2026届福建省清流一中重点中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届福建省清流一中重点中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知，，，则，，的大小关系为，已知双曲线，已知集合，，，则的子集共有，集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．设（是虚数单位），则（ ）
A．B．1C．2D．
3．已知，则，不可能满足的关系是（）
A．B．C．D．
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．5
6．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
8．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为( )
A．5B．6C．7D．9
9．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）．
A．B．
C．D．
10．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
11．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．2C．D．1
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ）
A．5B．C．4D．16
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数过定点________.
14．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为__________.
15．函数的单调增区间为__________.
16．函数（为自然对数的底数，），若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列的前项和为，且，数列满足，点在上，
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（12分）如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知函数，.
（1）若时，解不等式；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
20．（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.
（1）已知_______________，计算的面积；
请①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.
（2）求的最大值.
21．（12分）已知等差数列满足，.
（l）求等差数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（10分）已知椭圆C的离心率为且经过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(0，2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上，求直线l的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】
如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.
因为，故，
因为，故.
由正弦定理可得，故，又因为，故.
因为，故平面，所以，
因为平面，平面，故，故，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
2、A
【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．
【详解】
∵，∴．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
3、C
【解析】
根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．
【详解】
∵；
∴，；
∴，，故正确；
，故C错误；
∵
，故D正确
故C．
【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题
4、D
【解析】
构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.
【详解】
依题意，得，，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.
5、D
【解析】
根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率.
【详解】
依题意得，，，因此该双曲线的离心率.
【点睛】
本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.
6、B
【解析】
根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以集合
则
所以的子集共有
故选：B
【点睛】
本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题.
7、C
【解析】
连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.
【详解】
连接AO，由O为BC中点可得，
，
、、三点共线，
，
.
故选：C.

【点睛】
本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.
8、A
【解析】
由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，
从而得出的最大值.
【详解】
因为，
则，即
整理得，令，
设，
则，
令,则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，则，
因为，，
由题可知：时，则，所以，
所以，
当无限接近时，满足条件，所以，
所以要使得
故当时，可有，
故，即，
所以：最大值为5.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.
9、B
【解析】
奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可.
【详解】
A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误；
B：定义域关于原点对称，且
满足奇函数，又，所以在上，正确；
C：定义域关于原点对称，且
满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误；
D：定义域关于原点对称，且，
满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误；
故选：B
【点睛】
此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.
10、A
【解析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
11、C
【解析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
双曲线的离心率，
则，，解得，所以焦点坐标为，
所以，
则双曲线渐近线方程为，即，
不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，
故选：C.
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.
12、C
【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中,,由正弦定理得,
又,
∴,又,∴,∴,又,
∴.∵,
∴,∵,∴由余弦定理可得,
∴,可得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
令，，与参数无关，即可得到定点.
【详解】
由指数函数的性质，可得，函数值与参数无关，
所有过定点.
故答案为：
【点睛】
此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.
14、
【解析】
基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率．
【详解】
从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数，
抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种，分别为：
，，，，，，，，，，
则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为．
故答案为：
【点睛】
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，求解时注意辨别概率的模型．
15、
【解析】
先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间.
【详解】
函数的定义域为.
，
令，则，故函数的单调增区间为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.
16、
【解析】
令，则，恰有四个解.由判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出的取值范围.
【详解】
解：令，则，恰有四个解.
有两个解，由，可得在上单调递减，在上单调递增，
则，可得.
设的负根为，
由题意知，，，
，则，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）.
【解析】
（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.
【详解】
由可得，
两式相减得，．
又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．
由点在直线上，所以．
则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则
因为，所以．
则，
两式相减得：．
所以．
【点睛】
用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用线面平行的定义证明即可
（2）取的中点，并分别连接，，然后，证明相应的线面垂直关系，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可
【详解】
证明：（1）在图1中，连接.
又，分别为，中点，
所以.即图2中有.
又平面，平面，
所以平面.
解：（2）在图2中，取的中点，并分别连接，.
分析知，，.
又平面平面，平面平面，平面，所以平面.
又，所以，，.
分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.
设平面的一个法向量，则，
取，则，，所以.
又，
所以.
分析知，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题
19、（1）（2）
【解析】
（1）零点分段法，分，，讨论即可；
（2）当时，原问题可转化为：存在，使不等式成立，即.
【详解】
解：（1）若时，，
当时，原不等式可化为，解得，所以，
当时，原不等式可化为，解得，所以，
当时，原不等式可化为，解得，所以，
综上述：不等式的解集为；
（2）当时，由得，
即，
故得，
又由题意知：，
即，
故的范围为.
【点睛】
本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.
20、（1）见解析（2）1
【解析】
（1） 选②，③．可得，结合，求得．即可；若选①，②．由可得由，求得．即可；若选①，③，可得，又，可得，即可；
（2）化简，根据角的范围求最值即可．
【详解】
（1）若选②，③．
，
，
，
，
又，
．
的面积．
若选①，②．由可得，
，
，
又，
．
的面积．
若选①，③
，
，
又，
，可得，
的面积．
（2）
，
当时，有最大值1．
【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题．
21、 (1)；(2).
【解析】
试题分析：（1）设等差数列满的首项为，公差为，代入两等式可解。
（2）由（1），代入得，所以通过裂项求和可求得。
试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得.
所以.
（2）因为，
所以.
所以 .
22、（1）（2）
【解析】
（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程，由此求得，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到，由此求得点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.
【详解】
（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，且
解得，所以椭圆的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由消去得，
所以，
由已知得，所以，由于点都在椭圆上，
所以，
展开有，
又，
所以，
经检验满足，
故直线的方程为.
【点睛】
本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.