2026届福建省泉州市永春一中高三压轴卷数学试卷含解析

这是一份2026届福建省泉州市永春一中高三压轴卷数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等腰或直角三角形D．钝角三角形
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
3．已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（ ）
A．①②B．①④C．②③D．①②④
4．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．
B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．
C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．
5．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若，则”的否命题；
②命题“若，则或”；
③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.
A．0B．1C．2D．3
6．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：
如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为，则正整数的最小值是
A．B．C．D．
10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B． 且
C． 且D．内的任何直线都与平行
12．函数的图象大致为( )
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________．
14．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
15．直线是曲线的一条切线为自然对数的底数)，则实数__________.
16．设等比数列的前项和为，若，，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．
18．（12分）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意都有，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）曲线在点处的切线斜率为.
（i）求；
（ii）若，求整数的最大值.
20．（12分）已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.
（1）求数列的前n项和；
（2）若，求数列的前n项和为.
21．（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
（1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.
22．（10分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：
已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.
（1）求频数分布表中，的值；
（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；
【详解】
解：因为
所以
所以
所以
所以
所以
当时，为直角三角形；
当时即，为等腰三角形；
的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
2、C
【解析】
根据复数模的性质即可求解.
【详解】
,
,
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.
3、D
【解析】
求出圆心到直线的距离为：，得出，根据条件得出到直线的距离或时满足条件，即可得出答案.
【详解】
解：由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2，
则圆心到直线的距离为：，
∴，
而，与的面积相等，
∴或，
即到直线的距离或时满足条件，
根据点到直线距离可知，①②④满足条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.
4、C
【解析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.
【详解】
对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；
对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；
对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；
对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.
5、C
【解析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.
【详解】
①的逆命题为“若，则”，
令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；
③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.
故选：C.
【点睛】
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可．
6、D
【解析】
根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.
【详解】
为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.
，排除.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.
7、D
【解析】
根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】
由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以.
故选：D
【点睛】
本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.
8、A
【解析】
由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为
故答案为A.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
9、B
【解析】
初始：，，第一次循环：，，继续循环；
第二次循环：，，此时，满足条件，结束循环，
所以判断框内填入的条件可以是，所以正整数的最小值是3，故选B．
10、B
【解析】
根据空余部分体积相等列出等式即可求解.
【详解】
在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.
故选：B
【点睛】
本题考查圆柱的体积，属于基础题.
11、B
【解析】
根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 内有无数条直线与平行，则相交或，排除；
B. 且，故，当，不能得到 且，满足；
C. 且，，则相交或，排除；
D. 内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.
故选：.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.
12、A
【解析】
确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】
时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出．
【详解】
四棱锥为阳马，侧棱底面，
且，，设该阳马的外接球半径为，
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，
，
，
侧棱底面，且底面为正方形，
内切球在侧面内的正视图是的内切圆，
内切球半径为，
故．
故答案为．
【点睛】
本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.
14、
【解析】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.
【详解】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，
即求条件概率：
故答案为：
【点睛】
本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值.
【详解】
，则，所以切点为，故切线为，
即，故.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.
16、
【解析】
由题意，设等比数列的公比为，根据已知条件，列出方程组，求得的值，利用求和公式，即可求解．
【详解】
由题意，设等比数列的公比为，
因为，即，解得，，
所以.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意不等式化为，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）由题意把问题转化为，分别求出和，列出不等式求解即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，，
若，则不等式化为，解得；
若，则不等式化为，解得，即不等式无解；
若，则不等式化为，解得，
综上所述，的取值范围是；
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，
只需，
当时，，，
因为，所以当时，
，
即，解得，
结合，所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.
18、（1）（2）
【解析】
利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集，
对恒成立，则，
由三角不等式，得求解
【详解】
解：当时，不等式即为，
可得或或，
解得或或，
则原不等式的解集为
若对任意、都有，
即为，
由，当取得等号，
则，由，可得，
则的取值范围是
【点睛】
本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
19、（1）在上增；在上减；（2）（i）；（ii）2
【解析】
（1）求导求出，对分类讨论，求出的解，即可得出结论；
（2）（i）由，求出的值；
（ii）由（i）得所求问题转化为，恒成立，设
，，只需，根据的单调性，即可求解.
【详解】
（1）
当时，，即在上增；
当时，，，，，
即在上增；在上减；
（2）（i），.
（ⅱ），即，
即，只需.
当时，，在单调递增，
所以满足题意；
当时，，，，
所以在上减，在上增，
令，.
.在单调递减，所以
所以在上单调递减
，，
综上可知，整数的最大值为.
【点睛】
本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想，属于中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差，从而求出，再利用等比数列的前项和公式即可求解.
（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
（1），且，，依次成等比数列，，
即：，，，
，，
；
（2），
.
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.
21、（1）；（2）不会超过预算，理由见解析
【解析】
（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.求得，，求得其分布列和期望，对其求导，研究函数的单调性，可得期望的最大值，从而得出结论.
【详解】
（1）某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,
某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为
某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.
，
令,则
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减,
的最大值为,
实施此方案，最高费用为（万元），
，故不会超过预算.
【点睛】
本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.
22、（1）；（2）680元.
【解析】
（1）根据题意，列方程，然后求解即可
（2）根据题意，计算出10000元使用“余额宝”的利息为（元）和
10000元使用“财富通”的利息为（元），
得到所有可能的取值为560（元），700（元），840（元），
然后根据所有可能的取值，计算出相应的概率，并列出的分布列表，然后求解数学期望即可
【详解】
（1）据题意，得，
所以.
（2）据，得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人.
10000元使用“余额宝”的利息为（元）.
10000元使用“财富通”的利息为（元）.
所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）.
，，.
的分布列为
所以（元）.
【点睛】
本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题，属于基础题
55
57
59
61
68
64
62
59
80
88
98
95
60
73
88
74
86
77
79
94
97
100
99
97
89
81
80
60
79
60
82
95
90
93
90
85
80
77
99
68
分组
频数（单位：名）
使用“余额宝”
使用“财富通”
使用“京东小金库”
30
使用其他理财产品
50
合计
1200
560
700
840