2026届福建省泉港市泉港一中高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届福建省泉港市泉港一中高考冲刺数学模拟试题含解析，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，以下四个命题，在中，“”是“”的，一个四棱锥的三视图如图所示等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列中，，，则数列前6项和为（）
A．18B．24C．36D．72
3．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
5．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）．
A．1B．1C．3D．4
7．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（ ）
A．[2，4]B．[4，6]C．[5，8]D．[6，7]
9．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．
A．B．C．D．
10．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
11．函数在的图象大致为
A．B．
C．D．
12．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则________.
14．已知内角，，的对边分别为，，．，，则_________．
15．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份．
16．已知x，y满足约束条件，则的最小值为___
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．
18．（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.
（Ｉ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值.
19．（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，且．
（1）求的方程；
（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值．
20．（12分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面， ，分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.
21．（12分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为公顷和公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为公顷和公顷.
（1）设，用关于的函数表示，并求在区间上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；
（2）如果，并且，试分别求出、、、的值.
22．（10分）已知函数，其中为自然对数的底数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．
【详解】
设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．
2、C
【解析】
由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
∵等差数列中，，∴，即，
∴，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.
3、C
【解析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
4、C
【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.
【详解】
①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③.
故选：C.
【点睛】
本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.
5、D
【解析】
利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.
【详解】
取的中点，则由得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，所以，
解得，
故选：D
【点睛】
本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.
6、C
【解析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.
【详解】
画出图形：
若为的外心，则，
平面,可得,即，①正确;
若为等边三角形，，又
可得平面，即,由可得
，矛盾，②错误;
若，设与平面所成角为
可得，
设到平面的距离为
由可得
即有，当且仅当取等号.
可得的最大值为，
即的范围为，③正确；
取中点，的中点，连接
由中位线定理可得平面平面
可得在线段上，而，可得④正确；
所以正确的是：①③④
故选：C
【点睛】
此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.
7、D
【解析】
通过列举法可求解，如两角分别为时
【详解】
当时，，但，故充分条件推不出；
当时，，但，故必要条件推不出；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题
8、B
【解析】
作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.
【详解】
画出不等式组所表示的可行域如图△AOB
当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意
t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6
故选：B．
【点睛】
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.
9、A
【解析】
作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.
【详解】
根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，，
平面，且，
∴，，，，
∴这个四棱锥中最长棱的长度是．
故选．
【点睛】
本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．
10、B
【解析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.
【详解】
由题意知：定义域为，
，为偶函数，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，则在上单调递减，
由得：，解得：或，
的取值范围为.
故选：.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.
11、A
【解析】
因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A．
12、D
【解析】
先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.
【详解】
由已知得，则.
因为，数列是单调递增数列，
所以，则，
化简得，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、13
【解析】
由导函数的应用得：设，，
所以，，又，所以，即，
由二项式定理：令得：，再由，求出，从而得到的值；
【详解】
解：设，，
所以，，
又，所以，
即，
取得：，
又，
所以，
故，
故答案为：13
【点睛】
本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题
14、
【解析】
利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】
由正弦定理得，
，．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.
15、①②③
【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
16、
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y轴上的截距最大即可得解.
【详解】
x，y满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.
平移直线，截距最大时即为所求.
点A（，），
z在点A处有最小值：z＝2，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）．（2）的方程为．
【解析】
（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．
（2）令，令直线，联立，
得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。
【详解】
解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，
设点，则，
整理得.
（2）令，易知直线不与轴重合，
令直线，与联立得，
所以有，
由，故，即，
从而，
解得，即。
所以直线的方程为。
【点睛】
本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。
18、（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）当时，由，得到，两边同除以，得到.再根据是等差数列.求解.
（Ⅱ），根据前n项和的定义得到，令，研究其增减性即可.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
所以，
即，
所以.
因为是等差数列.，
所以， ，
令，，，
所以，
即；
（Ⅱ），
所以，
，
令，
所以 ，
，
即，
所以数列是递增数列，
所以，
即.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）不妨设，，计算得到，根据面积得到，计算得到答案.
（2）设，，，联立方程利用韦达定理得到，，代入化简计算得到答案.
【详解】
（1）由题意不妨设，，
则，．
∵，∴，∴．
又，∴，
∴，，故的方程为．
（2）设，，，则．∵，
∴，设直线的方程为，
联立整理得．
∵在上，∴，∴上式可化为．
∴，，，
∴，
，
∴
．
∴．
【点睛】
本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得面，再由面面平行的判定可证得面面平行；
（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线与平面所成角的余弦值.
【详解】
（1），,又，，,
而、分别是、的中点，， 故面,
又且，故四边形是平行四边形,面,
又，是面内的两条相交直线, 故面面.
（2）由（1）可知，两两垂直，故建系如图所示,则
，
，，,
设是平面PAB的法向量,，
令，则,,
直线NE与平面所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.
21、（1），最大值公顷；（2）17、25、5、5.
【解析】
（1）由余弦定理求出三角形ABC的边长BC，进而可以求出，，由面积公式求出 ，，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，，，即可求出、，再算出，代入（1）中表达式求出，。
【详解】
（1）由余弦定理得，，
所以，，同理可得
又 ，
所以，
故在区间上的最大值为，近似值为。
（2）由（1）知，， ，所以，进而，
由知，，，
故、、、的值分别是17、25、5、5。
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。
22、（1） （2）没有，理由见解析
【解析】
（1）求导，研究函数在x=0处的导数，等于切线斜率，即得解；
（2）对f(x)求导，构造，可证得，得到，即得解
【详解】
（1）由题意得，
∵曲线在点处的切线与直线平行，
∴切线的斜率为，解得．
（2）当时，，
，
设，则，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又函数，
故恒成立，
∴函数在定义域内单调递增，函数不存在极值点．
【点睛】
本题考查了导数在切线问题和函数极值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.