2026届福建省各地高考冲刺模拟数学试题含解析

这是一份2026届福建省各地高考冲刺模拟数学试题含解析，共2页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知六棱锥各顶点都在同一个球，已知函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．5
3．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
5．要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
6．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
7．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A．B．C．D．
9．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）
A．B．
C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
11．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )
A．B．C．D．
12．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．
14．在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为____________．
15．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.
16．若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中．
（1）①求函数的单调区间；
②若满足，且．求证： ．
（2）函数．若对任意，都有，求的最大值．
18．（12分）已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，证明：.
19．（12分）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，求实数的取值范围．
20．（12分）在平面直角坐标系中，为直线上动点，过点作抛物线:的两条切线，，切点分别为，，为的中点.
（1）证明:轴；
（2）直线是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.
22．（10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为．
考点：双曲线方程.
2、C
【解析】
由,再运用三点共线时和最小，即可求解.
【详解】
.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．
3、C
【解析】
由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．
【详解】
①当时，，满足题意，
②当时，，，，，故不恒成立，
③当时，设，，
令，得，，得，
下面考查方程的解的个数，
设（a），则（a）
由导数的应用可得：
（a）在为减函数，在，为增函数，
则（a），
即有一解，
又，均为增函数，
所以存在1个使得成立，
综合①②③得：满足条件的的个数是2个，
故选：．
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.
4、B
【解析】
试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，．
考点：程序框图、茎叶图．
5、A
【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.
【详解】
解：
.
对于A：可得.
故选:A.
【点睛】
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
6、A
【解析】
设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，
得到，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
7、D
【解析】
由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，
又由，所以，
在直角中，因为，所以，
设外接球的半径为，
在中，可得，即，解得，
所以外接球的表面积为.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.
8、A
【解析】
详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
9、B
【解析】
根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.
【详解】
解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称，
对满足的，，有，∴.
再根据其图像关于直线对称，可得，.
∴，∴.
将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.
令，求得，
则函数的单调递减区间是，，
故选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.
10、A
【解析】
先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.
【详解】
由图象可知A＝1，
∵，所以T＝π，∴.
∴f（x）＝sin（2x+φ），将代入得φ）＝1，
∴φ，结合0＜φ，∴φ.
∴.
∴sin
.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.
11、B
【解析】
由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.
【详解】
由题可知.
所以
令，
得
令，得
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.
12、C
【解析】
求导，先求出在单增，在单减，且知设，则方程有4个不同的实数根等价于方程
在上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，，
令，解得，，故当时，，
当，，且，
故方程在上有两个不同的实数根，
故，
解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：
(1)构造法：构造函数(易求，可解)，转化为确定的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解；
(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0或6
【解析】
计算得到圆心，半径，根据得到，利用圆心到直线的距离公式解得答案.
【详解】
，即，圆心，半径.
，故圆心到直线的距离为，即，故或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。
14、
【解析】
设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
，利用求向量模的公式，可得，根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求.
【详解】
解：设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
则，
即，
由，可得.
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.
15、
【解析】
先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.
【详解】
一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，
其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，
因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.
16、
【解析】
注意平移是针对自变量x，所以，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【详解】
由已知，，
，又，故，
，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①单调递增区间，，单调递减区间；②详见解析；（2）.
【解析】
(1)①求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.
②根据(1)中的结论,求出的表达式,再分与两种情况,结合函数的单调性分析的范围即可.
(2)求导分析的单调性,再结合单调性,设去绝对值化简可得,再构造函数,,根据函数的单调性与恒成立问题可知,再换元表达求解最大值即可.
【详解】
解：,
由可得或,
由可得,
故函数的单调递增区间,,单调递减区间；
,
或,
若,因为,故,,
由知在上单调递增,,
若由可得x1,
因为,
所以,
由在上单调递增,
综上．
时,,在上单调递减,
不妨设
由(1)在上单调递减,
由,
可得,
所以,
令,,
可得单调递减,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,即,
所以, ,
所以的最大值．
【点睛】
本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.
18、（1）,
（2）证明见解析
【解析】
（1）利用首项和公差构成方程组，从而求解出的通项公式；由的通项公式求解出的表达式，根据以及，求解出的通项公式；
（2）利用错位相减法求解出的前项和，根据不等关系证明即可.
【详解】
（1）设首项为，公差为.
由题意，得，解得，
∴，
∴，∴
当时，
∴，.当时，满足上式.
∴
（2），令数列的前项和为.
两式相减得
∴恒成立，得证.
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用求解的通项公式时，一定要注意验证是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.
19、 (1) (2) 当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．
【解析】
（1）当时，分类讨论把不等式化为等价不等式组，即可求解．
(2)由绝对值的三角不等式，可得，当且仅当时，取“”，分类讨论，即可求解．
【详解】
（1）当时，，
不等式可化为或或 ，
解得不等式的解集为．
(2)由绝对值的三角不等式，可得，
当且仅当时，取“”，
所以当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20、（1）见解析（2）直线过定点.
【解析】
（1）设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，设出点坐标并代入切线的方程，同理将点坐标代入切线的方程，利用韦达定理求得线段中点的横坐标，由此判断出轴.
（2）求得点的纵坐标，由此求得点坐标，求得直线的斜率，由此求得直线的方程，化简后可得直线过定点.
【详解】
（1）设切点，，，
∴切线的斜率为，切线：，
设，则有，化简得，
同理可的.
∴，是方程的两根，∴，，
，∴轴.
（2）∵，∴.
∵，∴直线：，即，
∴直线过定点.
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21、（1）的普通方程为．的直角坐标方程为 （2）（-1，0）或（2，3）
【解析】
（1）对直线的参数方程消参数即可求得直线的普通方程，对整理并两边乘以，结合，即可求得曲线的直角坐标方程。
（2）由（1）得：曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆，设点P的坐标为，由题可得：，利用两点距离公式列方程即可求解。
【详解】
解：（1）由消去参数，得．
即直线的普通方程为．
因为
又，
∴曲线的直角坐标方程为
（2）由知，曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆
设点P的坐标为，则点P到上的点的最短距离为|PQ|
即，整理得，解得
所以点P的坐标为（-1，0）或（2，3）
【点睛】
本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了方程思想及计算能力，属于中档题。
22、（1）（2）见解析，
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
所以.
【点睛】
本题是一道考查概率和期望的常考题型.
X
0
1
2
P