解析】
先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
可得
对于A，的最小正周期为,故A正确；
对于B，由，可得，故B正确；
对于C，正弦函数对称轴可得：
解得：，
当，，故C正确；
对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：
解得：
若图象关于点对称，则
解得：，故D错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
12、A
【解析】
用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．
【详解】
解：由集合，解得，
则
故选：．
【点睛】
本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由，先将变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.
【详解】
解：因为，，，且，
所以

因为，所以
，
当且仅当时，取等号，
所以



令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以
所以
则所求最小值为
故答案为：
【点睛】
此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题.
14、
【解析】
根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．
【详解】
根据题意，函数，
则，
则；
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力．
15、28
【解析】
将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.
【详解】
，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，
展开式中的系数为
故答案为：28.
【点睛】
本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.
16、
【解析】
由， 得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.
【详解】
因为， 所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列
（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.
【详解】
解：（Ⅰ）当时，，故.
当时，，
则 ，
，
数列是首项为，公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，
，
.
【点睛】
（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法 得出
（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
18、（1）；.；（2）
【解析】
（1）根据题意，知，且，令和即可求出，，以及运用递推关系求出的通项公式；
（2）通过定义法证明出是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和.
【详解】
解：（1）由题可知，，且，
当时，，则，
当时，，，
由已知可得，且，
∴的通项公式：.
（2）设，则，
所以，，
得是首项为8，公比为4的等比数列，
所以数列的前项和为：
，
即，
所以数列的前项和：.
【点睛】
本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，考查计算能力.
19、（1）；（2）．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，整理得，
解得，，因此，；
（2），
满足不等式的正整数恰有个，得，
由于，若为奇数，则不等式不可能成立.
只考虑为偶数的情况，令，
则，．
.
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以，，
又，，，，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20、（1）12（2）
【解析】
（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义；
（2）求出椭圆的标准方程，设，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面积，即可求解最大值.
【详解】
（1）设椭园的焦距为，则，故.则椭圆过点，由椭圆定义知:，故，
因此，的周长；
（2）由（1）知:，椭圆方程为:设，则，
，，，，
当且仅当在短轴顶点处取等，故面积的最大值为.
【点睛】
此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.
21、（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.
(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.
(3)由(2) 当时,,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.
【详解】
解：
．
是各项不为零的常数列,
则,
则由,
及得,
当时,,
两式作差,可得．
当时,满足上式,
则；
证明：,
当时,,
两式相减得：
即．
即．
又,
,
即．
当时,,
两式相减得：．
数列从第二项起是公差为的等差数列．
又当时,由得,
当时,由,得．
故数列是公差为的等差数列；
证明：由,当时,
,即,
,
,即,
即
,
当时,即．
故从第二项起数列是等比数列,
当时,．
．
另外,由已知条件可得,
又,
,
因而．
令,
则．
故对任意的恒成立．
【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.
22、（1）；（2）或 .
【解析】
（1）分段讨论得出函数的解析式，再分范围解不等式，可得解集；
（2）先求出函数的最小值，再建立关于的不等式，可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为 ，
所以当时，；
当时， 无解；
当时，；
综上，不等式的解集为；
（2），
又，
或 .
【点睛】
本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.